回顧舊知 合理遷移

劉媛媛

知識遷移是指學習者把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中，促進新知識的學習或者解決不同情境中的問題。“回顧舊知，合理遷移”就是自然生成新知識的一種合理有效途徑。教師若能夠在課堂滲透遷移思想，教會學生學會學習，學生不僅在數學學習中能夠提高學習效率，還可以推廣至其他學科的自主學習，甚至伴隨其終身。

知識理解、知識遷移、知識創新是發展學生學科核心素養的三級教學目標。其中知識遷移是指學習者把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中，促進新知識的學習或者解決不同情境中的問題，可將知識遷移水平稱為學科核心素養的二級水平。遷移可分為正遷移（起促進作用的遷移）、負遷移（指起阻礙作用的遷移）、零遷移（指不起任何作用的遷移）。

筆者以前對于知識遷移的理解僅僅停留在解決數學題的層面，認為題目做得多，知識自然就認識全面；題目做的難，知識自然就理解深刻。隨著新課改、新高考的推進，筆者越來越強烈地感受到大量刷題效率極低，盲目重復刷題更加容易迷失方向。在以教師為主導的課堂，必須引導學生經歷知識的產生，探索知識的發展。筆者認為“回顧舊知，合理遷移”就是自然生成新知識的一種合理有效途徑，即人們常說的“溫故而知新”。下面筆者以“解三角形中的范圍”為例具體展開談一談。

一、教學分析

（一）教學內容

三角形是平面幾何中最基本最常見的圖形，解三角形問題是歷年高考的必考內容，求取值范圍問題是其中的一個難點，在實際問題中有著廣泛的應用。解三角形中的范圍問題往往體現在長度、角度、周長、面積等方面，解決此問題常和函數、不等式等其他數學分支結合，需要學科內部知識的綜合應用。同時，解三角形中的范圍問題有助于提升學生的直觀想象能力、運算能力。教學中應作為重點。筆者意圖讓學生在思考并解答筆者設計的四個問題中逐漸感受到本課要解決的解三角形中的范圍問題是從哪里來？到哪里去？如何解決？即解三角形中的范圍問題和舊問題的關聯以及可以帶來的新問題有什么。

（二）教學目標

通過對問題1和問題2的思考，學生可體會到解三角形問題是從求值到求范圍的變化，進而建立起新舊知識的關聯。

通過對問題3的思考，學生能夠利用觀察圖形變化規律解答解三角形中的取值范圍問題，進而提升直觀想象的核心素養。

通過對問題4的思考，學生能夠鞏固利用觀察圖形變化規律解答解三角形中的取值范圍問題的方法，能夠利用建立函數關系或者不等關系式解答解三角形中的取值范圍問題，進而提升數學運算的核心素養。

（三）學情分析

學生初中學習過三角形全等、三角形相似以及直角三角形中的邊角關系。高中學習過解三角形中已知邊角六個量中的三個量求解其余量的定值問題，此問題與三角形全等存在關聯。本節課是求解三角形問題中邊角的取值范圍問題，此問題與三角形相似存在關聯。

二、教學過程片段

（一）最值問題的引入

問題1：解三角形問題是指已知三角形三條邊、三個角共六個量中的三個量，求解其余量的問題。一般會給出怎樣的三個量？

學生1：有幾種可能：邊邊邊、邊角邊、兩角一邊、邊邊角。

教師：具體如何解出其他的三個量？

學生2：已知邊邊邊和邊角邊適合用余弦定理解三角形；已知兩角一邊和邊邊角適合用正弦定理解三角形。

問題2：如果三角形的已知條件只有兩個量，這樣的三角形是不確定的，我們可以研究變化過程中的取值范圍問題。可能會給出怎樣的兩個量？

學生3：有幾種可能：兩個角、兩條邊、一個角和一條邊（相鄰）、一個角和一條邊（相對）。

教師：哪種情況是我們研究過的？

學生4：兩個角已知即為三個角已知，這是初中研究的三角形相似的一種情況。

教師：相似即三角形對應邊成比例，對應周長和面積也成比例，已形成結論。“已知兩個角”這種情況我們不再探究。下面先以三角形中兩邊已知為例，探求研究其余量是如何變化的方法。

設計意圖：學生在對比思考問題1和問題2的過程中可以發現條件的減少會帶來求定值到求范圍的變化，也會發現新問題的研究可以和舊知識建立起關聯。甚至某些特殊情況在很早之前就已經學習過，這會大大減少陌生感，也可以充分調動起學生的積極性和探究欲，從而能夠讓學生鞏固舊知舊法，進而合理遷移至新問題，提升相應核心素養水平。

（二）最值問題的研究過程

1.看一看

問題3：△ABC中，已知AB=4，AC=5，試分析其余邊角的取值范圍。

學生5：先用余弦定理表示出BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=41-40cosA，再借助于角A的范圍（0，π）得到邊BC的范圍。

學生6：邊BC的范圍只要利用三角形中兩邊之和大于第三邊且兩邊之差小于第三邊便可知為（1，9），和甲的方法得到的結論是一致的。

教師：很好，我們還可以直觀想象一下圖形的變化。能否通過想一想、看一看的方式得到取值范圍？

學生7：先做出邊AC，然后以A為圓心、4為半徑畫圓，可以看作B在圓周上運動，隨著B的規律運動，直接觀察易得角B和角C的取值范圍，B∈（0，π），C∈（0，θ0]，其中θ0是邊BC和圓相切時候角C的值。

教師：學生7在感受圖形變化的過程中選擇研究點B的運動軌跡帶來三角形中其余邊角的相應變化，我們可以稱點B為主動點。三角形還有周長和面積這兩個基本信息，利用以上研究方法也容易得出取值范圍。接下來我們自主分析三角形中已知一條邊和一個角（相對），其余邊角、周長以及面積的取值范圍。

設計意圖：解三角形問題本就和圖形密切相關，其中取值范圍問題是由圖形的變化產生，因此解決此類問題的突破口往往可以從感受圖形的變化入手，選擇合適的主動點，分析其運動軌跡。已知三角形兩邊的情況就可以通過想一想和看一看的方式，直觀觀察感受其余的邊角、周長以及面積的取值范圍，臨界情況往往是在特殊位置處取到。

2.算一算

問題4：△ABC中，已知A=60°，BC=2，試分析其余邊角、周長、面積的取值范圍。

筆者先給一定的時間讓學生在課堂練習本上自主分析，從反饋來看，此問題的解答比較順利，多數學生可以想到將B、C看作定點，選擇點A為主動點研究其軌跡，點A的軌跡為△ABC外接圓O上的一段弧，因此容易得到線段BC為圓中的一段弦，A則是弦所對的圓周角。

學生8：先看邊AB，隨著主動點A自C逆時針運動至B，邊AB的長度先從2（取不到）變大到外接圓直徑（AB過圓心O時取到）再變小到0（取不到），即AB∈（0，[433]]；再看∠ABC，隨著主動點A自C逆時針運動至B，∠ABC從0（取不到）變大到[2π3]（取不到），即∠ABC∈（0，[2π3]）；同樣可知AC∈（0，[433]]，∠ACB∈（0，[2π3]），也易觀察得面積的范圍為（0，[3]]，最大值[3]是A在點D（OD⊥BC）時取到。周長的變化好像不太容易直接觀察得出，我就取了幾個特殊位置比較了一下，分別是當點A在C、D時以及AB過圓心時，感覺隨著主動點A自C逆時針運動至D，周長在變大，范圍為（4，6]。

教師：既然周長不太容易觀察得出，那是否有算一算的方式得出周長的范圍？

學生9：可以設法建立關于周長的函數關系或者不等關系式。

設計意圖：這個問題的解答有承上啟下的作用。學生在分析邊角、面積的取值范圍時，都可以借助于三角形外接圓以“看一看”的方式完成解答，但在分析周長的取值范圍時，會發現單純靠直觀想象難以解決問題，自然地過渡到需要靠數學運算解答。再次起到提升鞏固舊方法，進而合理遷移至新問題的核心素養水平。

（三）解三角形取值范圍問題的解決策略總結

1.直觀想象三角形圖形的變化規律帶來邊角的變化，同時結合三角形的基本要求即兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、內角和為180°，簡單計算便可解答。

2.三角形圖形的變化規律不明顯時，需要借助數學運算，即建立關于邊或者角的函數關系，此時將問題轉化為函數求值域問題，或者建立不等關系解不等式。

三、回顧與反思

筆者準備本節課時，在思考如何引導學生主動探究“解三角形中的范圍問題”這一環節考慮許久。雖說取值范圍問題的重要性學生都知道，即使直接講授也能夠引起學生的重視，但筆者一直主張學生要學會思考“知識從哪里來”、多問問“為什么要學習這個知識？”“為什么要研究這個新問題？”“這個新知識新問題和我們的舊知識舊問題有什么關聯？”“回顧舊知，合理遷移”對學生掌握知識之間的關聯性、學生學習知識的系統性及綜合性都大有幫助，也能大大增強學生的探究意識。遷移是一種學習對另一種學習的影響，學生正遷移量越大，他們適應新的學習情境或解決新問題的能力就越強。這需要教師從“傳遞知識”向“建構知識”的教學方式轉型。

（一）問題設計要精準

“教學過程是一種不斷地提出問題和解決問題的活動”，教師作為問題的設計者，要提出符合教學內容和教學對象的問題，要提出符合知識生成的問題，要提出符合學生思維發展的問題。學生原有的認知結構是順利遷移的關鍵因素，奧蘇伯爾認為：“過去的經驗影響著有意義的學習與保持或者說對這種學習 和保持起著積極或消極的作用，因為它可以影響認知結構的有關特征。因此認知結構在遷移中起著決定性作用。”筆者一般會從舊知識入手復習鞏固，再重點強化和新問題具有密切聯系的內容，接著引導學生思考舊問題可能帶來的變化，新問題的生成會顯得非常順其自然，有時學生甚至能夠提出預設之外更有價值的觀點，教學相長體現得淋漓盡致。

本節課提出的問題中，筆者認為問題2是亮點，原因在于當三角形中三個條件減少為兩個條件時，學生可以從宏觀上把握四種可能，既然課堂上已經學習過其中兩種情況的解決策略，之后再碰到未曾研究的情況時也不至于毫無頭緒。

（二）素養提升要堅持

筆者始終堅定地認為“學生是課堂的主體，教師是課堂的主導”，因此每節課前都會問自己“這節課要達成的主要目標是什么”？而目標的主體一定是學生。一節課雖說不是培養學生單一的能力，而是以培養多種能力為目標，但一定也有主次之分。長此以往，不同的學生能夠明確自己的優勢和不足，從而更加高效地提升能力不足之處。

本節課前半場在設計時更加側重直觀想象能力的提升，這有助于解決選擇填空題，對于解答題可以起到輔助作用，借助于圖形分析能夠調動學生的學習積極性，但對于學生直觀想象力也有要求。后半場側重運算表達，以沉淀平靜收尾，有助于學生將知識內化于心。

（三）教材理解要深刻

不論問題的設計，還是素養的提升，都是建立在師生對教材的理解要深刻的基礎上。深刻意味著對于教材整體的把握，意味著對于教材中相同研究對象、研究內容的整合，意味著對于教材中相同研究方法的歸納。特別是對于新概念的認識不可在學習新內容時一帶而過，進而通過大量的練習去感受其本質，這是本末倒置的行為。應在概念形成的環節了解其來源、理解概念深刻的內涵（比如從正面與反面進行比對）、探究概念的外延（比如相關概念的比較以及概念的初步應用等）。同時，教師針對不同的學情，能夠合理調整教材內容的難易，真正做到因材施教。

“數學學習的遷移過程是數學知識相互作用、逐漸整合的過程。任何數學知識的獲得都不是一蹴而就的，而是在一個較長的時間內，有層次、螺旋上升、逐漸獲得的。”遷移在學習中起著十分重要的作用。教師若能夠在課堂滲透遷移思想，教會學生學會學習，學生不僅在數學學習中能夠提高學習效率，還可以推廣至其他學科的自主學習，甚至伴隨其終身。