把握度量本質,拓展分數意義
——以“分數的意義（2）”的教學為例

江蘇省南京市建鄴實驗小學分校 饒正凱

一、案例背景

學生在三年級初步認識了分數，知道把一個物體、一個圖形或幾個物體組成的整體平均分成幾份，其中的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來表示。在此基礎上，學生在五年級學習“分數的意義和性質”單元第一課時時，進一步抽象出單位“1”的概念，概括分數的意義，同步認識分數單位。實踐表明，如此教學容易造成學生對“假分數”等概念的理解困難。因此，教材再次激活學生已有的度量經驗，引導學生基于度量的視角理解分數，從而自然生成“假分數”，為后續探究分數序列的其他知識奠定堅實的基礎。

度量的核心是度量單位的產生、發展以及累加的過程。因此，分數的度量意義不僅要強調分數也是數，是數軸上的一點，還要強調分數的產生過程是對分數單位的計數或累加，這在本質上與整數、小數的計數方法是一致的。因此，筆者創設真實的問題情境，引發學生的度量需求，并在實際的度量操作中自然生成合適的度量單位，深度建構分數的度量意義，豐富學生對分數意義的理解。在此基礎上，通過分數單位的累加認識“真分數”與“假分數”，擴展“分數”概念的外延，使學生體驗假分數與真分數、整數的內在關聯。

二、案例描述

（一）片段一

著名兒童心理學家皮亞杰說過，智慧從動作開始，學生的多種感官參與認知活動，可以使信息不斷地刺激細胞，促使思維活躍，便于儲存和提取信息，同時易于激發好奇心和求知欲，產生學習的內驅力。因此，教師要設計操作活動，通過測量激活學生的度量經驗，使學生體會分數單位產生的必要性,深入理解單位“1”的內涵。

1.問題引入，激活經驗

課件出示：

（指名學生讀一讀）

師：你覺得有什么要提醒其他同學的？

（在學生交流的基礎上明確：以粉彩帶為標準）師：以粉彩帶為標準，紫彩帶有多長？

（學生交流后，課件演示測量過程）

師：以粉彩帶為標準，就是把粉彩帶的長度看作單位“1”。（板書：1）

師（追問）：紫彩帶的長度可以用哪個數表示？如果紫彩帶有3 個這樣的1 根呢？4 個這樣的1 根呢？100 個呢？

師（小結）：幾個1 是幾。[板書：幾個1 是（ ）、結果、自然數、單位]

【設計意圖：從一個實際問題引入，在明確問題實質的基礎上喚醒學生的度量經驗——“以粉彩帶為標準”就是把粉彩帶的長度看作單位“1”，用粉彩帶去量紫彩帶，紫彩帶中包含幾根粉彩帶的長，就可以用幾表示，從而進一步激活學生的整數計數經驗，為后續探究活動埋下伏筆。】

2.基于度量，再認分數

（1）設置沖突，引發需求

課件出示：

師：我們繼續以粉彩帶為標準，黃彩帶有多長？現在還能以這根粉彩帶作單位來量嗎？有什么好辦法？

（同桌討論）

師（小結）：可以把粉彩帶平均分，用每份的長度作單位來量。

（2）創生單位，自主測量

①示范測量

②創生單位

課件演示：把粉彩帶平均分成3 份、4 份、5 份，得到不同的單位。（板書：

③嘗試測量

師：選哪個作單位能量出黃彩帶的長度呢？

（學生嘗試測量，同桌交流）

（指名學生展示測量過程）

④再度體驗

課件出示：

師：你能像剛才那樣選擇合適的單位量一量藍彩帶的長度嗎？

出示小組合作要求：

選：選擇合適的分數單位量一量。

想：藍彩帶是幾分之幾根粉彩帶的長？

說：小組內交流自己的想法。

（學生活動，匯報交流）

⑤初步對比

課件出示：

師（小結）：它們的分數單位不一樣，分數單位的個數也不一樣。

（3）豐富認識，比較分類

①看數填圖

師：李阿姨去比薩店買了一些比薩回來分給家人（出示：4 個比薩），小明想吃個比薩，哥哥想吃個比薩，爸爸想吃個比薩，李阿姨會怎么做？

②看圖寫數

師：他們三個人一共吃了多少個比薩？

課件動態演示：

（指名口答，說明理由）

③比較分類

師：剛才我們認識了這么多分數，你能把它們分分類嗎？

（學生交流）

師（小結）：分子比分母小的分數叫真分數，分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫假分數。（板書：真分數、假分數）

從一個實際問題引入，在明確問題實質的基礎上激活學生的度量經驗——“以粉彩帶為標準”就是把粉彩帶的長度看作單位“1”，用粉彩帶去量紫彩帶，量出紫彩帶中包含幾根粉彩帶的長。度量單位和度量值是度量的核心要素。因此，從度量角度認識分數，關鍵是建立“分數單位”和“數出分數單位的個數”之間的聯系。基于學生已有的度量經驗，筆者設計層次不同的測量活動，讓學生充分經歷分數單位累加得到大小不同的分數的過程。第一層次“半扶半放”，通過課件演示，幫助學生進一步明晰測量的方法，然后自選合適的單位初步嘗試測量；第二層次“由扶到放”，學生基于新生成的測量經驗，再次體驗測量的過程，獲得測量結果，直觀感知分數單位的累加得到大小不同的分數；第三層次“完全自主”，在既有的單位無法準確測量的情況下，學生嘗試尋找新的單位來測量。學生在學習活動中體會到分數的產生是實際測量的需要，并進一步從度量的角度豐富了對分數的意義的認識。

（二）片段二

小學生并未進入形式運算階段，還不能在頭腦中很好地將形式和內容分開，不能進行較抽象的邏輯推理。因此，總體而言，對于小學階段的分數學習，教師應該結合學生的年齡特征，從多個方面幫助他們加強對分數不同意義的理解。

1.數形結合，深化理解

（1）簡單應用，發展數感

課件出示：

師：仍然把粉彩帶看作單位“1”，你覺得綠彩帶的長度是真分數還是假分數？誰來估一估，你覺得用哪個單位來量最合適？

（學生估計，指名驗證、交流）

（2）適度抽象，直觀感知

師：剛才我們都以粉彩帶為標準，若干根這樣的粉彩帶前后連接，并在一起，再壓縮就成了我們熟悉的數線（演示：兩根粉彩帶并在一起，再隱去粉彩帶最終出現數線）。那么，在哪呢？

（請學生指一指，說明理由）

課件相機出示：

師：在數線上，你還能找到哪些分數？在這些分數中，真分數有幾個？假分數又有幾個？

（指名交流）

師（小結）：分數單位為

（3）關聯小數，溝通聯系

課件出示：

師：如果把1 平均分成10 份，你想到哪個數？還可以用哪個數來表示？師：當把1 平均分成10 份時，每份不僅可以用這樣的分數來表示，還可以用0.1 這樣的小數來表示。（板書：小數0.1）

師（追問）：2 個0.1 是幾？7 個0.1 呢？14 個0.1 呢？

（學生交流回答）

師（小結）：幾個0.1 是幾點幾。（板書：0.2，0.7，1.4）

【設計意圖：在學生從度量的角度充分感知分數的意義后，教師將彩帶抽象成數線，借助數線引導學生進一步體驗分數單位的累加得到大小不同的分數，并直觀比較真分數、假分數的大小，同時與小數的認識關聯，有效溝通分數和整數、小數計數方法之間的聯系，幫助學生構建完整的認知結構?！?/p>

2.回顧反思，統整認識

師：同學們，通過今天的學習，你有什么收獲？

（學生自由交流）

師：以前，我們是把單位“1”平均分，然后用分數來表示部分與整體的關系。今天，我們認識分數的角度發生了一些變化，你覺得和以前比，我們現在更關注什么？

師（小結）：無論是自然數、分數還是小數，在計數的時候，都是數有幾個這樣的計數單位，累加起來結果就是幾。（板書：累加）今天，我們對分數的意義有了進一步的認識。（板書課題：分數的意義）關于分數的知識遠不止于此，今后我們還要繼續研究。

新知的學習離不開必要的練習。練習從最基本的“在圖形中涂色，表示它下面的分數”開始，教師引導學生對所學分數進行分類，進而認識真分數和假分數，在此基礎上再用“看圖寫數”及時鞏固學生對真分數和假分數的認識?！皢挝弧笔秦灤皵蹬c代數”“圖形與幾何”兩大領域的核心，在“數與代數”領域關注的是計數單位，在“圖形與幾何”領域強調的是計量單位，但兩者的道理是一致的。課尾，在學生系統回顧一節課的學習收獲的同時，教師進一步引發學生溝通計數單位與計量單位之間的聯系，引導學生整體建構小學數學核心知識。

三、案例分析

“分數的意義”作為“數的認識”系列知識的核心內容，一直是教學研究的熱點。為幫助學生精準建構分數的度量意義，筆者力求打通不同學段、不同領域內容之間的關聯，充分凸顯數學學習的整體性與一致性。

（一）聚焦：把握核心與本質

分數的度量單位即分數單位，分數單位在本質上與自然數的計數單位是一致的。不過，它隨著單位“1”被平均分成的份數的變化而變化，因而，學生理解起來感到抽象、困難，但這并不妨礙分數單位在建構分數意義時的核心地位。

課中，筆者創設簡潔明了的問題情境，以粉彩帶的長度為標準，引導學生表示其他幾種彩帶的長度。學生充分調動已有的數學活動經驗，創造不同的分數單位，并選擇合適的分數單位，通過度量描述各種彩帶的長度，從而創生出大小不同的分數，真分數與假分數的認識便水到渠成，有效改善了以往單一地從“部分—整體”角度理解分數的困境?？梢姡怀龇謹祮挝槐阕プ×朔謹敌蛄兄R教學的核心和本質，唯有這樣，才能事半功倍。

（二）打開：歷練思維與經驗

“分數的意義”有許多經典的設計“深入人心”，這導致不少教師上課時受到許多有形、無形的束縛，課堂相對封閉。理想的課堂應向四面八方打開！課堂向四面八方打開意味著給予學生更為廣闊的活動空間，激活學生思維，積累豐富的數學活動經驗。

認識分數，既要理解它的內涵，又要認識它的外延。因此，在學習“分數的意義”時，認識真分數和假分數是教學的應有之義。本節課，對于真分數和假分數的認識，筆者利用長短不同的彩帶這種簡約的學材，放手讓學生自主表達。學生在已有計數經驗的同化下，生長出“幾個幾分之一就是幾分之幾”的新經驗，從而在不經意間認識了假分數。如此教學，沒有囿于教材靜態的編排和過往陳舊的經驗，而是提供適合的學習材料，營造適宜的學習氛圍，充分發掘學生的潛能，讓學生在真實發生的學習過程中歷練思維、習得方法、豐富經驗、積淀素養。

（三）融通：凸顯結構與方法

數學知識邏輯嚴謹，在日常教學中，教師要幫助學生建立起知識之間的聯系，使新知識與原有認知結構中的舊知識相互發生作用，實現新舊知識意義的同化，從而使原有的認知結構發生積極變化。基于此，學生要更好地理解分數序列知識，而有效的途徑就是以分數的意義為核心構建一個結構網絡，融通所學知識。

本課在分數“份數定義”的基礎上從分數單位累加的角度再認分數，這樣便將分數的認識與自然數的認識融為一體了，學生從中也充分感受到認數方法的一致性。不僅如此，課尾，筆者還將“數與代數”領域的“計數單位”和“圖形與幾何”領域的“計量單位”適度勾連，引發學生進一步的思考。這無形中增進了學生對知識整體的理解。因此，在日常教學中，教師不僅要關注知識的生長點，還應注重相關知識的連接點與延伸點。這樣不僅有利于學生理解所學知識的內涵，還能更好地揭示數學知識之間的內在關聯，有利于學生從整體上理解數學，構建數學知識結構。

總之，為適應基于核心素養的教學，備課之初，教師應基于單元視角，提升教學立意；教學時，教師應聚焦核心知識，適度打開課堂，融通關聯內容，從而有效凸顯數學課程的整體性與一致性。