“雙減”背景下初中數學作業有效設計實踐研究*

? 福建省廈門市東山中學 張燕茹

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“新課標”)指出,數學學習的總目標是通過義務教育階段的學習,使學生獲得“四基”,增強“四能”,并具備科學態度和創新意識.作業是學生達到新課標目標要求的重要途徑之一,合理的作業可以事半功倍地幫助學生鞏固知識、查缺補漏,提高綜合素質.因此,“雙減”對教師如何切實提高初中數學作業設計的有效性提出了更高要求,筆者就初中數學作業設計有效性的特點進行深入思考,提出了作業有效性的延續性、針對性、層次性,希望通過“三性”的實踐研究,為廣大教師在作業設計有效性方面提供一定的參考,真正起到減負增效的作用.

1 善于例題變式,讓作業有延續性

作業是了解學生掌握課堂知識情況的檢驗手段,例題的變式可以更好地引導學生從不同角度來思考問題,不僅可以訓練學生數學思維,還能促進學生更全面地掌握相關知識點.因此,對例題的挖掘與變式,能讓作業更好地發揮延續功效,提高課堂的教學效果[1].

例1如圖1所示,梯形ABCD中AB∥CD,E是BC的中點,DE平分∠ADC,求證:(1)AE平分∠BAD;(2)AB+CD=AD.

圖1

分析：該例題解題過程中需要添加輔助線,學生易犯的錯誤有兩點.(1)認為E是BC的中點,為了構造全等三角形,延長DE至點F,DE=EF,連接BF,但并未求證點A,B,F在一條直線上;(2)認為DE平分∠ADC,為了構造全等三角形或等腰三角形,延長DC至點F,使DC=AD,連接EF,但并未求證A,B,F三點在一條直線上.

于是,為了更好地訓練學生的數學思維,促進學生全面掌握相關知識點,利用該例題可以變式設計如下作業:

變式1如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD,求證:(1)E是BC的中點;(2)AB+CD=AD.

變式2如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中點,AB+CD=AD,求證:(1)DE平分∠ADC;(2)AE平分∠BAD.

變式3已知四邊形ABCD中,E是BC上的一點,其中DE平分∠ADC,AE平分∠BAD,AB+CD=AD,求證:(1)E是BC的中點;(2)AB∥CD.

設計意圖：利用該例題設計三種變式作業,能讓學生更好、更充分地明白圖形結構的內在關系,以及掌握如下兩種添加輔助線的常用方法.(1)根據線段中點,可以聯想利用中心旋轉來構造全等三角形;(2)根據角平分線,可以聯想到利用圖形翻轉來構造全等三角形.此外,變式1～3達到了舉一反三的功效,遠比單一的、零碎的選擇個別作業題效果要好,通過變換問題的條件和結論,變換問題呈現的形式來設計作業,不僅可以引導學生通過本質看問題,不停留在問題的表象,還可以發散學生的數學思維,促使學生掌握相關知識之間的聯系,從而更深刻地掌握課堂教學內容.

2 注重知識整合,讓作業有針對性

一節課中往往會教給學生多個知識點,教師在設計作業時應注意所學知識點的整合,盡可能地把多個知識點整合到一個例題中或一組例題中.此外,在設計作業的過程中,還可以將前后有關聯的新舊知識點整合到一個例題或一組例題中.這樣設計作業有助于學生在做題過程中同時掌握一連串相關的、前后有聯系的知識點,既能有針對性地復習知識點,又能很好地訓練逆向思維,還能減少作業量,避免重復、大量的作業,真正實現“減負增效”,提高作業的有效性.

例2把下列各式因式分解.

(1)9a2-4b2=______.

(2)3x2y4+6xy2z=______.

(3)4x2-4x+1=______.

(4)a2+6b-ab-6a=______.

分析：該例題為關于因式分解知識點的課后作業,學生充分掌握因式分解的方法后,看到類似的題目,在腦海中會形成飽和模式.在此情況下,如果還只是提供一些常見的作業題目,則很難引導學生深入思考,學生完成作業也只是機械的重復,思維得不到鍛煉.因此,有必要對作業進行再精選、再設計,以提高作業的有效性.

例3完成下列各題.

(1)多項式a2+b2,a2-b2,-a2+b2中,能分解因式的有______.

(2)若多項式a2+mab+9b2是一個完全平方式,則m的值為______.

(3)如果多項式a2-kb-15能分解因式,則k的值可以是______.

(4)把多項式xy-xz+y-z用分組分解法分解因式,不同的方法有______種.

(5)把下列各式因式分解:3ca2-3cb4;a2+2ba-3b2;4x(1-x)3-(x-1)2.

設計意圖：以上是關于因式分解知識點的一組作業.這組作業中,有些是基礎題,有些則是在基礎題的基礎上經過變化進行再設計,其目的就是提高作業的有效性,引導學生深入思考,更好地掌握因式分解的解題方法和出題方式.這種將知識點整合的作業設計,特別適用于學業繁重的初三學生,精選、整合、有針對性,能夠高效提高學生的解題能力.

3 加強分組設計,讓作業有層次性

每個學生都是不同的個體,對各個知識點的掌握程度均不相同.為了更好地加強不同學生的薄弱知識,教師可以依據不同的知識點,細心對作業進行合理分層.學生根據自己對知識點的掌握情況,基于教師設計的具有層次性的作業,選擇符合自身的作業題目進行練習.如此設計層次性作業,不僅有針對性地幫助學生突破薄弱環節,還能減輕教師的作業設計任務[2].

例4關于x的二次函數y=(m+3)xm2+4m-3+5.

(1)若該函數的圖象開口向上,求m的值;

(2)若該函數存在最大值,求m的值.

例5如圖2所示,函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸直線方程為x=2,若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根,且x1

圖2

A.b2-4ac<0 B.ab>0

C.x1+x2<0 D.4

例6已知A,B兩家公司生產一批同款鞋子200雙.A公司生產的每雙鞋子成本為70元.B公司生產鞋子的總成本y(單位:元)與數量x(單位:雙)之間存在y=ax2+bx的函數關系,其中,當x=20時,y=1 000;當x=10時,y=400.現需要將鞋子運往C,D兩家店,從A公司運往C,D的費用分別為m元/雙和6元/雙;從B公司運往C,D的費用分別為2元/雙和4元/雙.C地需要180雙,D地需要20雙,當A,B兩家公司生產這批鞋子的總成本的和最少時,求A,B總運費的和的最小值(用含m的式子表示).

設計意圖：例4～例6是依據二次函數的不同的知識點設計的作業.其中,例4較為基礎,只要掌握二次函數的定義及性質即可,難度較低;解答例5,需要學生熟練掌握二次函數與一元二次方程的關系,并要結合圖象來解決問題,難度有所提高;例6與生活相結合,理解難度較大,需要學生能從文字描述中抽象出數學問題,再運用相關數學知識解決問題.例4、例5、例6難度層次不同,學生可以依據自己的薄弱情況,針對性地選擇作業,突破薄弱點,增強信心.

在“雙減”背景下,教師能夠認識到作業設計的重要性,是學生“減負增效”的關鍵.教師應盡量減少作業數量,提升作業設計的有效性,不斷探索、實踐日常作業設計,將作業設計作為引導學生發展數學思維、提升數學能力的重要途徑,切實使學生獲得“四基”,增強“四能”,樹立科學態度,培養創新意識.