小學數學模型教學的理念與實踐
——以“階梯計費問題”的教學為例

江蘇省常熟市世茂實驗小學 陳雪娟

新課標明確指出，模型意識，主要是指對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋。數學模型是以現實生活為原型抽象出的數學概念，是現實、數學與應用之間的橋梁和紐帶，是實現數學問題解決的重要手段和主要載體。生活中處處蘊含著數學模型，數學模型教學是以數學活動為載體，使學生經歷“提煉問題—探究原理—建構模型—應用模型”的過程，經歷知識形成的過程，理解知識之間的聯系，促進知識建構、能力形成及情感培養，引導學生利用模型解決問題，培養學生的數學化眼光、抽象化能力、結構化思維和應用化素養。下面，筆者結合自己教學的課例，淺談一些想法。

一、課前調查做準備

新課標明確指出，學科應當有育人功能，要實現數學學科的育人價值，要培養學生用數學的眼光去認識自己所生活的環境與社會，學會數學地思考。數學教學不僅要強調向學生提供系統的數學知識，而且要關注向學生提供具有現實背景的數學，包括現實生活中的數學。蘇教版數學五年級上冊“小數乘法和除法”單元“探索與實踐”中有這樣一道題（如圖1）：

圖1

自全國范圍實施“階梯電價”的收費標準后，居民階梯電價得到改革，在保障居民生活基本用電的同時，國家著力引導居民養成節約用電的習慣。水、電、天然氣與百姓生活息息相關，為了讓學生領悟到數學知識源于生活又服務于生活，引導他們用數學的眼光觀察生活，使學生感受到生活中處處有數學，數學就在我們身邊，課前，筆者圍繞“水、電、天然氣”，先請學生完成一份課前調查問卷。

學生利用雙休時間，通過查閱資料或走訪相關部門等方式展開調查，了解繳費途徑，收集并初步解讀水、電、天然氣最新的收費政策，還掌握了自己家2023年1 月到目前為止的用電、用水、使用天然氣的數量。

教學的頂層設計，應當站在數學學科育人的角度。課前調查，是學生對接教材與社會的橋梁，是學生聯系生活、儲備學科知識的載體，更是和課堂深度對話的基礎，對后續的課堂教學有著重要的影響。學生通過課前調查，在收集整理資料的過程中，對所掌握的資料有了更長時間的深入思考，激發了探究的欲望，在思考中增長知識，在探究中獲得能力。在課堂教學中，教師把學生收集來的資料有機融入教學過程，并巧妙地拓展內容，讓學生的認識更有深度，更能引起學生內心的共鳴，實現效益最大化，真正提升學生的綜合素養。

二、經歷過程獲經驗

以往在解決階梯電費問題的時候，對于大部分數學學習能力有限的學生來說，他們通過閱讀題目不僅無法理解題目內容，還無法找到題目中條件的關系，給解決問題帶來了不小的阻礙。

要正確計算階梯電費的金額，首先要理解階梯電費的收費標準。因此，筆者以四口之家的電費為例，精挑細選了學生課前調查資料中的有效素材，通過學生的自主解讀，進一步梳理用電量的分階情況及相對應的單價。（如圖2）

圖2

有深度的數學活動才能激發學生主動探索的興趣。學生對相同的信息用不同的表征形式進行個性化的解讀，三個層次的交流，每一次都暗含玄機。文字式的解讀，讓學生進一步了解用電量分成三階，每一階都有固定的范圍，單價也分成三種。表格的呈現，讓學生體會到雖然形式不同了，但也能看出“分三階”“每一階的范圍”“每一階的單價”等信息。示意圖式的表達，展示學生對自己收集的資料進行的個性化理解。通過解讀，學生更加清楚了不同范圍內的用電量與單價之間的對應關系。交流活動有深度，才能讓交流不流于形式，讓學生在活動中能真正獲得體驗，有效積累數學活動經驗，提高核心素養。

通過交流和對比，學生發現，收集到的資料雖然呈現形式不同，但都在表達：電費是分階梯計費的，電費金額和兩個量息息相關，一個是電費的單價，另一個是數量，計算電費離不開一個基本數量關系，即單價乘數量。學生借助三階圖（如圖3），清晰地知道用電量不超過2760 千瓦·時對應單價0.53 元，用電量在2760 千瓦·時到4800 千瓦·時之間對應單價0.58 元，用電量超過4800 千瓦·時對應單價0.83 元，并且隨著用電量的增加，單價也隨之越來越高，從而聯想到電費也隨之越來越貴，形成節約用電的意識。

圖3

在傳統的階梯電費教學時，大部分學生無法對條件有一個明確的認知，無法準確把握條件關系，在分析問題時會出現諸多問題，甚至一些學生在分析問題時會出現思維錯誤。為了提升教學質量，在教學活動中，筆者逐步引導學生通過解讀標準并形成分階圖，一步一步將學生的思維過程直觀地展現出來，實現思維的可視化，在分階圖形成的過程中把握各個條件之間的關系，在條件分析中引導學生掌握解題思路。

三、探尋原理促建構

有了對階梯電費收費標準清晰的認識，筆者從學生課前調查的家庭用電總量中選擇了三個數據（如圖4）：

圖4

借助藍、黃、紅三條線，筆者分別請學生根據用電量，到黑板上的分解圖上貼一貼要標到哪個位置，結合圖說說自己的想法。同桌商量，結合分階圖，結合三條線所在的位置，確認這三個學生家在每一個階梯中的用電量各是多少。在理解標準的基礎上，結合實際用電量，確定每個階梯的用電量是最困難的，可這又是本節課的教學重點，只有弄清了各階的用電數量，才能根據基本數量關系計算各階金額，進而計算出總金額。在剛才分階圖形成的過程中，學生不僅可以準確把握2760 千瓦·時和4800 千瓦·時這兩個界限，還可以在分階圖中根據實際用電量和兩個界限之間的關系，厘清每一階梯中的用電量，通過對三個用電總量的比較，得出“當用電總量不超過2760 千瓦·時，用電量都在第一階梯中；當用電總量超過2760 千瓦·時又不超過4800 千瓦·時，用電量就要分兩個部分，第一階的2760 千瓦·時和第二階中的部分；當用電總量超過4800 千瓦·時，用電量就要分三個部分，第一階的2760 千瓦·時，第二階的（4800－2760）千瓦·時，和第三階中的部分，而且用電量總是先用完第一階，再用到第二階，最后用到第三階中”這樣的結論。

厘清了各個階梯的用電量后，學生嘗試計算電費總金額。

（1）用電總量在第一階。學生都能直接用單價乘數量，算出電費金額。

（2）用電總量達到第二階。這里呈現了兩種不同的算法，一種是直接用第二階單價乘用電總量，另一種是分階計算金額再相加算出總金額。教師引發學生討論：“哪一種計算方法更符合剛才我們理解的收費標準？”結合分階圖，大家更加明確了“當用電總量達到第二階時，先要確定好每一階的用電量，第一階中是用電量按每千瓦·時0.53 元計算，第二階中是用電量按每千瓦·時0.58 元計算，再把兩個階梯的金額相加得到總金額”。

（3）用電總量達到第三階。有了剛才的細致分析梳理，當用電總量達到第三階時，電費金額的計算就水到渠成了。

回顧三個學生家電費金額問題的過程，學生都感覺到階梯電費的計算是復雜的，但又是有一定步驟的，計算金額之前，要結合實際用電總量，根據分階標準，先厘清每一階中的用電數量，再根據相應單價乘實際數量，分階計算出每一階的電費金額，最后相加得到總金額。如此，學生對階梯電費的計費方式和計算方法形成了初步的模型。

概念的教學只有與相關概念進行對比，了解它們之間的聯系與區別，才能讓概念在學生思維中扎根。理解不同用電總量之間的區別，理解總金額和每階金額、每階金額和相應單價及數量之間的關系，才能真正掌握階梯電費計算方法的數學模型。

四、涵養思維要豐厚

階梯計費問題，與生活中的聯系非常多，在課堂中對生活中的多種現象進行梳理，讓階梯計費問題與生活發生更多的聯系，學生的思維會更有廣度和深度，學生的思路會更加清晰而有層次。這樣才能讓學生更好地掌握數學模型，培養數感。

（一）橫向拓展

在重點梳理解讀了四口之家的電費收費標準后，筆者適時提出：“對于家庭戶籍人口數在五人（及以上）的家庭，政策是否會有變化呢？”再次借助學生收集的資料呈現：“根據規定，試行的階梯電價對于家庭戶籍人口在五人（及以上）的家庭，年用電量增加1200 千瓦·時”，請學生調整分階圖上的相關數據，組織四口之家和五人及以上家庭的分階圖，發現什么變了，什么不變，初步體會都是分了三階，每一階的單價不變，但分階的標準變了，也就是每一階的數量變了，其實不管是四口之家還是五人（及以上）的家庭，計算電費的方法是一致的，都要先厘清每一階中的用電數量，再分階計算，最后相加得出總金額。

（二）縱向拓展

經過剛才對階梯電費標準的解讀和對階梯電費的計算，學生嘗試自己來梳理水費、天然氣費的標準，計算水費和天然氣費。

學生先根據收集的資料，借助分階圖，梳理收費的標準，結合自己家實際用水、使用天然氣的數量，在分階圖上看一看，厘清每一階中的使用數量，再分階計算各階金額，最后算出總金額，經歷這樣一個完整的“材料閱讀—標準梳理—解決問題”的過程。

通過回顧梳理，把階梯電費、階梯水費、階梯天然氣費進行對比，學生發現，不管是階梯電費、階梯水費，還是階梯天然氣費，都根據一定的標準分成三階，每一階都有固定的單價，這是一致的。計算這樣的階梯計費問題，我們都要根據標準，先厘清數量，再分階計算，最后相加，其計算方法是一致的，從而建立起比較清晰的階梯計費問題的解題思路。（如圖5）

圖5

教師通過數學建模，將了解和經歷圖5 所示的分階圖所表示的解決實際問題的全過程作為學生數學學習的一種新的方式，為他們提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活的聯系，感受數學的實用價值，增強應用意識。在數學模型建立下，學生不僅可以從數學現象中抽象出客觀規律，還可以在該規律的驅使下加深對這一類問題的理解，為靈活運用所學解決數學問題打下堅實的基礎。

（三）課外拓展

數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，是數學教育的重要內容。數學建模中的問題是多樣的，來自學生的日常生活、現實世界、其他學科等多方面。同時，解決問題所涉及的知識、思想、方法也與其他學科的相關內容有著密切的聯系。因此，教師要讓學生思考：“在我們的生活中，除了電費、水費、天然氣費是分階計算的，還有其他分階計算的現象嗎？”學生想到汽車的停車費問題、出租車的收費問題、寄快遞的郵費問題等。教師適時提出希望學生做生活中的有心人，運用今天學到的知識，帶著數學的眼光，去收集資料，進一步梳理收費的標準，探索相應的計算方法。

整節課學習目標立體化、學習內容結構化、學習方式多樣化，把階梯計費問題的知識蘊含在生活情境中。在生生互動、師生互動中，學生從感性認識上升到理性認識，從低階思維走向高階思維，培養了積極探索、細心嚴謹的科學精神，提升了數學核心素養。教師要以全局的眼光、育人的視野，打造創新、務實、高效的課堂，在學生進行模型建構時，同頻、同步地發展學生的數學核心素養。