橢圓函數背景下Gerdjikov-Ivanov方程的多呼吸子*

姚慧 張海強 熊瑋玥

(上海理工大學理學院,上海 200093)

作為非線性發展方程的一種特殊局域解,呼吸子具有包絡振蕩結構,且這種振蕩呈現周期性變化.根據呼吸子在分布方向和演化方向的周期性,呼吸子主要有3 種類型,即Kuznetsov-Ma 呼吸子(Kuznetsov-Ma breather,KMB)、Akhmediev 呼吸子(Akhmediev breather,AB)和一般呼吸子(general breather,GB).近年來,周期背景下的呼吸子現象在許多非線性物理領域被觀察到,比如在非線性光纖光學、流體力學等.研究表明背景周期波的調制不穩定性可以激發呼吸子的產生,且周期背景下的呼吸子具有非常豐富的物理性質和相互作用.因此,最近在周期背景下呼吸子的時空結構和相互作用引起了廣泛關注.Gerdjikov-Ivanov 方程可以被用來描述在量子場理論、弱非線性色散水波、非線性光學等領域中的非線性物理現象.構造該模型的各種類型的解是非常有意義的工作.據了解,在橢圓函數背景下的多呼吸子之前還未被研究過.本文首先利用修正的平方波(modified squared wave,MSW) 函數法和行波變換法獲得該方程的橢圓函數解.然后,在橢圓函數解初始條件下得到該方程Lax 對的通解.基于橢圓函數的轉換公式以及積分公式,將勢函數周期解化簡為只含有Weierstrass 橢圓函數.然后,利用達布變換構造出在橢圓函數背景下呼吸子的具體表達形式.在橢圓函數背景下,推導出3 種不同類型的呼吸子,包括GB,KMB 和AB.最后,給出3 種呼吸子的時空結構三維圖,并且展示它們之間相互作用的過程.

1 引言

隨著自然科學的不斷發展進步,研究非線性科學逐漸成為熱點課題之一[1,2].在研究人員的不斷探索下,人們發現非線性發展方程可以描述許多非線性現象,包括非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger,NLS)方程[3,4],modified Korteweg-de Vrie(mKdV)方程[5],Hirota 方程和Gerdjikov-Ivanov(GI)方程[6]等.作為非線性發展方程的局域解,孤子、呼吸子和怪波可以被用來揭示自然科學和工程技術中的許多非線性局域現象.呼吸子泛指一類具有周期分布結構的非線性波,可以在有限背景的某一空間或傳播方向局域,且具有周期振蕩的特點[7].20 世紀70 年代,Kuznetsov[8]和Ma[9]對NLS 方程進行求解時發現了一種特殊的非線性波,該波表現出在空間方向上局域,時間方向上周期呼吸的特征.人們稱為“Kuznetsov-Ma 呼吸子”(Kuznetsov-Ma breather,KMB) .

1986年,Akhmediev 等[10]在構造NLS 方程的呼吸子時,發現一類與KMB 的結構完全不同的非線性波,將其稱為“Akhmediev 呼吸子” (Akhmediev breather,AB),該非線性波具有在時間方向上局域、空間方向上周期的特點.1988年,其以NLS 方程為研究對象,得到了一類不拘泥于時間或空間方向周期震蕩的呼吸子[11].在學者們的不斷探索下,呼吸子的應用價值已在非線性光學[12]、流體力學[13]、玻色-愛因斯坦凝聚和流體力學[14,15]等非線性物理中體現.NLS 方程一直以來都是孤子方程中的熱點,于是在NLS 方程的基礎上,開始尋找推廣的NLS 方程.作為NLS 方程的可積推廣,導數型NLS 方程[16]應運而生,該類型方程具有3 種不同形式,可以被用于描述非線性光學和其他領域中重要的非線性波的傳播.1978年,Kaup 和Newell[17]提出了第一型導數NLS 方程:

1979年,Chen,Lee 和Liu[18]推導了第二型導數NLS 方程:

該方程被稱作Chen-Lee-Liu (CLL)方程.自這兩種模型建立以來,許多可積性質和精確解已經被大量的文獻研究.Liu 等[19]發現CLL 模型的AB 呼吸子能夠描述更一般的非對稱調制不穩定性,并且給出了其精確解析譜.

1983年,Gerdzhikov 和Ivanov[20]提出了第三型導數NLS 方程:

即GI 方程.這里q=q(x,t),其中x表示空間坐標,t表示時間坐標,符號*表示復共軛,下標表示偏導數.已經有許多學者對此方程進行了研究,并推導出在零背景下的呼吸子[21–23].對于此方程,Fan[24,25]給出了雙哈密頓結構、Liouvill 可積性和代數幾何解.隨后,Xu 等[26,27]構造了方程的髙階怪波和高階有理解的行列式表達式.

呼吸子在周期性背景上的動態行為比它們在恒定背景下的行為更真實[28].這樣,橢圓函數周期背景下的解的研究尤為重要.Chen 和Pelinovsky[29]將Lax 對非線性化與達布變換方法相結合,提出了橢圓函數背景下NLS 方程多呼吸子的系統構造方法.利用此方法來求解許多非線性方程的呼吸子解,包括GB,KMB 和AB.由于GI 方程的Lax對譜問題不同于NLS 方程,在橢圓函數背景下構造這些解是一項非常困難的任務.除了標量系統中的呼吸子外,耦合系統(例如Manakov 系統)中的呼吸子也引起了廣泛關注[30–33].研究表明耦合系統可以激發出新的矢量非線性現象[34]、非退化孤子[35]和非退化怪波[36].

本文主要研究橢圓函數背景下多呼吸子的非線性動力學.將從以下3 個方面對方程(3)進行研究: 1) 利用MSW 函數法和行波變換法獲得該方程的橢圓函數解和Lax 對通解;2) 利用達布變換構造出在橢圓函數背景下呼吸子的具體表達形式,包括GB,KMB 和AB;3) 分析3 種呼吸子的時空結構分布、非線性動力學行為和相互作用.

2 Lax 對

GI 方程是完全可積的,它可以表示為一個線性系統的相容條件,即

這里,Ψ=(Ψ1,Ψ2)T是本征函數,λ是譜參數.由相容條件Ψtx=Ψxt或零曲率方程Ut-Vx+[U,V]=0可以推導出方程(3).

3 橢圓函數解和Lax 對通解

3.1 橢圓函數解

方程(3)有如下形式的解:

其中v(x,t) 是一個實函數,下文將對上述待定的勢函數中的未知元素進行求解.

設定Ψ1=(?1,φ1)T以及Ψ2=(?2,φ2)T,建立平方波函數:

f,g,h滿足以下線性系統:

由于矩陣U,V跡為零,很容易驗證P(λ)=f2-gh不依賴于變量x,t,所以它只依賴于譜參數λ.研究表明可積演化方程的周期解或擬周期解與幾何代數理論中的黎曼曲面概念有著一定的聯系.為了得到方程(3)在初解(5)式周期背景上的呼吸子解,將P(λ) 設置為關于λ的一個多項式:

其中λj,j=a,b,c,d為多項式的根.

線性系統(6)和系統(7)具有多項式形式的解,故將f,g以及h寫成如下形式:

比較等式P(λ)=f2-gh兩邊λ的系數,得到如下等式:

令|q|2=v,則(11)式轉化為

根據韋達定理,得到ω關于v的表達式:

其中,R(v)是v的四次多項式:

結合方程組(6)和(7)以及方程(8)求導的結果,對比λ各階系數的關系可以得到:

根據方程(17)和方程(18)可以得到v僅和δ=x+s1t有關,即:

顯然,方程(19)具有橢圓函數解.這樣,如果v已知,那么通過方程(5)就能求出q(x,t) .

結合方程組(6),(7)以及方程(9)求導的結果,對比λ各階系數的關系可以得到:

當λ2=ω時,f(ω1/2)=,則(20)式可以轉換為

因此可得到ω關于x和t的等式.由方程(21)和方程(22),易知ω僅依賴于相位δ=x+s1t.于是,GI 方程周期解的非線性相速度為

根據上述公式,得到q關于x,t的等式如下:

經行波變換后,周期解有如下形式:

將(13)式代入上式,則

顯然,選取合適的λj應該滿足v在兩個正值之間振蕩.若只有兩個vi是正實數,則設置相應的λj使其在v1,v2之間振蕩,且v1≥v2.若所有vi都是正實數,則我們設置相應的λj使v1≥v2≥v3≥v4.此時,變量v可以在v1,v2或者v3,v4之間振蕩,且R(v)≤0 .

為滿足以上條件,設λj由兩對復共軛對組成:

由(15)式可得:

此時(16)式得到的vi均為復數值.

為尋找周期解,討論變量v在區間v1≥v≥v2振蕩,且v3,v4為實數的情況.選擇初始條件δ=0時v=v1,(19)式具有如下形式的解:

3.2 Lax 對通解

對上述表達式進行化簡,得到如下形式:

其中,A1和A2表示待定的復常數:

利用Lax 對中t部分的等式,可以求出φ1,t/φ1,?1,t/?,代入3.1 節所求的參數,得到

根據前面的定義,有

不失一般性,可設定A1=1,A2=-1.

同理,易得Lax 對的第2 組通解形式如下:

因此,給定橢圓函數勢(23)的Lax 對的通解可以表示為

其中θ1,θ2由(29)式可知.

4 周期背景下的多呼吸子

4.1 解的化簡

根據公式:

(1)根據國內外砂土液化資料分析研究結果表明，人工沉積的尾礦砂與天然沉積的砂土一樣，地震時都可能發生液化，影響砂土液化的主要因素是相同的，液化機理也是一致的。因此可以利用判別天然砂土液化的方法來判別尾礦砂。

將(33)式代入(24)式中,可得

4.2 GI 方程的n 次達布變換

在規范變換下:

譜問題(4)式轉換為

其中,U[1]和V[1]與Lax 對中的U和V的形式相同,不同的是q變為q[1] .

設Ψi=(?i,φi)T,i=1,2,···,n,為譜問題(4)式的n組線性無關的解,則n階達布變換中新的解q[n]和初解q[0] 之間滿足:

4.3 dn 橢圓函數背景下的呼吸子

單呼吸子的具體表達式為

其中,q,Ψ1,Ψ2,Ψ3和Ψ4分別為

式中,Ψi,i=1,2,3,4為譜參數λ取不同值時的線性解.因此,譜參數的值影響呼吸子解及其動態行為.通過改變譜參數的值,得到3 種呼吸子解,即GB,AB 和KMB.

選取特定參數,呈現出dn 背景下的呼吸子解λa=1+0.5i,λb=1-0.5i,λc=0.5+i,λd=0.5-i.

取參數λ1=0.3+1.1i,λ2=0.3-1.1i 則得到在dn 背景下的一個AB (圖1).觀察可得,此呼吸子的所有峰值都在t=0 這一條線上,此時這種呼吸子的振幅在原點處達到最大值為7.65.選取參數λ1=2+2i,λ2=2-2i,則獲得了dn 背景下的一個KMB (圖2).明顯看出這種呼吸子是時間呼吸和空間局域的.此時,這種呼吸子在原點處的振幅達到最大值為10.95.選取參數λ1=0.3+1.3i,λ2=0.3-1.3i,獲得了dn 背景下的GB(圖3).此時,這種呼吸子在原點處振幅達到最大值為8.18.

圖2 dn-周期波背景上的KMBFig.2.KMB on the dn-periodic wave background.

圖3 dn-周期波背景上的GBFig.3.GB on the dn-periodic wave background.

為了得到dn 背景下的雙呼吸子,令n=4,根據(40)式,得到二階呼吸子:

其中,Ψj(j=1,2,···,8) 有如下表達形式:

取參數λ1=2+2i,λ2=2-2i,λ3=0.5+2i,λ4=0.5-2i,則得到GB 和KMB 相互作用的時空結構(圖4).可以觀察到,兩個呼吸子在相互作用后沒有波峰的偏移,最大值為17.75.取參數λ1=2+2i,λ2=2-2i,λ3=0.1+1.8i,λ4=0.1-1.8i,得到AB 和KMB 相互作用的時空結構(圖5).選取參數λ1=1.5+1.6i,λ2=1.5-1.6i,λ3=0.1+1.8i,λ4=0.1-1.8i,得到AB 和GB 相互作用的時空結構(圖6).

圖4 dn-周期波背景上的GB 和KMB 相互作用Fig.4.Interaction between GB and KMB on the dn-periodic wave background.

圖5 dn-周期波背景上的AB 和KMB 相互作用Fig.5.Interaction between AB and KMB on the dn-periodic wave background.

圖6 dn-周期波背景上的AB 和GB 相互作用Fig.6.Interaction between AB and GB on the dn-periodic wave background.

4.4 一般橢圓函數背景下的呼吸子

與dn 背景下的呼吸子類似,在一般橢圓函數背景下構造3 種呼吸子,即GB,AB 和KMB.設定合適的參數來固定背景波λa=0.5+0.3i,λb=0.5-0.3i,λc=1+0.9i,λd=1-0.9i.取譜參數λ1=0.5+1.5i,λ2=0.5-1.5i,則得到一般橢圓函數背景下的一個AB(圖7).此呼吸子的峰值 為8.69.選取參數λ1=1.8+1.8i,λ2=1.8-1.8i,得到了一般橢圓函數背景下的一個KMB(圖8),此時最大值為8.28.取譜參數λ1=2+2i,λ2=2-2i,得到一般橢圓函數背景下的GB(圖9),此時最大值為8.18.

圖7 一般周期波背景上的ABFig.7.AB on the general periodic wave background.

圖8 一般周期波背景上的KMBFig.8.KMB on the general periodic wave background.

圖9 一般周期波背景上的GBFig.9.GB on the general periodic wavebackground.

與dn 背景下構造二呼吸子相同,根據(44)式,選取合適的參數得到一般橢圓函數背景下的雙呼吸子.取參數λ1=2+2i,λ2=2-2i,λ3=0.5+2i,λ4=0.5-2i,得到了GB 和GB 相互作用的時空結構(圖10).可以看出,兩個呼吸子在相互作用后沒有波峰的偏移,最大值為13.27.取參數λ1=2+2i,λ2=2-2i,λ3=0.1+2i,λ4=0.1-2i,則得到了GB 和KMB 相互作用的時空結構(圖11),最大值為16.94.取參數λ1=0.2+i,λ2=0.2-i,λ3=1.4+1.4i,λ4=1.4-1.4i,則得到AB 和GB相互作用的時空結構(圖12),波峰的最大值為10.05.

圖11 一般周期波背景上的KMB 和GB 相互作用Fig.11.Inacteraction between KMB and GB on the general periodic wave background.

圖12 一般周期波背景上的AB 和GB 相互作用Fig.12.Interaction between AB and GB on the general periodic wave background.

5 結論

本文系統地構造了橢圓函數背景下GI 方程的多呼吸子.借助MSW 方法和行波變換,導出了橢圓函數解和Lax 對通解.在橢圓函數背景下,推導出3 種不同類型的呼吸子,包括GB,KMB 和AB.最后,給出了3 種呼吸子的時空結構三維圖,并且展示它們之間相互作用的過程.希望本文獲得的結果將有助于理解在流體動力學、非線性光學等領域中周期背景下的呼吸子動力學行為和相互作用.