基于向量最值(或范圍)問題的解題教學

? 江蘇省東海縣第二高級中學 胡陳梅

平面向量的范圍與最值問題是熱點問題,也是難點問題.此類問題綜合性強,體現了知識的交匯整合,其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值,比如,向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等;解決思路是建立目標函數的解析式,轉化為求函數的最值,同時向量兼有“數”與“形”雙重身份,故平面向量的范圍與最值問題的另一種思路是數形結合.

題型1與系數有關的最值(范圍)問題

圖1

分析：根據題設條件,通過平面向量的線性表示與轉化,利用線性組合的構建,結合三點共線的等價條件得到系數x,y之間的等量關系,代入目標關系式進行消參處理,進而利用基本不等式加以放縮處理,得以確定系數關系式的最值問題.

感悟提升：解此類問題一般分兩步走.第一步,利用平面向量的運算、性質等將問題中的系數等相關信息轉化為相應的等式關系;第二步,運用基本不等式或函數的性質求其最值.

圖2

題型2與數量積有關的最值(范圍)問題

分析：根據平面向量的數量積的定義a·b=|a||b|cosα,借助兩向量的夾角的構建與應用來合理變形與轉化,通過平面幾何思維來直觀,有時也是解決此類問題時比較常用的一種技巧方法.這里要注意的是平面向量的夾角應與平面幾何中的對應角加以聯系,結合圖形直觀來分析即可.

圖3

感悟提升：求數量積的最值(范圍)的方法通常有兩種.(1)坐標法.通過建立直角坐標系,運用向量的坐標運算轉化為代數問題處理;(2)向量法.運用向量數量積的定義、不等式、極化恒等式等有關向量知識解決.

題型3與模有關的最值(范圍)問題

例3已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

分析：根據平面向量的“數”的結構屬性,構建平面直角坐標系,合理引入平面向量的坐標,利用平面向量中的相關要素,轉化為涉及坐標的函數、方程或不等式等,進而從代數視角來數學運算與邏輯推理.這里通過平面向量所對應的坐標的構建,利用題設條件確定對應坐標的關系式,再利用基本不等式、三角函數的應用等來確定最值.

解析：在平面直角坐標系xOy中,設向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖4所示.

圖4

感悟提升：求向量模的最值(范圍)的方法通常有兩種.(1)代數法.把所求的模表示成某個變量的函數,或通過建立平面直角坐標系,借助向量的坐標表示;需要構造不等式,利用基本不等式、三角函數,再用求最值的方法求解.(2)幾何法(數形結合法).弄清所求的模表示的幾何意義,注意題目中所給的垂直、平行,以及其他數量關系,合理的轉化,使得過程更加簡單;結合動點表示的圖形求解.

針對訓練若向量a,b互相垂直,且滿足(a+b)·(2a-b)=2,則|a+b|的最小值為( ).

題型4與夾角有關的最值(范圍)問題

例4平面向量a,b滿足|a-b|=3,|a|=2|b|,則a-b與a夾角最大時,|a|為( ).

分析：根據題設,由平面向量的數量積運算加以合理變形與轉化,通過平面向量的夾角公式合理消參,利用基本不等式的應用進行放縮,進而確定夾角的余弦值的最小值,利用三角函數的性質來進一步分析與處理.

感悟提升：求夾角的最值(范圍)問題時,往往要選取對應夾角的三角函數值,以選取夾角余弦值為主,通過余弦值的三角函數表達式,利用關系式的變形與轉化,采用基本不等式或函數的性質進行求解.

平面向量中的最值(范圍)問題,是高考對平面向量比較常見的考查形式之一,也是常考常新的基本考點之一,主要考查的知識點涉及平面向量的模、坐標、夾角、數量積以及相關的參數等.在實際解答與應用時,挖掘題目內涵,結合題意,從平面向量的本質出發,選取函數法、三角法、不等式法、圖形法等行之有效的基本方法來解決,進而達到解決相關的最值(范圍)問題的目的.