借助公式合理應(yīng)用,回歸函數(shù)本質(zhì)創(chuàng)新
——2023年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第8題

? 江蘇省宜興市第二高級中學(xué) 楊文英

數(shù)列是《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修課程中函數(shù)主線的重要內(nèi)容之一,也是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的主干知識之一.在每年高考中,數(shù)列都是一個重要命題點,也是高考命題中考查“四基”,以及考查創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用的一個重要的風(fēng)向標,備受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題(2023年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·8)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=( ).

A.120 B.85 C.-85 D.-120

本題目簡單明了,解題的思路可以從等比數(shù)列的公式與性質(zhì)應(yīng)用兩個視角切入,利用相應(yīng)的公式加以合理變形與轉(zhuǎn)化,或利用對應(yīng)的性質(zhì)加以構(gòu)建與應(yīng)用,都可以有效化歸與轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)問題的解決.

2 真題破解

2.1 等比數(shù)列的公式應(yīng)用

方法1：利用等比數(shù)列求和公式.

方法2：方程求解法.

解析：依題知,等比數(shù)列的公比q≠1.由S4=-5,S6=21S2,聯(lián)立方程可得

解后反思：根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、求和公式等來處理與解決問題,是解決等比數(shù)列中最基本的一種解題方法,通過公式的展開,結(jié)合不同問題場景加以靈活化簡、巧妙運算等.在實際解題時,要注意數(shù)列中的通項公式、求和公式等的靈活應(yīng)用,以及公式中的整體思維、函數(shù)與方程思想等的應(yīng)用.

2.2 等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用的前提就是初步掌握一些與等比數(shù)列的通項、求和等相關(guān)的基本性質(zhì),利用對應(yīng)性質(zhì)合理構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,為問題的進一步求解提供條件,是解決問題的“巧技妙法”.

方法3：利用等比數(shù)列求和公式的變形.

解析：依題意可知,有Sm+n=Sn+qnSm,結(jié)合S6=21S2,可得S6=S3×2=(1+q2+q4)S2=21S2,可得q4+q2-20=0,解得q2=4.所以S8=S2×4=(1+q4)S4=(1+42)×(-5)=-85.故選:C.

解后反思：等比數(shù)列求和公式的變形形式Sn+m=Sn+qnSm,以特殊形式,并結(jié)合等比數(shù)列的求和性質(zhì)應(yīng)用來轉(zhuǎn)化與解決問題.利用相關(guān)等比數(shù)列的變形公式法處理問題時,其關(guān)鍵在于充分挖掘各Sn中的下標的倍數(shù)關(guān)系或和差關(guān)系,結(jié)合變形公式的熟練掌握來分析與應(yīng)用.

方法4：利用等比數(shù)列的性質(zhì).

解析：在等比數(shù)列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列的性質(zhì),可知S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6也成等比數(shù)列.

當(dāng)S2=-1時,結(jié)合(S6-S4)2=(S4-S2)(S8-S6),可得S8=-85.

綜上分析,可得S8=-85.故選:C.

解后反思：根據(jù)等比數(shù)列求和公式的性質(zhì),即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列,合理構(gòu)建一個新有關(guān)等比數(shù)列求和的線性關(guān)系式的等比數(shù)列,并利用等比數(shù)列的性質(zhì)進一步解題.該等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用也離不開各Sn中的下標的倍數(shù)關(guān)系,這與等比數(shù)列的變形公式法有異曲同工之妙.

方法5：等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)法.

解析：在等比數(shù)列{an}中,令Sn=A(1-qn),A≠0,由S6=21S2,可得1-q6=21(1-q2),解得q2=4(q2=-5<0,舍去).

解后反思：根據(jù)等比數(shù)列求和公式的函數(shù)性質(zhì)Sn=A(1-qn),A≠0,借助待定系數(shù)法,通過等比數(shù)列的求和性質(zhì)應(yīng)用來分析與解決問題.回歸數(shù)列的函數(shù)本質(zhì),借助等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式、求和公式所對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),合理構(gòu)建對應(yīng)的含參關(guān)系式,具有普通性,解題更加靈活巧妙.

方法6：構(gòu)造法.

解析：構(gòu)造數(shù)列{bn},其中bn=a2n-1+a2n,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可知,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為p(這里p=q2>0,q為等比數(shù)列{an}的公比),可得1+p+p2=21,解得p=4(或p=-5<0,舍去),結(jié)合b1+b2=b1+b1p=-5,解得b1=-1,所以S8=S4(1+p2)=-5×(1+42)=-85.故選:C.

解后反思：根據(jù)條件合理構(gòu)造新數(shù)列——從首項起,連續(xù)兩項之和為新數(shù)列的一個項,利用等比數(shù)列的性質(zhì)知其也是等比數(shù)列,進而構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式加以分析與求解.借助構(gòu)造思維,引入新數(shù)列,使得問題的破解更加直接,更有針對性,解決起來也方便快捷.構(gòu)造法是創(chuàng)新思維與創(chuàng)新應(yīng)用的一個重要表現(xiàn).

3 變式拓展

該等比數(shù)列是確定的,因而也可進一步確定其通項公式與前n項和公式的表達式.

變式1記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則an=______.

變式2記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則Sn=______.

以上變式問題,由于等比數(shù)列的首項與公比的差異,因而都有兩個答案,不能遺漏,否則容易導(dǎo)致錯誤.

4 教學(xué)啟示

4.1 抓住數(shù)列本質(zhì),回歸函數(shù)應(yīng)用

數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一,是函數(shù)主線的一個重要分支.因此,在實際解決數(shù)列問題時,往往要回歸數(shù)列的函數(shù)本質(zhì),抓住數(shù)列的函數(shù)屬性,挖掘出相關(guān)數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列)的概念、通項公式、求和公式等,以及這些基礎(chǔ)知識與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,借助函數(shù)的觀點來合理揭開數(shù)列神秘的“面紗”,有效構(gòu)建聯(lián)系,進而利用函數(shù)的性質(zhì)與方法來解決數(shù)列問題,從而使得數(shù)學(xué)知識更加系統(tǒng)化,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的整體意識,以及用聯(lián)系發(fā)展的眼光學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等.

4.2 倡導(dǎo)“一題多解”,實現(xiàn)“一題多得”

借助一些典型例題,特別是高考真題的“一題多解”,在進一步鞏固與提升基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,拓寬解題思路、技巧方法等,從而開闊學(xué)生思路、發(fā)散學(xué)生思維,加深對問題的“通性通法”的認識與掌握.通過解決問題的“巧技妙法”的應(yīng)用,進而挖掘相關(guān)問題的本質(zhì)與內(nèi)涵,提升各方面的能力.

在此基礎(chǔ)上,利用問題的“一題多解”,不斷研究探索,回歸問題本源,深入進行“一題多變”,巧妙實現(xiàn)問題的“一題多得”,聚合數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)上又加以開拓,特別是在變式中尋找通法,在探究中升華能力,研究之路定會越鋪越遠.這樣可以很好全面提升數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、思想、方法、技巧等,是綜合應(yīng)用能力、創(chuàng)新應(yīng)用能力等方面提升的一大表現(xiàn).