深研教材內涵 聚焦核心素養 提升思維品質
——2022年高考浙江卷第21題的改編

? 天津市濱海新區塘沽第一中學 宋亞南 韓雅凝 肖偉華

? 天津市第七中學 李耀鵬

試題命制是一項系統性較強的工作,具有一定的難度和挑戰性.命題者在高考試題的基礎上進行改編,以中國“航天夢”為載體,通過教科書封面的引入,將飛行器軌跡與橢圓方程緊密銜接,揭示了數學與天文學的緊密聯系.改編題目考查了邏輯推理、數學運算等核心素養.

1 改編題目及原題呈現

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線l:y=kx+m(m≠1)與橢圓C交于A,B兩點,直線PA,PB的斜率分別記為k1,k2.

①若k1k2=1,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

原題(2022·浙江·高考卷第21題)

(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

2 試題命制過程

中國高考評價體系中明確指出,需要通過設計生活實踐情境和學習探索情境作為載體,實現對學生學科基本概念、原理、技能和思維方法的考查和選拔.中國航天飛行器的運動軌跡是以地球為一個焦點的橢圓,在解析幾何試題編制過程中以此為情境進行切入.

2.1 改編題第(1)問第一稿

天宮一號,為中國載人航天工程發射的第一個目標飛行器,是中國第一個空間實驗室,它圍繞地球飛行的軌跡可近似看作一個橢圓(圖1).在手機地圖(圖2)中,可隨時查看中國空間站飛行運動的基本數據,且實時進行更新.

圖1

(1)求橢圓C的方程.

說明：問題情境中提到了天宮一號的運行軌跡和手機地圖中呈現的中國空間站飛行運動的基本數據,數據過多不易理清頭緒,所以不宜采用.參考人教A版選擇性必修第一冊教科書第115頁第7題、第145頁第1題,題目中涉及到了“近日(地)點”“遠日(地)點”的概念,并提到了離心率,于是再做修改.

2.2 改編題第(1)問第二稿

(1)求橢圓C的方程.

2.3 改編題第(1)問第三稿

(1)求橢圓C方程.

說明：通過“相似橢圓”這個概念,將空間站運行的軌道方程與題目中橢圓C的方程相結合.其中,特征三角形的定義源于人教A版選擇性必修第一冊教科書第106頁的“思考”.這個過程既有對新定義的理解,也將中國空間站這一情境創設與橢圓C方程結合起來,激發出學生對“中國夢”“航天夢”的熱情,符合“課程思政”的理念.

2.4 改編題第(2)問第一稿

參考2022年浙江高考第21題,改編試題時將第(2)問分解為兩個小問,得到初稿.

(2)直線AB:y=x+m(m≠0,m≠1)與橢圓C交于A,B兩點,直線PA,PB的斜率分別記為k1,k2.

①若k1k2=1,求直線AB的方程;

說明：令直線AB:y=x+m(m≠0,m≠1),其斜率為定值1,目的是減少運算量,解得m=-3,不滿足直線AB:y=x+m(m≠0,m≠1)與橢圓C聯立之后的判別式Δ>0的范圍,這與直線AB和橢圓交于A,B兩點矛盾,所以進行修改.

2.5 改編題第(2)問第二稿

(2)直線l:y=kx+m(m≠1)與橢圓C交于A,B兩點,直線PA,PB的斜率分別記為k1,k2.

①若k1k2=1,求證:直線AB過定點,并求出該定點的坐標.

說明：直線l:y=kx+m(m≠1)包含兩個參數k,m,在化簡的過程中消去k,最終化簡成為只含有m的表達式,這個運算過程和第一稿中已知斜率k=1時的計算量差別不大.數學運算是數學學科核心素養之一,故將題目改成直線l:y=kx+m(m≠1)過定點,并求出該定點的坐標.

3 改編題第(2)問解題分析的思維導圖

(Ⅰ)改編題第(2)問中第①問解題分析的思維導圖如圖3所示.

(Ⅱ)改編題第(2)問中第②問解題分析的思維導圖如圖4所示.

圖4

如何通過選取適宜的素材,創設合適的科學情境,在真實的背景下發揮核心價值的引領作用,運用必備知識和關鍵能力去解決實際問題,全面展現學科素養水平,這確實是一個值得研究的方向.教師不僅要具備精湛的命題技術還要具備深厚的教學經驗,并要密切關注學生的學習情況,善于將生活情境、社會熱點融入到試題命制當中,注重提升學生的思維品質,以推動學生全面發展.