量子信息中的度量空間方法在準周期系統中的應用*

馮曦曦 陳文 高先龍?

1) (浙江師范大學物理系,金華 321004)

2) (北京計算科學研究中心,北京 100193)

得益于量子信息理論的發展,保真度、糾纏熵等概念被引入到量子相變的研究中,不僅能用來標識新奇的物質相,還能用來探測量子相變的臨界點以及描繪其臨界行為.從度量空間的角度來看,這些物理量都可以被理解為度量空間中兩個函數的距離.本文利用波函數和實空間中密度分布函數的距離,研究了以廣義Aubry-André-Harper 模型為代表的準周期系統,發現該方法不僅能標識拓展相、臨界相和局域相,還能找到準確的相變點并計算出臨界指數.此外,不僅將度量空間方法推廣到波包擴散動力學研究,還提出了一種新的量,即態密度分布函數的距離,發現上述定義的兩種物理量都能標識不同的物質相及相變點.通過定義某個函數在不同參數下的距離,不僅為標識已知系統相變點提供了研究工具,還為探測未知系統的不同物質相、相變點及其臨界行為提供了一種直觀的方法.

1 引言

與經典相變主要由熱漲落主導的特點不同,量子相變是指通過改變非熱控制參數觸發體系的基態性質在臨界點上的突變[1,2].隨著拓撲相變、多體局域化、動力學相變等概念的出現,如何理解這些新奇物質相的性質,用合適的可觀測量去標識不同的物質相及相變點,描繪體系在相變點附近的臨界行為成為一個重要課題,并引起了廣大研究者的興趣.得益于量子信息理論的發展,保真度[1,3–5]、糾纏熵[6,7]、Fisher 信息熵[8–12]、錯時序關聯 (out of time ordered correlation,OTOC)函數[13–15]等物理量被引入到量子相變的研究中,不僅在理論和數值模擬中成功標識了體系的相變點、臨界指數及其普適類,還在實驗中得到驗證和應用.

上述量子信息中的概念,在數學上可以看作不同的波函數或密度分布函數在希爾伯特空間中的距離,是對某兩個波函數或密度分布函數差異化的度量.希爾伯特空間作為量子態存在的空間,不僅是一個內積空間,同時還是一個度量空間,可以定義不同矢量間的距離.D’Amico 等[16–18]引入度量空間方法,提出了計算不同參數下體系的基態波函數和密度分布函數的距離,繼而發現在一些情形中二者是近線性映射關系.他們不僅用該方法發展了密度泛函理論,還用來度量量子非平衡動力學系統的絕熱程度[19].至此,我們還可以提出一些開放性的問題.例如,是否可以用上述的兩種距離去度量量子相變,能否標識不同的物質相、相變點以及描繪相變點附近的臨界行為,進而求解出臨界指數?是否可以得到與保真度、糾纏熵等量子信息中的物理量相同的結果? 除了上述兩個距離,是否還能定義不同的距離量？譬如不同非熱控制參數下體系的態密度分布函數,是否可以用來標識相變? 本文以廣義Aubry-André-Harper (AAH)模型為例,試圖回答上述問題.

廣義AAH 模型是一類具有準無序項的緊束縛格點模型.對于一維無相互作用的含有準無序勢和最近鄰躍遷項的AAH 模型,可以看作將一維安德森無序模型的隨機勢替換成準無序勢.相比于安德森無序模型在一維、二維情況下沒有相變,該模型在一維情形下,即可觀測到隨著準無序外勢的變化體系呈現波函數的拓展——安德森局域相變,且在相變點上波函數和能譜呈現出奇異的分形結構[20–22].隨著理論上對其拓展情況——廣義AAH 模型研究的深入,包括引入非厄米項、多體相互作用項、長程躍遷項、p波配對項研究其能譜的實-復轉變、拓撲相變等[23–28],以及其在冷原子[26,29,30]、光晶格[31–34]、超導量子比特平臺[35,36]的實驗實現,廣義AAH 模型成為了理解安德森局域化、多體局域化的重要平臺.本文將量子信息中的度量空間方法引入到廣義AAH 模型中,討論波函數的距離、度量空間的距離是否能夠標識廣義AAH 模型中豐富的物質相,并且試圖將波函數的度量空間方法推廣到態密度分布函數的度量空間中去.

本文的結構如下: 第2 節介紹度量空間及距離等相關概念,討論常見的度量空間中的距離和系統間波函數性質之間的關系,同時給出廣義AAH 模型;第3 節將度量空間方法應用到準周期系統中,成功標識不同的物質相、相變點及臨界指數;第4 節將度量空間方法中的波函數、密度分布距離推廣到動力學距離和態密度距離,并應用到準周期系統中去;第5 節總結結果并展望.

2 度量空間和模型

度量空間由一個非空集X和一個度量(距離)函數D組成,記作(X,D).在一個度量空間中,集合X中的元素被稱為點,而度量或距離函數D定義了點之間的距離.度量函數D滿足以下性質:

其中x,y,z為集合X中的元素.最典型的距離是歐幾里得距離,廣義的歐幾里得距離定義為

當p=2,即我們熟悉的歐幾里得距離的定義.在量子力學中,用以表征系統狀態的波函數通常可以構成一個希爾伯特空間——完備的內積空間.希爾伯特空間在數學上結合了向量空間和度量空間這兩種不同類型空間的性質.具體來說,希爾伯特空間作為一個向量空間,滿足向量的線性組合和加法運算的性質,可以描述向量間的線性關系,進行向量的加法、數乘等運算.同時,希爾伯特空間也是一個度量空間,它具有度量的概念.通過引入一個合適的度量,可以定義度量空間中的波函數ψ的距離函數[18].

這個距離函數可以衡量兩個波函數之間的相似程度.對于具有N個粒子的量子體系,當該度量的值為時,表示它們在空間中正交或完全不相似;當度量為0時,則代表兩者完全相同.利用同樣的方法,可以在度量空間中定義出任意兩個密度分布函數ρ之間的距離函數[18]:

對于具有N個粒子的量子體系,當該度量接近2N時,表示這兩個體系下的密度分布完全不相似;當度量接近0時,則代表兩者非常相似.

本文把度量空間應用于具有非公度非對角調制的一維廣義AAH 模型,其哈密頓量為

其中L為晶格長度,為硬核玻色子的產生(湮滅)算符.Jn和λn分別為最近鄰躍遷和在位勢,它們的表達式分別為

其中無理數α=(-1)/2,δ和λ分別為非對角無序勢強度和對角無序勢強度.?1和?2為兩個相位,它們的取值范圍是0— 2π .在本文中,考慮周期性邊界條件.

當δ=0時,該模型等價于AAH 模型.該模型拓展到局域的轉變點是λ/J=2,當λ/J<2時,所有的本征態彌散在整個實空間中,稱為拓展態;當λ/J>2時,所有的本征態都局域在實空間中的一點,稱為局域態.當δ≠0時,該模型可稱為廣義AAH 模型,包含對角調制和非對角調制.在保持其他參數不變的情況下,僅通過改變?1的值,就可以引起拓展-局域、拓展-臨界轉變相邊界的改變[37].不失一般性,本文選取?1=(-1)π/2,處在該相位的系統提供了一個較大的臨界區,這為研究拓展-臨界的轉變提供了良好的平臺.此外,本文將設J=1 作為能量單位.

通常用于描述系統局域-拓展性質的量為逆參與率 (inverse participation ratio,IPR):

這里,n代表第n個格點,ψj代表系統的第j個本征態.在熱力學極限下,即L →∞,如果一個態是拓展的,容易驗證其IPR→0 ;若這個態是局域的,則IPR→1.當0

除此之外,由內積運算定義的用于衡量兩個波函數相似程度的保真度:

也被證實為一種有效的研究準周期系統的量[2-5],它同樣也與距離的定義有聯系:

3 度量空間方法在量子相變中的應用

3.1 拓展-局域相變的研究

為了探究AAH 模型中拓展-局域相變,探索了波函數距離和密度距離隨著無序強度λ的變化.參考點的選擇是十分重要的,它衡量待測系統與給定的參考系統之間的差距.由于這里考慮的是拓展-局域相變,一個十分自然的選擇是以拓展相為參考系統,從而衡量隨著參數的變化系統發生的相變行為.首先考慮一個處于拓展態的系統為參考系統,參數選擇λ=0.01,δ=0,以該系統的各個本征態為參考態.從而進一步給出平均波函數距離(ψref,ψ)和平均密度距離(ρref,ρ) :

其中,j代表第j個本征態.

D’Amico 等[16–19]在多種模型的數值研究中發現,基態波函數和密度之間的霍恩貝格-科恩映射(Hohenberg-Kohn mapping)可推廣到度量空間中,即波函數距離和密度距離之間存在近線性映射關系.那么,該結論在無序體系中是否依舊成立?此處,以和為物理量探求該問題的答案.如圖1 主圖所示,和大體上仍呈近線性映射關系,但在=1.0處兩者之間存在一定的偏離.該偏離源自于這兩個物理量平均了激發態的信息,而激發態波函數距離和密度距離之間存在更復雜的映射關系.但激發態的復雜性總體上仍然保持了平均波函數距離和密度距離間的一一映射關系.因此無序體系中的霍恩貝格-科恩映射也可推廣到度量空間中,即密度距離和相關波函數距離之間的映射仍然是可逆的.

圖1 不同尺寸下平均波函數距離隨平均密度距離的變化.插圖(a),(b)的橫坐標皆為無序強度 λ,縱坐標分別為平均密度距離和平均波函數距離.不同顏色的線代表不同尺寸下的結果,無序平均次數取為50Fig.1.Variation of average wave function distance with the average density distance.Abscissa of panels (a) and (b) are the disorder intensity λ,and the ordinates are the average density distance and average wave function distance,respectively.Color bar represents the result under different size,and the disorder realizations are 50.

除了映射關系,我們更關心在度量空間中是否也能顯示出量子相變并給出相變點.如圖1(a)所示,當λ<2,即系統處于拓展相時,平均密度距離隨著λ的增加而增加.這說明盡管λ<2,由無序強度控制相變的準周期系統都處于拓展相,但是平均密度距離顯示出在度量空間中拓展相與拓展相仍是不盡相同的.因此想要通過這個量去判斷系統是否產生相變,并不能簡單地由距離的大小去判斷.當λ=2 時平均密度距離產生了一個躍變行為,這與之前近線性的增長行為不一致,說明λ=2 是發生相變的一個臨界點.當λ>2,平均密度距離逐漸趨于最大值 2,并維持該值不變,這意味著體系此時處于局域相.圖1(b)展示的是平均波函數距離隨著無序勢強度λ的變化,與平均密度距離具有類似的行為,同樣可以得到臨界點λ=2 .

以上是利用度量空間中的平均波函數距離和密度距離的變化規律對相變點做出了判斷,進一步,一階平均波函數距離和密度距離的有限尺寸分析為這一判斷提供了更強有力的說明.令人驚喜的是,它不僅能夠定位出一維AAH 模型相變點,還能提取出該模型的相變點的關聯長度臨界指數.一階平均波函數距離被定義為

同理,可以得到一階平均密度距離:

如圖2(a)和圖2(b)所示,不同晶格尺寸(L=144,233,377,610)下,一維AAH 模型的一階平均波函數距離和密度距離作為無序強度λ的函數,其最大值總是位于λ=2 附近.這說明在該點系統的物質相產生了劇烈的變化,為該模型的相變點.出現這一現象的原因與保真磁化率在相變點處的變化是相同的[3].假設標度方程為

圖2 一維AAH 模型中一階平均波函數距離和密度距離的有限尺度分析(a),(b)不同尺寸下一階平均波函數距離和密度距離隨無序強度 λ 的變化;(c),(d)不同擬合參數下,有限尺寸分析的誤差Std(λC,v),顏色棒的深淺為誤差的大小;(e),(f)縮放一階平均波函數距離及縮放一階平均密度距離作為縮放變量(λ-λC)L1/v 的函數.無序平均次數為50 次Fig.2.Finite scale analysis of the first-order average wave function distance and density distance in the one-dimensional AAH model: (a),(b) Variation of first-order average wave function distance and density distance with disordered intensity λ under different sizes;(c),(d) error of finite size analysis under different fitting parameters Std(λC,v) .Color bar represents the value of the error;(e),(f) scaling of the first-order average wave function distance and the first-order average density distance as a function of the scaling variable(λ-λC)L1/v .The disorder realizations are 50.

由此可得,不同尺寸下的一階平均波函數距離和密度距離的曲線應當塌縮至同一條理論曲線上.

3.2 拓展-臨界相變的研究

通過上述的分析可知,在度量空間中拓展相與拓展相之間仍存在差異,拓展相與局域相之間的差異則基本恒定,且趨于其在空間中的最大值.那么拓展相與臨界相之間的差異又如何? 廣義AAH 模型為利用度量空間的概念去研究拓展-臨界相變提供了良好的研究平臺.同樣,以λ=0.01,δ=0 為參考系統,由于在之前的分析中,波函數距離和密度距離兩者的表現結果基本相同,此處僅給出密度距離與λ和δ的關系.如圖3 所示,橫坐標為非對角無序勢δ,縱坐標為對角無序勢λ.當λ<2,δ<1時,D(ρref,ρ)<1.2,即綠色區,體系處于拓展相;當δ>1,λ>2δ時,D(ρref,ρ)≈2,即藍色區,體系處于局域相.除此之外的區域,體系都處于臨界相.該區域的色塊并非同一,D(ρref,ρ) 的值介于1.2—1.84之間但沒有達到最大值 2,這說明臨界相與拓展相具有一定的相似性.由于臨界相與臨界相之間也不全是相同的,所以選定拓展相為參考態時,在臨界區呈現出了少部分不一致的區塊.至于不同的臨界相之間具體有什么區別,會帶來什么不同的現象,仍需要用除度量空間外的方法進一步研究.利用密度距離給出的相圖與文獻[37]給出的IPR 相圖一致,這說明從度量空間角度分析量子系統的相變現象是一種有效的方法.

圖3 廣義AAH 模型的相圖.顏色的深淺代表(ρref,ρ)的大小,這里選擇 L=610 .綠色區域A 為拓展相,橙色區域B 為臨界相,藍色區域C 為局域相.無序平均的次數取為50 次Fig.3.Phase diagram of the extended AAH model.Color bar represents the value of (ρref,ρ),calculated for chains of length L=610 .Green region A represents the extended phase,the orange region B represents the critical phase,and the blue region C represents the localized phase.Disorder realizations are 50.

4 動力學距離和態密度距離

度量空間這一概念具有廣泛的適用性,本節將其應用到波包擴散的動力學和系統的能譜性質研究中,以期在度量空間中獲得更多關于系統的信息.一是通過動力學波函數距離和密度距離探索不同的物質相對系統的演化速率的影響;二是通過定義新的物理量——態密度距離,探求不同物質相之間能譜的差距.令人驚喜的是,這兩種推廣方法同樣能夠揭示量子相變的存在,為我們提供了更豐富的分析手段和視角,進而更全面地分析和解釋系統中的特性變化.在以下研究中,僅驗證圖3 中橫軸(λ=0)和縱軸(δ=0)所展現的兩種相變情況.

4.1 動力學距離

由于處于不同相的系統具有不同的動力學行為,因此在度量空間中觀察系統的動力學演化也為量子相變的研究提供了一種新思路.下面基于AAH 模型和廣義AAH 模型,討論拓展、臨界和局域三種不同相下密度距離的動力學演化行為.在該研究中,選擇粒子以相同概率分布在各個格點的理想情況下的拓展態為參考態,其中 |cn|2≡1/L,|n〉 代表粒子位于第n個格點處的占據態.假設在t=0時,粒子局域于x0=L/2格點處,那么 |ψ(0)〉=|x0〉,|ψ(0)〉 即為選定的初態.t時刻的波函數可表示為 |ψ(t)〉=可以得到ρref=|ψref〉〈ψref|,ρ(t)=|ψ(t)〉〈ψ(t)| .由方程(6)即可得動力學密度距離:

動力學波函數距離D(ψref,ψ(t)) 也可用相同的方法得到.由于波函數距離和密度距離之間具有一一映射關系,下文僅展示動力學密度距離的結果.

由圖3 的相圖可知,當δ=0,隨著λ的增加,體系在λ=2 處發生拓展-局域轉變.如圖4(a)所示,選擇δ=0,λ ∈(0,4) 的參數范圍,從下至上無序強度λ逐漸增加.在藍線區域D(ρref,ρ(t)) 隨著t的增加而減小.在t=0時,體系尚未開始演化,此時體系處于局域態,與參考態間存在巨大的差異,因此動力學密度距離呈現最大值2.但隨著體系的演化,動力學密度距離的值下降.這是因為系統逐漸演化至拓展相,體系與參考態所處的相逐漸接近,兩者的距離不斷減小.而在紅線處D(ρref,ρ(t))的值一直在2 附近振蕩,這代表此時體系與參考態的距離最大,體系沒有產生較大的變化,仍處于局域相.從藍線到紅線的變化,展現了拓展-局域轉變,這與定態情況下無序強度λ控制AAH 模型產生相變的規律是一致的.正如前文所言,廣義AAH模型為研究拓展-臨界相變提供了便利.同樣,由圖3 可知,當λ=0,隨δ的增長體系在δ/J=1 處發生拓展-臨界轉變.選擇λ=0,δ ∈(0,4) 的參數范圍,在該條線上展現了動力學密度距離隨拓展-臨界轉變的變化.圖4(b)密度距離的動力學演化看似與圖4(a)一致,但仍然存在差異.首先是D(ρref,ρ)只有少數幾條粉色線的值趨于2,而大多數紅色線的密度距離的值是介于1.75—2 之間的.這說明在δ處于一個較大值時,體系并非為局域相,而是穩定在了一個拓展與局域之間的相,即臨界相.其次是圖4(a)與圖4(b)中藍線的疏密程度不同,圖4(b)中的線條明顯比圖4(a)稀疏,這說明拓展-臨界產生相變點的位置早于拓展-局域產生相變的位置.

為了進一步從密度距離的動力學行為中得到明確的相變點,首先給定了動力學密度距離D(ρref,ρ(t))隨時間t變化快慢的冪律關系:

并在圖4(c)和圖4(d)中分別展示了γ作為λ和δ的函數的變化.在圖4(c)中,不同尺寸下都具有相似的行 為,即隨著λ的增加 |γ| 逐漸增加,并在λ=2減小至0 不再變化.這個過程明顯展現了拓展到局域的轉變,并給出了相變點.同樣可以得到γ與δ的關系,如圖4(d)所示.在δ=1 處,γ穩定于一個略小于0 的值,尺寸越大效果越明顯,這說明在δ=1 處產生了拓展-臨界相變.

4.2 態密度距離

上述內容顯示,波函數距離和密度距離兩種度量在靜力學和動力學研究中均可用于找到量子相變點,這啟發我們將該度量函數推廣至態密度分布函數g(E),

其中,Ei為約化能量:

式中ε為系統的本征能量.以λ=0.01,δ=0 為參考系統,如圖5(a)所示,藍線為δ=0,態密度距離隨λ的變化曲線.態密度距離隨著λ的增大,經歷了一個先增加再減小的變化,在臨界點λ=2 處達到最大值,態密度距離的這種變化代表了拓展-局域轉變.由此可以推測出即便從波函數的角度來看,處于拓展相的系統與臨界相的系統之間的差異并不特別明顯,而是與處于局域相的系統之間的差異性最大.但從能譜的角度來看,反而是處于拓展相的系統與局域相的系統之間比較接近,而與處于臨界相的系統具有較大的差異.圖5(a)中的紅線進一步說明了拓展相的能譜與臨界相的能譜間具有較大的差距.紅線展現的是當λ=0,態密度距離隨δ的變化.在該參數范圍內,隨著δ的增大,態密度距離先增大并在δ=1 處趨于一個飽和值,體系經歷了拓展臨界相變,相變即為δ=1 .這與3.2 節及4.1 節中的結論是一致的.為了易于理解,圖5(b)給出了不同相的態密度分布圖像.紅線、藍線、綠線分別代表拓展態、臨界態和局域態的約化態密度圖.從圖中能夠很直觀地看出,臨界態的態密度與其他兩個相具有非常大的不同.臨界相的能譜具有豐富的分型結構,這可能是導致其與其他相的態密度距離相差巨大的原因,而這種特殊的結構能夠從態密度距離中體現出來.

圖5 態密度距離圖(a)在L=610下,以 λ=0.01, δ=0為參考系統的態密度距離隨參數的變化.紅線為當 λ=0,態密度距離隨參數 δ 的變化.藍線為當 δ=0,態密度距離隨參數 λ 的變化.(b)以基態為零能點,當 δ=0 ,λ=1.0,2.0,4.0,即紅線、藍線、綠線,分別代表拓展態、臨界態和局域態的約化態密度圖.無序平均次數為50 次Fig.5.Density of state distance: (a) At L=610,density of state distance of the reference system varies with parameters λ and δ .The red line represents the variation of the density-of-state distance with parameter δ when λ=0 .The blue line represents the variation of the density of state distance with parameter λ when δ=0 .(b) Reduced density of states by taking the ground state as the zero-energy point.δ=0 ,λ=1.0,2.0,4.0,namely,the red line,blue line,and green line,respectively,represent the extended state,critical state,and localized state.The disorder realizations are 50.

5 總結與展望

本文介紹了度量空間中的距離的概念,用這一概念理解了IPR 和保真度,并且用波函數距離和密度分布函數距離研究了廣義AAH 模型的相圖,發現不僅可以標識不同的物質相,給出準確的相變點,還能計算出與其他文獻相符的臨界指數.在此基礎上,將距離推廣到波包擴散動力學和態密度分布函數距離中,都得到了一致的結果.這一研究不僅有助于理解現有的物理量,同時提供了一種直觀的探測新奇物質態的方式——直接比較系統在不同非熱參數下的本征態、密度分布、態密度分布函數的差異,找到不同的物質相和準確的相變點,并描繪其臨界行為.距離這一概念同樣也易推廣到其他物理量中,通過比較物理量間的距離變化與波函數、能譜的距離變化,或許能夠幫助我們找出波函數或能譜對系統性質的不同影響.此外由于其簡單、直觀和易推廣的特點,這些概念有望在實驗中得到應用.