球槽模型壓力極大值位置是否存在質量比臨界值

閆俊卿 姚華鑫 林云強

(1.安徽省安慶市田家炳中學,安徽 安慶 246003; 2.北京師范大學未來教育學院,廣東 珠海 519087; 3.安徽省安慶市石化第一中學,安徽 安慶 246002)

1 引言

球槽模型是高中物理教學中一個比較經典的模型,涉及動量與能量的綜合分析,經常會涉及特殊位置處相互作用力的分析.關于球槽模型大部分文獻旨在探討球槽模型小球對地速度最大值位置是否存在質量比臨界值,如文獻[2]～[5]都得出球槽質量比影響小球速度最大值出現的位置.而小球對凹槽壓力極大值的出現位置的研究文獻較少,翻閱文獻發現對此問題有不同的觀點:文獻[1]指出考慮小球的質量和轉動慣量會影響小球對凹槽最大壓力的出現位置,且凹槽質量等于小球質量是壓力極大值偏離最低點的臨界條件;而文獻[4]指出小球對凹槽的壓力的最大值與質量比無關,在凹槽最低點出現.那么壓力的最大值究竟是否存在質量比臨界呢?基于以上研究背景,本文將從一般化情形和理想化情形進行分析,定量推導小球所受支持力的表達式,并進行數值模擬來分析兩者的規律,從而揭示真實的物理過程和規律.

為方便下文論述,把考慮小球半徑和轉動慣量的情況稱為一般化情形,把小球視為質點模型的情況稱為理想化情形.下文將探討小球對凹槽壓力的規律及極大值的出現位置與質量比是否有關.

2 定量分析 探尋規律

情境描述:質量為M,半徑為R的凹槽靜止在光滑的水平地面上,一個質量為m,半徑為r的小球,從凹槽圓心等高處靜止釋放.

2.1 一般化情形研究

2.1.1 理論推導

小球沿圓軌道滾動的過程中,某時刻情境如圖1所示,令小球相對于凹槽圓心O的速度vC方向垂直于球心與凹槽圓心O的連線,設此時連線與豎直方向的夾角為θ,此時凹槽水平向左的速度為v,凹槽對小球的支持力為N以及小球所受的重力為G.

圖1 情境圖

根據伽利略變換可知小球相對于地面水平向右的速度大小為vCsinθ+v,根據水平方向動量守恒可得

m(vCsinθ+v)+Mv=0.

(1)

以小球在軌跡最低點處的球心所在平面為零勢能面,從與圓心等高處運動到此時的狀態,根據機械能守恒定律可得

(2)

根據柯尼希定理可知小球相對于地面的總動能T等于質心相對于地面的平動動能和小球相對質心的轉動動能之和,故有

(3)

又因為小球相對于凹槽做無滑滾動,可得

vC=rω.

(4)

小球沿凹槽向上運動的過程中,凹槽具有向右的加速度,于是以凹槽為非慣性參考系,小球受到向左的慣性力F′,其大小為F′=Ncosθ.

以凹槽為參考系,小球球心相對于圓心做圓周運動,徑向由牛頓第二定律可得

(5)

聯立式(1)～(5)解得

(6)

從N的數學表達式看出,該表達式不含r和R,說明球槽半徑的大小和小球的轉動慣量不影響壓力極值的出現位置.那么壓力又會呈現出什么規律呢,接下來通過數值模擬,更加直觀地進行呈現和分析.

2.1.2 一般化情形規律可視化

為方便研究,我們取m=1 kg,R=1.0 m,r=0.1 m,g=10 m/s2.同時令M/m=M=k.由牛頓第三定律可知,壓力大小滿足FN=N,二者方向相反.故式(6)可化為

用數學軟件GeoGebra繪制的FN圖像如圖2所示.

圖2 一般化情形FN的函數圖像

限于篇幅,這里僅僅給出4種情況下的FN的函數圖像.當我們不斷增大k值時,FN的函數圖像的差別在于極大值發生變化,即有函數極大值隨著k的增大而減小,而函數圖像的整體對稱性依然相同.從FN與θ的函數圖像可以看出,FN的函數圖像的對稱軸始終為θ=π/2,而且函數最大值始終出現在θ=π/2處.前文一般化情形中將小球和凹槽圓心的連線與水平方向的夾角設為θ,即有小球對凹槽壓力極大值在凹槽最低點處取得.

2.1.3 一般化情形規律總結

因此,歸納得到以下結論:在考慮小球大小和轉動慣量的情況下,無論凹槽與小球的質量之比取何值,小球對凹槽壓力的極大值始終在凹槽的最低點處取得.

從物理角度闡釋該結論:不同的球槽,無論小球半徑如何,球槽的質量比如何,小球的壓力的極大值都出現在凹槽的最低點,并且壓力的變化規律相同.這無疑是該情境背后隱藏的另一個有趣的、簡潔的、對稱的、美麗統一的物理規律.

這不免引發進一步思考,既然小球半徑和凹槽質量比不影響壓力變化規律和其極大值出現的位置,那么就可以將小球視為質點,該模型簡化為下文中的理想化模型進行再次探究.

2.2 理想化模型研究

2.2.1 理論推導

理想化情形下,我們忽略小球自身的半徑(即不考慮其轉動慣量),將其視為質點,探究小球對凹槽圓軌道的壓力的規律及極大值出現的位置.此時系統運動情境如圖3所示,v1代表小球的速度,v2代表凹槽的速度,v相代表小球相對于凹槽的速度,小球和圓心的連線與水平方向成θ角,顯然v相沿圓軌道的切線方向.

圖3 情境圖

小球從水平位置滑到圖示位置的過程,由機械能守恒可得

(7)

其中v12=(v相sinθ-v2)2+(v相cosθ)2.

(8)

由水平方向動量守恒可得

mv1x=Mv2.

(9)

(10)

聯立式(7)～(11)可得

(11)

(12)

(13)

解得關于θ的微分方程為

(14)

于是對θ求二階導數可得

(16)

將式(16)代入式(15)化簡可得

(17)

(18)

對式(18)求導可得

(19)

代入式(15)和式(16)即有

(20)

以圓槽為參考系(非慣性系),小球受到圓槽給其的沿半徑方向的支持力,設此時凹槽水平方向的加速度為a2,小球在球槽參考系中受到水平方向的慣性力F′,且大小為F′=ma2,與圓槽此時的水平加速度方向相反.小球對圓槽由牛頓第二定律可得

(21)

聯立式(13)(15)(20)(21),可得

(22)

從上式中FN的表達式可知,小球對凹槽圓軌道的壓力與凹槽半徑R無關,與小球和凹槽的質量以及角度θ有關.于是,我們將嘗試改變小球和凹槽的質量關系,數值模擬更加直觀探究小球對凹槽壓力的規律.

2.2.2 理想化情形規律可視化

為方便觀察N的變化規律,同理我們取m=1 kg,R=1 m,g=10 m/s2.同時令M/m=M=k,則式(22)可化為

我們用數學繪圖工具GeoGebra繪制的FN圖像如圖4所示.

圖4 理想化情形FN的函數圖像

從圖4中可知FN函數圖像始終存在一個極大值,且始終存在一個對稱軸.繪圖軟件自帶的數據顯示,FN函數的極大值在θ=1.5707963…處取得,這說明函數極值在2θ=π處取得,即無論小球與凹槽的質量之比取何值小球的速度最大值始終在最低點處取得.

2.2.3 理想化情形規律總結

從數學表達式,規律的數值模擬可視化,可以得出無論小球與凹槽的質量之比取何值,小球的速度最大值始終在最低點處取得.

這說明兩種情形下小球對凹槽圓軌道壓力的極大值始終在軌道最低點處取得且改變小球與凹槽的質量比值不影響壓力極大值的出現位置.

2.3 兩種情形分析和比較

第一,相同位置,壓力大小不同.

從圖3和圖4,我們發現兩種情形下小球運動到同一位置所受支持力大小不同,小球視為質點情形壓力明顯大于非質點情形.其實物理原因很簡單,就是考慮小球轉動慣量會把一部分動能用于自身的轉動,從而小球相對凹槽的速度大小變小,于是對凹槽的壓力也因之變小.當然,考慮小球半徑也會使運動相同θ位置時減少的重力勢能變小,于是獲得的總動能也相應變小,即有小球的速度產生微妙的變小,從而有壓力變小.

第二,同種情形,k不相同,壓力變化規律略有差異,變化趨勢相同.

當小球質量遠大于凹槽質量即k值比較小時,分析原因也很簡單,小球開始階段近似于做自由落體運動,速度增加得比較快,因而相互作用時其對凹槽的壓力短時間內增加加快,因此k值較小時,圖像呈現出“細腰”的圖像,k值較大時,不明顯.

第三,兩種情形,k相同壓力變化規律相同.

由一般情形的理論推導得到的表達式,不含有球槽的幾何參量,大膽猜測,球槽的半徑不影響壓力的變化規律,進而簡化為理想模型處理,得出類似的規律,進而兩種情形壓力的極大值位置也不存在質量比臨界問題,這無疑在討論壓力規律時,可以將小球視為質點,為球槽模型簡化,提供了參考依據.

3 總結與啟示

綜上所述,得出研究結論:無論是否考慮小球的半徑和轉動慣量,還是改變小球與凹槽的質量之比,小球對凹槽的壓力變化規律相同,且極大值出現位置始終在凹槽半圓軌道的最低點,與小球最大速度出現在最低點存在質量之比臨界值截然不同.

誠然,上述分析與定量推導是基于文獻[1]的矛盾展開的,文獻[1]之所以出現錯誤結論,是因為在計算小球在半圓軌道任意位置受到的向心力時代入的小球速度是相對于圓軌道的速度大小,而不是絕對速度.所以,本文也為廣大一線教師認識球槽模型的最大速度出現位置與最大壓力出現位置的差異提供了參考.

教師在物理試題的命制過程中,把握好正確的物理結論顯得尤為重要.當高中物理的知識不能解決面臨的物理問題時,教師可采用大學物理學的方法進行推導并得到正確的結論.這也啟示教師在日常教學中關注物理結論成立的條件并勇于發現問題解決問題,防止思維定式的產生.