一維耦合腔晶格中磁子-光子拓撲相變和拓撲量子態的調制*

李錦芳 何東山 王一平

1) (咸陽師范學院物理與電子工程學院,咸陽 712000)

2) (西北農林科技大學理學院,楊凌 712100)

本文提出了基于耦合腔的一維晶格理論方案,其中每個晶胞包含微波腔光子和磁子,通過調控磁子與微波光子的耦合來研究系統中的拓撲相變和拓撲量子通道.首先,分析了在奇偶晶格數情況下,系統能譜和邊緣態的特征,并發現邊緣態分布可以展示反轉過程,可以實現多通道拓撲量子態傳輸;其次,考慮存在缺陷和無序的擾動,發現它們在較小值范圍內,可以使能帶產生波動和翻轉現象,但邊緣狀態對其是魯棒的,這表明邊緣態受到系統的拓撲保護.該研究結果為研究拓撲磁子-光子提供了一條新途徑,將在量子信息處理中有著廣闊的應用前景.

1 引言

拓撲絕緣體是一種新的物質形態,自從被發現以來就引起了研究者的極大興趣[1,2].與傳統絕緣體不同,拓撲絕緣體具有獨特的性質,比如其內部可以顯示絕緣體特征,而其表面呈現導體特性[3,4].此外,拓撲絕緣體的能帶中,價帶和導帶之間存在能隙,而能隙中存在邊緣態[5,6].特別地,在拓撲結構中存在邊緣態,才能使拓撲絕緣體呈現導體特征,并且邊緣狀態受到能隙的保護,對于無序和缺陷是魯棒的[7,8].基于上述優勢,在凝聚態物理、原子、分子和光學物理領域提出了許多理論模型和實驗方案,如石墨烯帶[9]、冷原子晶格[10–12]和非對角雙色光學晶格[13]等.尤其是,一維Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是最簡單的拓撲絕緣體結構之一[14,15],它可以展現豐富的拓撲現象,例如拓撲相變和邊緣態[16]、拓撲不變量[17]和非厄米體邊界[18].

微納米制造工藝的成熟促進了光學微腔系統的不斷發展,并且展現出很小的模式體積和高的品質因子.例如,法布里-珀羅諧振腔(Fabry-Pérot cavity,F-P 腔)系統[19,20],一般是由兩片反射率極高的鏡組成.特別地,可以通過操控腔內電場的強度,使單個光子被局域在非常小的空間中,從而與單個原子的躍遷過程發生耦合,通常把這些系統稱為腔量子電動力學(quantum electrodynamics,QED)系統,可以應用在量子光學、量子信息處理和量子模擬等領域[21–25].目前,腔QED 系統成為研究光與物質相互作用最基本的物理系統之一,并且已經展現了許多有趣的量子效應,比如誘導原子自發輻射反轉[26]、操控光子-原子量子糾纏[27]和調控光場與原子的量子態[28]等.另一方面,腔QED系統不僅對量子力學的基本原理進行了驗證,而且可以構建各種微型光量子器件、量子信息處理平臺.近年來,腔QED 產生了一個新的分支,即腔磁力學系統[29–31],基于磁子(yttrium iron garnet,YIG)與微波腔光子的共振耦合形成雜化態-磁光極化子(magnon-polariton),其中磁子具有獨特的優勢,例如豐富的磁性非線性、低阻尼率和高自旋密度[32].通過磁偶極與微波光子相互作用,耦合強度可達到超強耦合,為研究強耦合的物理效應提供新平臺[33,34].最近的相關文獻又研究了有許多有趣的現象,如磁子暗模[35]、高階磁性例外點[36]、PT-對稱[37]、雙穩態[38]、磁-光-聲糾纏[39].因此,受上述文獻的啟發[29–43],我們提出使用腔QED 和磁子來構造拓撲結構,并研究其中的拓撲相變和拓撲通道,這為構建可擴展量子網絡提供了可行性藍圖.

本文提出了基于耦合腔構建的一維晶格方案,其中每個晶胞包含微波腔光子和磁子,通過調節磁子與微波光子的耦合參數,分析其中拓撲相變和拓撲量子通道.首先,在奇偶晶格數情況下,討論了系統能譜和邊緣態的特征,發現邊緣狀態分布發生了一個反轉過程,這可以實現多通道拓撲量子態傳輸.其次,當無序和缺陷的擾動存在時,研究其對系統拓撲特性的影響;當無序和缺陷強度較小時,發現系統受到拓撲保護,使邊緣態對其具有魯棒性.相反,無序和缺陷強度較大時,能帶分布被破壞,將會變得無序和混亂.

2 模型和哈密頓量

如圖1(a)所示,本文提出的一維耦合腔晶格系統包含N個晶胞,Jn是晶胞an-1和an之間的耦合參數.如圖1(b)所示,每個晶胞由F-P腔和磁子組成,磁子可以看作具有大量自旋集合的磁球(如直徑250 μm 的YIG 球體).其中,沿z方向施加磁場H,可以使磁子模式與腔場模式耦合,同時其耦合強度可以被外部磁場調控.因此,一維耦合腔晶格系統的哈密頓量表示為(?=1)

圖1 (a)一維耦合腔晶格模型圖,Jn 是晶胞 an-1 和an之間的耦合;(b) an和mn 分別表 示腔場 和磁子 的模式,其中沿腔z 方向施加磁場H,可以使磁子模式與腔場模式耦合Fig.1.(a) Schematic of the one-dimensional coupled cavity lattice system,Jn is the coupling strength between cavities an-1 and an ;(b) an and mn represent the modes of the cavity field and the magnon,an uniform bias magnetic field (H along the z direction) that establishes the magnon-photon coupling.

其中,Hma表示晶胞內部腔場模式和磁子模式的哈密頓量,Haa表示晶胞近鄰腔場模式之間的耦合,兩者可以分別描述為

為了進一步研究其中的晶格拓撲物理特性,文中設置參數:Jn∈even=t(1-Jcos?),Jn∈odd=t(1+Jcos?),gn=t(1+gcos?),相位?在[0,2π]范圍內的循環調制,g(J) 是循環調制的強度.特別是,耦合參數gn可以通過調整磁場的方向或磁子在腔內的位置來調控.另外,由于磁子具有極大的自旋密度,這可以增強強磁子與腔場的耦合.為了便于討論,將t=1 設為能量單位,系統的哈密頓量可以改寫為

基于上述哈密頓量的分析與討論,研究系統中的晶格物理特征,并且深入探究其中所具有的拓撲性質,進一步展現其豐富的拓撲絕緣體特性.

3 結果與討論

3.1 奇偶晶格能譜特征

目前,研究人員在拓撲絕緣體研究領域中,通過構建不同類型的拓撲結構,可以展現許多新奇的拓撲特征.也就是說,拓撲特征與系統的結構特征密切相關聯,例如,不同的結構特征會表現出不同的拓撲相變和邊緣態模式.因此,可以構建不同的結構系統,來實現一些新的拓撲量子器件.首先,考慮奇數和偶數晶格的情況下,分析和討論一維耦合腔晶格中能譜特征.

在圖2中,當晶格數n=36時,通過調整參數g,繪制了系統的能譜與相位?的物理圖像,其中藍色和紅色線條的邊緣態定義為 |ψblue〉和 |ψred〉,相對應的能量本征值為Eblue和Ered,即H|ψ〉=E|ψ〉.如圖2(a)所示,可以發現當參數g=0時,系統的能譜呈現兩個能帶,在? ∈(π/2,3π/2) 位置存在兩個簡并的零模邊緣態模式,在? ∈(0,π/2)和(3π/2,2π) 位置存在能隙δE0 .不同于圖2(a),當參數g逐漸增加時,在?=π 位置上下能帶發生壓縮變化,但邊緣態簡并模式保持不變,如圖2(b)所示.從圖2(c)可以看出,當參數g達到閾值時,在?=π 位置上下能帶凹凸起伏,并且隨著g的增大而增加.此外,當參數g超過閾值時,可以清楚地看到在?=π 位置,兩個簡并的邊緣態存在間隙,如圖2(d)所示.另外可以看到,系統的能帶具有對稱性,并且能隙中的邊緣態具有時間反演對稱性,這些使系統具有一定拓撲保護.同時也注意到,系統能譜的極大值、翻轉和周期都發現改變,邊緣態的區域有所擴展和延伸.與晶格偶數不同,當選擇奇數n=37晶格時,如圖3 所示,發現在能譜中只有一個零模邊緣態模式,并且不會隨參數g的調制而變化,但能帶的變化與圖2 一致.

圖2 n=36時,系統能譜與相位 ? 的關系圖,其中紅色和藍色線條是系統的兩個邊緣態模式(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2 ;(d) g=3.其他參數為J=1 ,? ∈ [ 0,2π ]Fig.2.Energy spectrum of the system via the phase ?,the red and blue lines are the two edge state modes of the system at n=36:(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3.Other parameters are set as J=1and ? ∈ [ 0,2π ].

圖3 n=37時,系統能譜與相位 ? 的關系圖,其中紅色線條是系統零模邊緣態(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3 .其他參數為 J=1 ,? ∈ [ 0,2π ]Fig.3.Energy spectrum of the system via the phase ?,the red line is the zero mode edge state of the system,n=37 sites:(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3.Other parameters are set as J=1 and ? ∈ [ 0,2π ].

為了進一步分析和探究系統能譜與參數g的關系,在此選擇相位?=π,繪制系統能譜與晶格數的物理圖像.在圖4(a)—(d)中,選取晶格數n=36,可以清楚地發現兩個簡并邊緣態模式與上下能帶的間隙,可以通過調制參數g來調控.在圖4(e)—(h)中,選取晶格數n=37,邊緣態與上下能帶之間的間隙也可以被調制.此外,與圖2 和圖3 相比較,可以看到在相位?=π點,系統能譜的變化相同,并且該結論與前面的一致.綜上所述,奇偶晶格拓撲特性的物理機制可以這么解釋: 一方面源于系統的邊界條件發生改變,從而引起拓撲性質的差異;另一方面基于調控參數g,可以改變晶格間的耦合,從而誘導系統展現不同的拓撲特征,同時系統的拓撲相變和拓撲通道可以被操縱.

圖4 系統能譜與晶格數關系圖(a)—(d) n=36 ,g=0,1,2,3;(e)—(h) n=37 ,g=0,1,2,3.其他參數為 J=1,?=πFig.4.Energy spectrum of the system via the lattice numbers: (a)–(d) n=36 ,g=0,1,2,3;(e)–(h) n=37 ,g=0,1,2,3 .Other parameters are set as J=1 and ?=π .

3.2 調控邊緣態的分布

根據上面的討論,接下來分析奇晶格數邊緣態模式的狀態分布.圖5 繪制了邊緣態模式(第19模式)的分布.如圖5(a)所示,當?=0.7π時,邊緣態(紅色)占據最左邊腔的概率最大;當?=1.5π時,從邊緣態的分布可以看出,邊緣態(藍色)占據最右邊腔的概率最大.研究結果說明,通過調控相位?,可以使邊緣態的分布發生改變,即占據最右邊腔或者最左邊腔.也就是說,相位?周期性地變化時,邊緣態的分布可以展現周期性的相變,從而實現連續從左到右或從右到左的相變.

圖5 n=37時,邊緣態(第19 模式)的概率分布圖(a) ?=0.7π,1.5π ,g=1 ,J=1;(b) ?=1.37π ,g=0,1,J=1Fig.5.State distribution of the 19 mode is plotted at n=37: (a) ?=0.7π,1.5π ,g=1 ,J=1;(b) ?=1.37π ,g=0,1 ,J=1 .

此外,圖5(b)繪制了不同參數g情況下的邊緣態分布.當g=0時,發現邊緣態(紅色)分布從右到左逐漸減小.然而,當g=1時,邊緣態(藍色)分布從左到右逐漸減小.根據以上分析,得知邊緣分布經歷了一個反轉過程,邊緣態模式占據最左(右)邊腔轉移到最右(左)邊腔,這實現了邊緣態模式的交換和傳遞轉換,可用于量子信息處理.

另一方面,根據前面關于參數g的討論,它可以影響系統的拓撲性質.在該系統中,通過控制外部磁場來調節參數g的大小,從而可以操縱系統的拓撲通道和拓撲相變.接下來,考慮參數g對該系統的邊緣態分布的影響.圖6 繪制了在n=37晶格的情況下,邊緣態的分布與參數g和相位?的關系.如圖6(a)所示,當參數g=0時,在參數? ∈[0,π/2]和[3π/2,2π] 的區域中,可以發現邊緣態位于第37 個腔中.此外,在參數? ∈[π/2,3π/2] 的區域中,邊緣態分布在第1 個腔中.然而,當參數g逐漸增加時,如圖6(b)—(f)所示,邊緣態的分布發生了變化,可以清楚地看到 [π/2,3π/2] 區域中部分的邊緣態從第1 個腔轉移到第37 個腔中.根據上述討論,發現參數g可以控制系統邊緣態的分布,使系統可以呈現多個拓撲量子態轉移通道.此外,該結論可以推廣到其他類似的系統,來實現多通道量子信息傳輸.

圖6 邊緣態概率分布與晶格數和相位 ? 的關系圖(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3;(e) g=4;(f) g=5 .其他參數為 n=37,J=1Fig.6.State distribution of edge state via the lattice numbers and the phase ? : (a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3 ;(e) g=4;(f) g=5 .Other parameters are set as n=37 and J=1 .

3.3 缺陷和無序的擾動

實驗中,不可能消除一些固有的內在或外在因素對系統拓撲性質的影響,比如系統的缺陷和無序可能會影響系統的拓撲特征.因此,有必要分析這些因素的影響.為了討論缺陷對系統的影響,引入缺陷產生的電勢W,從而進一步考慮隨機缺陷Wr對系統的影響,那么系統隨機缺陷的哈密頓量可以表示為

接下來,繪制系統能譜與相位?和隨機缺陷的關系圖,分析系統邊緣態的變化情況.正如圖7 所示,當考慮隨機缺陷的存在時,系統的能帶將具有波動效應.如果隨機缺陷勢較小,則可以區分系統的能帶,并且邊緣狀態保持不變.然而,當勢Wr超過一定范圍時,能帶結構被破壞并變得混亂,邊緣態淹沒在能帶中.換句話說,當隨機缺陷勢較小時,系統的邊緣態對其具有魯棒性,但隨機缺陷勢較大時,能帶的波動將增強,邊緣態將淹沒在能帶中.

圖7 系統能譜與相位 ? 和隨機缺陷的關系圖(a) Wr=0.1;(b) Wr=0.5;(c) Wr=1;(d) Wr=3;(e) Wr=5;(f) Wr=7 .其他參數參考圖2(b)Fig.7.Energy spectrum as a function of the phase ? for different degrees of defect: (a) Wr=0.1;(b) Wr=0.5;(c) Wr=1 ;(d) Wr=3;(e) Wr=5;(f) Wr=7 .Other parameters are set as Fig.2(b).

另外,系統的無序程度源于晶格之間耦合強度的波動,例如,晶格an和an-1之間的耦合Jn,晶格內an和mn之間的耦合gn.為了計算和分析討論,引入無序參數δ,并把耦合參數重新表示為gn+δ和Jn+δ,進一步分析系統的無序作用對能譜和邊緣態的影響程度.如圖8(a)所示,當無序參數δ=±0.3時,可以發現系統的上下能帶發生改變.例如,當δ=-0.3時,能帶發生反轉,邊緣態區域得到擴展;然而,當δ=0.3時,能帶寬度有所增加,邊緣態區域遭受壓縮.為了更具體分析和討論,在圖8(b)和圖8(c)中分別繪制了無序參數δ 增加和減小情況下,發現結果和前面討論的一致.此外,從能譜可以看出,上能帶和下能帶分別向上和向下移動,但邊緣態受影響非常小,這表明邊緣狀態對于無序是魯棒的,其受到系統拓撲結構的保護.

圖8 系統能 譜與相位 ? 和無序的關系圖(a) δ=-0.3(藍色實線),δ=0.3(黑色虛 線);(b) δ=0.1(藍色實 線),δ=0.3(黑色虛線);(c) δ=-0.1(藍色實線),δ=-0.3 (黑色虛線).其他參數參考圖2(b)Fig.8.Energy spectrum as a function of the phase ? for different degrees of disorder and the dissipation: (a) δ=-0.3 (blue line),δ=0.3(black dotted line);(b) δ=0.1(blue line),δ=0.3(black dotted line);(c) δ=-0.1(blue line),δ=-0.3 (black dotted line).Other parameters are set as Fig.2(b).

4 結論

本文提出了一種基于耦合腔的一維晶格方案,其中每個晶胞由微波腔光子和磁子組成,通過調控磁子外部磁偏置量,可以調整磁子-光子的耦合強度,從而對系統中的拓撲相變和拓撲量子通道進行了分析與討論.研究結果發現,奇偶晶格數的能譜具有不同的特征,而這源于邊界條件的差異;通過調控耦合參數,邊緣態分布可以呈現一個反轉過程,這可以實現多通道拓撲量子態傳輸和存儲的目的.此外,在考慮了缺陷和無序的擾動下,發現邊緣態對其具有魯棒性,這展現了系統對邊緣狀態的拓撲保護.因此,本文的方案為研究磁子-光子拓撲性質開辟了一條新的途徑,并對未來拓撲量子信息處理提供了藍圖.