“本手”筑基,“妙手”生花

? 湖北省十堰市東風(fēng)高級(jí)中學(xué) 夏巨星

2022年全國語文新高考Ⅰ卷的作文題中出現(xiàn)了“本手、妙手、俗手”這三個(gè)圍棋術(shù)語,本手是指合乎棋理的正規(guī)下法;妙手是指出人意料的精妙下法;俗手是指貌似合理,而從全局看通常會(huì)受損的下法[1].

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中,也可以很好借助圍棋術(shù)語中的“本手”與“妙手”來類比與拓展.“本手”筑基,合理構(gòu)建并應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本思想方法等,筑牢基礎(chǔ)知識(shí),構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò);“妙手”生花,巧妙創(chuàng)設(shè)場景并利用相關(guān)的精妙解法等,優(yōu)化解題過程,提升解題效益.

1 問題呈現(xiàn)

眾所周知,解三角形是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.合理構(gòu)建于初中平面幾何的基礎(chǔ)上,融入解三角形、三角函數(shù)以及平面向量等相關(guān)高中知識(shí),是高考數(shù)學(xué)試卷填空壓軸題中經(jīng)常設(shè)置的一類綜合應(yīng)用問題,特別是涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯與融合的創(chuàng)新應(yīng)用問題.

下面通過一道有關(guān)解三角形背景下平面向量數(shù)量積的求解問題,從多個(gè)角度進(jìn)行分析,剖析數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)教學(xué)中的“本手”與“妙手”,以培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí),促進(jìn)學(xué)生思維能力和思維品質(zhì)的提升.

此題最早出現(xiàn)在2022年浙江省寧波“十校”高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷(3月份)中,以一個(gè)相鄰兩邊為定值的三角形為問題背景,結(jié)合三角形外心和垂心的給出,進(jìn)而確定以這兩個(gè)“心”所對(duì)應(yīng)的向量與第三邊所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積,借助“不確定”的三角形的創(chuàng)設(shè)來“確定”對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積,“數(shù)”與“形”結(jié)合,“動(dòng)”與“靜”轉(zhuǎn)化,構(gòu)建一幅完美、和諧的“畫卷”.

特別,我們也嘗試從“本手”與“妙手”這兩個(gè)不同的層面來分析與處理該問題,闡述問題的內(nèi)涵與解題的本質(zhì),剖析解題技巧與應(yīng)試策略.

2 “本手”筑基

數(shù)學(xué)解題中,“本手”是基礎(chǔ),只有筑牢基礎(chǔ),落實(shí)“本手”,掌握相關(guān)問題的“通技通法”,才是數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本所在.

此類以平面幾何為場景,交匯并融合解三角形與平面向量的相關(guān)知識(shí),破解的基本思維策略就是正確剖析平面圖形中邊與角的關(guān)系,通過解三角形中的正弦定理、余弦定理以及平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積等加以綜合與應(yīng)用,也是解決此類問題的“本手”所在,基礎(chǔ)所在.

2.1 余弦定理法

設(shè)∠AOB=α,∠AOC=β,△ABC的外接圓的半徑為r.

由余弦定理,可得AB2=AO2+OB2-2AO·OB·cosα=r2+r2-2r2cosα=2r2-2r2cosα=25.

同理AC2=AO2+OC2-2AO·OC·cosβ=r2+r2-2r2cosβ=2r2-2r2cosβ=9.

故填答案:8.

解后反思：根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算,以及△ABC的外心和垂心的幾何性質(zhì),結(jié)合解三角形中的余弦定理,合理轉(zhuǎn)化,巧妙應(yīng)用,特別是合理轉(zhuǎn)化平面向量的數(shù)量積的關(guān)系中各向量的“同起點(diǎn)”問題,進(jìn)一步優(yōu)化解決與應(yīng)用過程.

2.2 余弦定理的向量式法

故填答案:8.

解后反思：根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算,以及△ABC的外心和垂心的幾何性質(zhì),巧妙結(jié)合解三角形中余弦定理的向量式,有機(jī)“串聯(lián)”起解三角形與平面向量之間的聯(lián)系,使得問題的解決得到很大的優(yōu)化與提升.

3 “妙手”生花

數(shù)學(xué)解題中,“妙手”是創(chuàng)新.只有發(fā)展思維,推進(jìn)“妙手”,拓展探究問題的“巧技妙法”,才是優(yōu)化與提升解題能力、培養(yǎng)創(chuàng)新思維的土壤.

涉及此類由問題場景的“不確定”的創(chuàng)設(shè)來“確定”對(duì)應(yīng)的數(shù)值等相關(guān)創(chuàng)新應(yīng)用,往往可以借助特殊思維,從問題的特殊情況入手,通過特殊思維,借助特殊元素(包括特殊圖形、特殊點(diǎn)、特殊值、特殊函數(shù)等)的構(gòu)建,確定特殊場景下對(duì)應(yīng)的數(shù)值,進(jìn)而回歸一般,得以“妙手”偶得.

圖1

故填答案:8.

圖2

故填答案:8.

解后反思：根據(jù)三角形的相鄰兩邊為定值進(jìn)行極端思維,合理構(gòu)建特殊圖形進(jìn)行特殊思維,通過不同場景下的直角三角形的創(chuàng)設(shè),快速確定對(duì)應(yīng)的外心與垂心,結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.“一般”中尋找“特殊”,“特殊”中呈現(xiàn)“一般”,優(yōu)化解題過程,提升解題效益.

4 教學(xué)啟示

其實(shí),在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過)、新課程(《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂》)、新高考的“三新”背景下,高考試題更加注重思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及核心素養(yǎng)等方面的考查,凸顯教師與學(xué)生對(duì)新高考方向與命題思路的適應(yīng)程度,反映教考銜接環(huán)節(jié)之間的匹配度[2].因而,在數(shù)學(xué)解題教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中,要立足“本手”,求取“妙手”;要學(xué)好“本手”,下出“妙手”;要勤于“本手”,方能“妙手”.同時(shí),解題研究中,要以“本手”主本,才能“妙手”偶得;要以“本手”固基,才能“妙手”輝煌;要以“本手”行穩(wěn),才能“妙手”致遠(yuǎn).

特別在數(shù)學(xué)解題過程中,不能再借助以往的老經(jīng)驗(yàn),一味地走“題海戰(zhàn)術(shù)”的老路,應(yīng)該合理下穩(wěn)“本手”,科學(xué)實(shí)施“妙手”,全面促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法等“四基”的內(nèi)化與提升,提升數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性與開闊性,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的靈活性與創(chuàng)新性,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).