拓寬思路找方法,準確與否靠檢驗
——高考數學填空題答題思路與方法初探

? 湖北省恩施土家族苗族自治州高級中學 劉秀軍

高考數學填空題通常是將一個數學真命題寫成其中缺少一些語句的形式,要求考生將缺少的語句填寫在指定的空位上,使之成為一個完整而正確的數學命題.根據填空題的內容可將其分為兩種題型:一種是定量型的,要求考生填寫數值或數量關系,如方程、不等式的解,函數的定義域、值域、周期,某參變量的值或變化范圍,等等;另一種是定性型的,要求填寫具有某種性質的數學對象或數學對象的某種性質等.

從湖北省近幾年的數學高考試題(新高考Ⅰ卷)來看,填空題的分值較高(一般4個小題,總分為20分),內容覆蓋面廣,難易適中.由于填空題無需解答過程,沒有步驟分,因而要求解答過程中的每一步都必須保證準確,一步失誤就可能導致全題零分.所以說,填空題比選擇題、解答題更容易失分,這更應該引起我們的高度重視.

1 本校考生填空題的答題現狀

1.1 思想上不夠重視

2023年1月本校高三學生進行了一次高考模擬考試,從考試成績分析來看,填空題失分的現象很嚴重.筆者所任教的高三(8)班56名學生中,僅有3名學生填空題獲得滿分,有7名學生的填空題竟然是零分.在班會總結中,很多學生說把主要時間和精力都花在了解答題上,還說解答題分值高是“西瓜”,填空題是“芝麻”,況且解答題的每一步都有步驟分,值得花時間.可見,學生思想上的不重視是導致填空題嚴重失分的因素之一.

1.2 時間不夠用

高考數學試題量大面寬,時間緊.這次模擬考試用的是“金太陽教育”的數學試題,共有23道大題,150分,考試時間2小時.如何在有限的時間內做完所有試題,的確考驗學生的速度與能力.

1.3 缺乏思考與答題技巧

很多學生由于平時訓練不踏實,面對陌生的題型缺乏清晰的解題思路與答題技巧,只知道一味地按照試題的先后順序硬著頭皮往下答,答到哪兒算哪兒,只顧著趕時間,顧不上正確與否.

2 解答填空題的常用思路與方法

解答填空題,要開闊思路,不斷探索和總結方法.填空題與其他題型(選擇題、解答題)不同,更要注重填空題與其他題型的密切聯系,例如,可以借鑒某些選擇題、解答題的答題思路,通過觀察、分析、轉化等方法,將某些未知的題型變為已知的或自己非常熟悉的基本題型來解決;要充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息,依據題目的具體特點,靈活、巧妙、快速地選擇解法,準確作答.

2.1 直接求解法

直接求解法是指直接從題設條件出發,利用定義、性質、定理、公式和一些規律性的結論等,經過變形、計算得出結論,然后將結論填在空位處.這是解填空題最常用的一種方法.

故填答案:-28.

2.2 數形結合法

對于一些含有幾何背景與特征的填空題,可根據題目已知條件的特點,畫出符合題意的圖形,做到“數”中思“形”,以“形”助“數”,“數”“形”結合,通過對圖形的直觀分析、判斷,輔以簡單運算即可得出正確答案.

解析：如圖1,令AB的中點為E,因為|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|.

圖1

2.3 分類討論法

有些幾何問題,由于幾何圖形的形狀、點的位置的不確定性,有時需要根據圖形的特征與變化情況進行分類討論.

例3(2022年全國新高考Ⅰ卷第14題)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程______.

解析：因為圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑為1,圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心為O1(3,4),半徑為4,兩圓的圓心距為5,等于兩圓半徑之和,故兩圓外切,如圖2.

圖2

(2)當切線為m時,設其方程為kx+y+p=0,其中p>0,k<0.

(3)當切線為n時,易知切線方程為x=-1.

思路與方法：這是一道由于圖形位置關系不確定而引起分類討論的典型例題.本題首先要判斷兩圓的位置關系,然后根據切線的不同(位置)情況進行分類討論.解決此類問題要根據題設條件,結合圖形的某一性質,對各種情況逐個分析,否則容易漏解.

2.4 轉化法

轉化法是一種應用廣泛且非常實用的數學思想與解題方法.其思路是:將不熟悉和難解的問題轉化為熟知、易解的或已經解決的問題;將抽象的問題轉化為具體的、直觀的問題;將復雜的問題轉化為簡單的問題;將一般性的問題轉化為直觀的、特殊的問題;將實際問題轉化為數學問題,便于問題解決.

不妨設左焦點為F1,右焦點為F2,如圖3所示.

圖3

由DE為線段AF2的垂直平分線,可得|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,則△ADE的周長等于△F2DE的周長,即△ADE的周長為|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13.故填:13.

思路與方法：首先利用橢圓的離心率及直線的垂直關系,結合弦長公式求出a,然后根據對稱性將△ADE的周長轉化為△F2DE的周長,利用橢圓的定義即可求得周長.本題靈活運用了垂直、相交、對稱等性質和等價轉化的方法.

2.5 填空題的檢驗方法

掌握了常用的答題方法與技巧,如何才能在有限的時間內確保填空題的準確率呢?這就要靠細心檢驗.常用的檢驗方法有以下三種.

(1)回顧審題

(2)估算檢驗

錯解：兩邊平方,得1+lgx>(1-lgx)2,整理得lgx(lgx-3)<0,則0

綜上,不等式的解集是{x|x>1}.

(3)逆代檢驗

例7方程3z+|z|=1-3i(i為虛數單位)的解是______.

錯解：設z=a+bi(a,b∈R),則

正解：由錯解及分析即可知方程的解是z=-i.

除上述三種方法外,還有作圖檢驗、換用解法檢驗、賦值檢驗等多種方法.總之,為確保答題的準確率,檢驗是必不可少的一個環節.

3 結語

不同的填空題和不同的題型具有不同的解題思路與方法,即使同一種問題在不同的情境下所采用的方法也不盡相同.從上述例題的解析中我們可以看到,填空題的解離不開數形結合、分類討論、等價轉化、從特殊到一般等數學思想的靈活運用,很多具體的解題方法與技巧就是這些數學思想的細化與落實.在具體答題過程中,無論面對哪種題型,務必要讀懂題意,弄清概念,明白算理,正確表達,仔細檢驗,確保答案準確無誤.