數學文化視角下函數主題的情境教學

? 安徽省臨泉第一中學 牛 明

數學承載著思想和文化,通盤滲透“數學文化”是人教版教材非常鮮明的特色.數學文化在人教版教材中主要體現在三個方面:數學史、數學應用、數學思想和方法.本文中基于人教版教材分析數學文化融入函數主題的情境設計.

1 銜接單元:一元二次函數、方程和不等式

文化素材:ag糖水中含有bg糖,若再添加mg糖,生活常識告訴我們糖水會更甜.根據這個生活常識,你能提煉出一個不等式嗎?并給出證明.

2 函數

文化素材:(1)對函數概念的再認識(函數起始課);(2)函數概念的形成與發展(數學文化專題).

設計意圖：介紹函數概念發展的歷程.第一階段,解析式表示的函數.函數萌芽于17世紀,伽利略對運動學的研究,促進了笛卡兒對動點軌跡的研究.函數是用運動、變化的觀點研究客觀世界中相互關聯的量之間的依賴關系.第二階段,18世紀伯努利和學生歐拉給出的函數概念.這個階段的函數概念很接近初中的定義,突出函數是變量的依賴關系和對應關系.概念中有不嚴謹地方,如“變量x的每一個值”中變量在什么范圍內取值?在什么范圍內變化?第三階段,20世紀初美國的維布倫將變量的取值范圍看成集合.將函數看成兩個集合之間的對應關系,得到高中函數的定義.第四階段,現代函數的應用已滲透到數學、計算機科學、自然科學乃至人文科學的各個領域中,由于物理學的推動和數學理論發展的需要,函數概念也有了新發展,出現測度函數、廣義函數等新的研究分支.

3 冪函數、指數函數、對數函數

3.1 冪函數

文化素材:(1)指數冪概念的推廣;(2)冪函數在實際生活中的應用.

設計意圖：(1)理解用有理數指數冪逼近無理數指數冪的數學思想方法;(2)教材結合物理知識探究“小水滴掉不下來形成霧的原因”,得到三種正整數次冪函數,又結合“點光源發出強度與距離x的平方成反比”引出負整數次冪函數,引導學生了解數學知識的應用價值.

3.2 指數函數

文化素材:教材例舉了大量指數爆炸和指數衰減的現實素材,如C14的指數式衰減用于考古學檢測生物體死亡時間,核鈾變、GDP是指數式增長模型,等等.

設計意圖：激發學習興趣,讓學生感受到數學來源于現實生活,同時又指明研究的對象.引導學生觀察現象,發現問題、提出問題,經歷分析問題的過程,直至解決問題,讓數學成為刻畫現實世界運動變化的工具.

3.3 對數函數

文化素材:鈷60射線穿過鉛板后強度指數式衰減,已知強度比,求鉛板厚度;介紹對數發明者納皮爾;用對數計算地震震級;數學文化專題——歷史上的對數.

設計意圖：創設問題情境,從實際應用中引出一種新的運算——對數運算;附加式融入數學史,介紹數學家;例題中滲透對數的實際應用;以數學文化專題的形式介紹對數發展史.

3.4 函數與方程

文化素材:方程的根與函數的零點;用二分法求方程的近似解.

設計意圖：介紹函數、方程、不等式之間的聯系與轉化的數學思想;教材中以檢修電路創設生活情境,從中抽象出二分法求解方程近似解的數學思想.注重知識的應用背景,讓學生體會數學來源于生活,是對現實的高度抽象,體會逼近的數學思想.

3.5 函數模型及其應用

文化素材:(1)幾種函數增長快慢的比較.例舉大量生活案例(如城市的電話號碼升級、合理編排辭典查單詞的工作量、互聯網搜索),使學生進一步體會“對數增長”“指數爆炸”,并對不同函數增長的差異形成鮮明的認知.(2)數學應用——形形色色的函數模型.(3)習題——函數增長快慢與圖象的凹凸性.

設計意圖：(1)人教版教材在編寫時,在語言上適度口語化,盡量用貼近學生生活和情感的、通俗易懂的語言來講明數學內容最精華的內核.這節課以函數運動會的形式來表現不同類型函數增長的快慢,這樣的呈現新穎活潑、趣味盎然.具體分為四部分,即問題引入、同組比賽、不同組比賽、函數增長速度變化.利用信息技術將圖象延伸,展示各函數的走勢與整體,就能比較得出結論.借助圖象可以比較直觀地看出不同函數增長的快慢,但這還不夠,還需要從定量的角度展開研究.利用定性與定量相結合的研究方式,感知并理解不同函數的增長差異.(2)數學建模是數學應用的重要形式,教師要鼓勵學生從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題,進而構建模型、確定參數、計算求解、驗證結果、改進模型,最終解決實際問題.學生經歷有聲有色的數學建模過程,有助于發展問題意識和創新意識,并內化為數學核心素養.(3)習題設計:

向高為H的水瓶中注水,注滿為止.如果注水量V和水深h的關系如圖1所示,那么水瓶的形狀是( ).

圖1

在習題中滲透數學史:琴生(Jensen)不等式.函數“越跑越快”,滿足不等式

函數“越跑越慢”滿足不等式

4 三角函數

文化素材:(1)弧度制的引入;(2)弧度制和角度制互化;(3)習題——航海上最初規定地球子午圈的1分弧長為1海里,根據此規定計算1海里的長度;(4)正弦型函數y=Asin(ωx+φ)的應用模型,參數A,ω,φ的物理意義.

5 三角函數模型的簡單應用

文化素材:(1)例1研究單擺小球離開平衡位置時的位移隨時間呈周期性變化的問題;例2以摩天輪為現實背景,經歷勻速圓周運動的數學建模過程.(2)數學文化專題——三角學的歷史.

設計意圖：(1)三角函數的應用問題大致分為三類.第一類是勻速圓周運動問題,如摩天輪、筒車的勻速圓周運動的問題;第二類是簡諧振動(單擺、彈簧等)、聲波、交變電流等物理學中的周期性現象的刻畫;第三類是取材于現實生活的近似周期問題,如潮汐問題等.教材通過兩個典型例題,讓學生體會圓周運動與三角函數模型之間的內在聯系,感受數學建模思想,增強應用意識.(2)滲透三角學數學史.三角學是研究三角函數和解三角形的數學分支.它的發展和天文學、幾何學有著不可分割的關系.其發展分為三個時期——早期三角學隸屬于天文學,起源于對三角形邊角關系的定量考察;后來三角學脫離天文學而獨立,成為數學的一個分支,這一時期里編制了大量的三角函數表;第三時期歐拉首先提出三角函數的概念,使三角學從靜止地研究解三角形問題,發展到用三角函數去反應運動和變化的過程.三角學進一步演變為研究三角函數的三角學,并成為分析學的一個分支.

每個數學知識發現的過程,一定是數學家醉心發現、探究的過程,源于數學之美對人類的召喚.一線教師要研讀教材中數學文化內容,多閱讀數學史和數學名著以及數學哲學方面的書籍,提升自身數學文化素養,并將其適當地滲透到教學中.