借助化歸思想提升導數教學效率

? 江蘇省江陰高級中學 毛慶華

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出:“數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法.”數學思想被納入數學教育的內容.教學實踐中需要把握導數教學的良好契機,注重化歸思想的有效滲透,促進教學效率的有效提升.

1 函數與方程的轉化

函數與方程聯系緊密.在導數教學中,結合化歸思想,創設函數與方程相互轉化的教學情境,有助于加深學生對函數與方程關系的認識,掌握解答導數問題的高效思路.

1.1 函數向方程轉化

函數在高中數學中占有重要地位.導數部分涉及的函數通常較為復雜,采用常規思路有時無法直接求解,需要將函數轉化為方程,通過研究方程根的情況加以突破.教學實踐中,教師應以函數圖象為媒介,借助多媒體技術,展示函數與方程的內在聯系及對應參數的邏輯關系,將二者之間的關系根植于學生內心.同時,圍繞教學內容創設相關問題情境,做好轉化后具體處理方法的指引,使學生不僅會轉化,而且能掌握轉化后的作答技巧.

例如,在課堂上展示習題:已知函數f(x)=ax+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線,求實數a的取值范圍.該題目中涉及的函數是超越函數,無法直接求出切線方程,究竟該怎么轉化呢?授課時,教師可以引導學生挖掘與提取題干的有用信息,尋找轉化的切入點.設計支架問題:(1)如何求兩條切線方程的斜率?(2)兩條切線方程的斜率之間有什么關系?(3)轉化成對應方程之后,如何運用方程的判別式Δ構建不等關系?

其中,問題(1)啟發學生從直線斜率入手分析;問題(2)指引學生聯系切線垂直知識構建方程,實現函數問題向方程問題的轉化;問題(3)指向方程問題的解決,需要借助方程的判別式與三角函數的有界性,求出對應三角函數的值,進而構造函數得出結果.

三個問題由淺入深,實現了從函數向方程轉化以及轉化后順利解答的有效輔助.學生在思考、回答問題的過程中既加深了對函數與方程關系的認識,又通過尋找轉化,積累了一定的轉化解題經驗.

1.2 方程向函數轉化

方程向函數轉化是解決方程問題的有效方法,在導數部分中體現的尤為明顯.一般情況下,通常將復雜的方程問題轉化為函數問題,借助導數研究對應函數的增減性以及零點個數、零點范圍等進行求解.當然,部分習題技巧性較強,轉化后還需要進行針對性變形,以更好地體現隱含的規律.教學實踐中,教師需要立足學情與教學實際,給學生提供交流、討論的機會,讓學生在交流、討論的過程中獲得深刻感悟,體會將方程轉化為函數解題的樂趣.

例如,教學過程中展示習題:若正實數x0是方程ex+1=aln(ax-1)的根,則ex0-ax0=______.該題題干較為簡單,但卻較為抽象,直接將x0代入方程后,無論怎樣變形均無法與要求解的問題建立聯系,也就無法解答.教學過程中,教師可以引導學生從給出的方程入手,嘗試著將其轉化成函數問題,從函數角度探尋解題思路.課堂上預留時間,要求學生相互交流,討論如何對已知方程變形.

同時,為使學生能盡快找到正確的思考方向,需要做好課堂觀察,了解學生的分析思路以及討論的結果,必要情況下給予點撥.事實上,由題干中的指數型、對數型函數容易聯想到函數的同構,借助指數、對數運算的規律將所給方程的左右兩邊構造出同一形式的新的函數,利用導數得出新函數的單調性.如此通過等量代換便可得出結果.

教師引導學生交流、討論,進行思維的碰撞.學生帶著問題主動思考,并在教師的引導下探尋方程向函數轉化的思路,在活躍的課堂氛圍中,掌握方程向函數轉化的相關技巧,實現課堂學習效率的提高.

2 數與形的轉化

數與形是數學中兩個非常重要的對象.以數助形,可探究形的細微之處.以形助數,可使數的問題更易解決.高中導數教學中,應通過數與形的轉化教學,促進課堂教學實效的提升.

2.1 數向形的轉化

高中導數部分的“數”多指“函數”.導數在函數研究中發揮著探尋函數的變化趨勢、最值、極值、零點等作用.在具體的函數問題中,基于對題干的理解以及巧妙轉化,運用導數進行推理、判斷,畫出函數的大致圖象,可以確保抽象、復雜問題得到創造性的解決.導數教學中,教師應運用多媒體進行函數及其導函數圖象的展示,明晰兩個圖象的對應關系,使學生把握函數圖象繪制的關鍵點.同時,圍繞具體習題,進行由數向形轉化的解題示范,給學生帶來啟發.

圖1

學生通過觀察,容易發現兩個函數圖象關于原點對稱.而要想滿足題意,則需要函數f(x)=kx-2(x≥0)的圖象和g(x)=lnx的圖象有兩個不同的交點,此時只需找臨界點,即直線y=kx-2和g(x)=lnx的圖象相切.運用導數以及f(x)=kx-2(x≥0)恒過點(0,-2),容易求得對應的切線為y=ex-2,觀察圖形容易得出k的取值范圍為(0,e).由此可見,通過數向形的轉化,抽象的函數問題就會變得直觀易解.

2.2 形向數的轉化

形向數的轉化主要借助平面直角坐標系以及空間直角坐標系來實現.高中數學導數部分中的形向數的轉化,以平面直角坐標系為主.如給出某函數的導函數圖象,要求判斷原函數的增減性、極值點或極值點個數等.教學實踐中,教師應注重解題方法的引導,要求學生認真觀察給出的圖象,使用列表法,通過導函數的值與0的關系進行判斷,體會形向數轉化的思維過程,掌握轉化的細節.

例如,給出以下習題:已知f(x)和g(x)是定義在(a,b)上的函數,對應的導函數f′(x),g′(x)的圖象如圖2所示,g′(x)的圖象在x2處與f′(x)相切,則有關函數h(x)=f(x)-g(x)的說法正確的是( ).

圖2

A.在區間(x1,x2)上先增后減

B.x2為極小值點

C.在區間(x1,x3)上單調遞減

D.極大值和極小值點各1個

該習題給出的是兩個函數的導函數圖象,可以很好地考查學生對導函數含義的理解.該問題的難點在于給出的函數是抽象函數,還涉及到導函數的運算.由函數的求導法則,可得出h′(x)=f′(x)-g′(x).課堂上要求學生按照x,h(x),h′(x),通過對圖象的觀察列表,根據h′(x)在0左右的符號做出推理.

導數教學中,部分題目既要進行形向數的轉化,又要應用到有關導數的基礎知識或一些技巧,可以啟發學生聯系常規的解題思路解答一些看似復雜的問題.

3 特殊與一般的轉化

特殊與一般的轉化是進行數學推理的常用方法.導數教學中,通過特殊向一般的轉化可以證明相關的結論,通過一般向特殊的轉化可求解具體的求值問題.

3.1 特殊向一般轉化

歸納法是特殊向一般轉化的常用方法.特殊向一般的轉化在導數部分通常用于證明相關結論,對學生分析問題的能力以及推理的嚴謹性要求較高.導數部分教學中,教師應做好歸納法理論知識的講解,并結合具體解題過程做好解釋以及細節的說明,使學生充分理解歸納法的本質.同時,課堂上給出難度適中的習題,組織學生開展以小組為單位的合作學習活動,要求學生積極回顧歸納法的相關知識,相互配合,積極討論,共同完成解答.

例如,課堂上展示如下習題:已知函數f(x)=x-xlnx,數列{an}滿足0

(1)判斷函數f(x)在區間(0,1)上的單調性;

(2)證明:an

該習題是導數和數列的綜合問題.其中,第(1)問難度不大,通過求導不難作出判斷.第(2)問難度稍大,需要挖掘出0

由于特殊向一般轉化的相關知識以及對應的過程較為抽象,因此導數教學中應靈活運用多種教學方法,給學生帶來良好的學習體驗.正如上文中的合作學習法,使學生在愉悅歡快的氛圍中完成證明.另外,根據需要,還可應用互動式教學法、項目教學法、翻轉課堂教學法等.

3.2 一般向特殊轉化

一般向特殊的轉化又稱演繹推理,即運用一般的數學結論求解一些實際的、具體情境下的數學問題.為確保問題得以順利解決,需要牢記一般的數學結論,或能夠用一般的結論作出進一步的推理.導數教學實踐中,教師需要與學生一起完成一般數學結論的推理,使學生把握一般結論的由來,為其進行更深層的推理奠定基礎.當然,為提高一般向特殊轉化的靈活性,增強解答導數問題的能力,導數教學中,教師應結合教學內容進行習題的優選,組織學生開展課堂訓練活動.

該問題給出的函數較為特殊,所求問題的自變量較大,直接代入根本不可能求解.教學中,引導學生不要急于動筆,觀察所求問題的特點,結合題干嘗試推出相關結論,再通過一般向特殊的轉化巧妙求出結果.根據經驗,該類問題一般需要用到函數的奇偶性.基于此,分別求出f(-x),f′(x),f′(-x)以及f(x)+f(-x),f′(x)+f′(-x)的表達式.通過推出一般結論,可以發現要求解的問題和自變量的大小無關,如此問題便迎刃而解.

總之,授課中,為使學生能夠形成高效的解題經驗,實現靈活應用,要求學生樹立正確的課堂訓練態度,關注解題正確率的同時,更要認真審視解題過程,明確在訓練中暴露出的問題,及時查漏補缺.對于較為典型的習題,可以摘抄到錯題本中并做好批注,定期翻閱.

4 其他類型的轉化

除上述介紹的轉化方法外,直接轉化與換元轉化在導數問題的解答中也較為常用.導數教學中應注重換元轉化方法的應用講解.

4.1 直接轉化

直接轉化是指將問題轉化為基本定理、基本公式以及基本圖形問題.可以看出,牢固掌握基本定理、基本公式以及基本圖形是進行直接轉化的重點,導數教學中應和學生一起運用思維導圖做好歸納與總結.同時,帶領學生一起運用直接轉化解答相關習題,進一步加深學生印象,使學生能更好地理解與掌握.

例如:函數f(x)=ex+sinx-x-1在區間[-π,+∞)上的零點個數為______.

該問題中的函數由指數函數、三角函數與一次函數組合而成.課堂上可以采用提問的方式,要求學生回顧零點存在性定理,將問題轉化為零點存在性問題,通過判斷導函數值與0的大小關系,結合函數的單調性得出函數的零點個數.

直接轉化是解答導數問題的常用方法.教學中應引導學生理解和牢記基本定理、基本公式以及基本圖形,多開展利用直接轉化解答導數問題的訓練活動,增強學生的轉化技能.

4.2 換元轉化

通過換元可以減少參數個數,將看似復雜的式子轉化為簡潔的式子,降低解題難度.換元轉化在解決導數多變量問題中表現出明顯的優勢,因此,課堂上應緊跟換元理論知識的講解針對性地設計多變量導數問題,展示換元的具體過程,提高學生運用換元轉化解決導數多變量問題的意識,使其在以后遇到類似問題能夠迅速找到突破口.

導數教學中,可以采用“講解理論→分析習題→專題訓練”的流程進行授課.其中在專題訓練環節,要求學生重點關注換元過程以及換元后如何高效、正確地確定參數的取值范圍,總結專題訓練中獲得的啟示,將在專題訓練中學習到的知識、技巧內化為自身能力.

綜上所述,化歸思想在高中導數教學中發揮出了提高教學效率、推動教學活動有序開展的積極作用.教學實踐中,教師應增強認識,做好化歸思想理論的自主學習,儲備豐富的理論知識,增強在教學中融入化歸思想的意識,做好教學活動的針對性設計,運用各種教學策略,將化歸思想與課堂教學內容有機銜接,使學生在習得數學知識的同時,獲得熟練運用化歸思想的方法與技巧.