以“形”換“數”,化繁為簡
——以“含參一元一次不等式組”為例

? 湖南工業大學 閆 旭 湯 瓊 魏莉莎 楊 婕

數形結合思想是初中數學教學中廣泛應用的一種思維方式,它是代數學與幾何學相互滲透的產物,具有較高的解題應用價值.數形結合思想源于“直觀形象”,表現為“經驗形態”[1],它能夠化繁為簡,將抽象轉變成具象,輔助學生解題.

初中生面對有關“動點、變量、含參”等具有不確定性的動態問題時,普遍會感到困惑,這是他們的認知從低階到高階、由具象到抽象提升道路上的必經之路.在“解一元一次不等式組”教學中,教師引導學生運用數形結合思想,借助數軸找到不等式組的解集.那么遇到含參問題,也可利用數軸,把原本抽象的字母、不等關系等具體表示出來,從而簡化題目,準確求解.下面以“含參一元一次不等式組”為例,說明如何利用數形結合思想來教學.

1 數軸直接判斷型

A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1

圖1

圖2

圖3

小結:此類型問題一般表現為問法直接,且只有一個不等式含參,求參數取值范圍.一般思路是先整理不等式組,在數軸上畫出確定的不等式的解,再根據有解或無解條件大致表示出含參數的不等式的解,最后確定臨界值即等號的取舍.

2 整數解分析型

解析：由不等式組m+1

圖4

圖5

圖6

A.-3

圖7

圖8

圖9

小結:此類型問題一般表現為,已知整數解個數,且只有一個不等式含參,求參數的取值范圍.一般思路是先整理不等式組,在數軸上畫出確定的不等式的解,根據確定的一支和整數解個數推理出另一個不等式解的臨界值在哪兩個整數之間,最后確定臨界值即等號的取舍.

3 分類討論型

A.a>5或a<2 B.a≥5或a<2

C.a>5或a≤2 D.a≥5或a≤2

解析：解原不等式組,得a

如圖10,當a

圖10

如圖11,當a

圖11

綜上,a≤2或a≥5.故選:D.

圖12

圖13

小結:此類型問題一般表現為解集不在某個封閉的范圍內,或題目條件不明確,而是以“整數解的和”的形式指出有幾個整數解.一般思路是先整理不等式組整理,根據題目條件確定不同情況,再借助數軸對每種情況具體討論,最后綜上得出答案.

4 總結

數形結合是一種輔助解題的思想方式,不能誤解為完全依賴畫圖得出答案.在“含參一元一次不等式組”解題與教學時,要先對題目進行深入分析和思考,判斷問題類型,理清條件,再借助數軸來直觀表示,快速準確建立含參不等式,最后考慮端點問題[2].當然,數學是一門靈活的學科,以數軸的“形”來替代“數”輔助解題與教學并非必須,也可以采用口訣“大大取大、小小取小、大小小大找中間、大大小小找不了”直接判斷,需要結合實際問題靈活運用.