直和的證明方法及拓展

◇寶雞文理學院數學與信息科學學院 段景瑤 高 茜

直和是兩個子空間的一種特殊關系。直和與線性空間中的諸多概念都有緊密聯系。本文以北京大學研究生入學考試中的一道高等代數問題入手，給出了維數法，同構法，和元素分解法，并對不同解法和教學方法進行了分析和拓展。

高等代數是數學專業學生考研的必考科目。有關線性空間的證明是高等代數中的一個重點，也是難點，還是研究生入學考試中的常考題目。本文以北京大學研究生入學考試，高等代數科目中的一道證明題為例，給出直和的多種不同的解法。這些解法反映出直和與線性空間中同構等抽象概念的關聯，能幫助讀者更為深刻地理解直和的概念。

1 基礎知識

2 直和證明的三種不同方法

例1是文獻4中，1999年北京大學研究生入學考試中，高等代數科目的一道證明題。原題有3問，本文列出了前兩問，并針對第（2）問直和的問題給出了三種不同解法。

3 分析與拓展

直和與很多概念都有聯系，例如在證明線性變換的核與值域的直和等式時，可以將維數法簡化。

線性空間的直和分解是線性空間理論的重要一環。線性子空間的直和是和空間的一種特例，要求和空間中的元素在子空間中的分解式是惟一的。在教學中要注意以下幾點。首先，直和的概念比較抽象，利用幾何空間的不同分解式，借助數形結合的教學方法比較直觀地引出直和的定義，有利于學生對基本概念的理解和掌握。其次，線性空間的直和分解蘊涵了高等代數中化整為零的思想。如果一個線性空間可以分解為兩個子空間的直和，這兩個子空間的和空間即為整個全空間，并且交為零子空間，即除零元外，沒有重復的元素。兩個子空間的性質可以反應出全空間的性質，例如，則的基與的基可以拼出全空間的基等等。再次，要注意兩個子空間的直和與多個子空間直和的等價判定條件的區別。兩個子空間的和是直和當且僅當兩個子空間的交是零子空間，但是三個及以上子空間的直和卻不能以此為等價判定。最后，直和分解的課程思政教學。全空間可以類比為我們的國家和集體，全空間分解為若干個子空間的直和，我們每個人類比為子空間。每個人在社會中都有自己的角色和使命，互不相同，不可替代。國家為我們每個人做著各項保障，反過來，每一個人的努力才可以推動整個國家和社會的進步。

4 結論

直和是高等代數教學中的難點，本文首先給出了一道考研題的三種不同的解法，這三種方法各有利弊。例1中，方法一采用了湊基的方法確定維數，湊基的方法很直接，然而湊基時要先確定維數，并掌握相關技巧；方法二采用同構的方法確定維數。高等代數中很多題目都可以用同構思想解決[5-6]。同構映射通常考慮用把元素映成坐標的映射，適用于有關坐標的題目，如例1的方法二和例3，例4。方法三采用的是相互包含證明相等，主要用到待定系數法分解元素，見例1的方法三和例2，可根據題目提供的條件選取合適的方法證明。