巧用數理結合思想 妙解電荷平衡問題
——以2023年高考物理海南卷第8題為例

王 正 王偉民

(1.安徽省阜陽師范大學附屬中學,安徽 阜陽 236037; 2.安徽省太和縣宮集鎮中心學校,安徽 阜陽 236652)

數理結合是解決中學物理問題的重要方法,也是提升學生物理核心素養的主要途徑.所以,采用數理結合的方法求解物理問題一直是高考物理的熱點問題.通過此類問題的解答,可以有效考查學生應用數學工具解決相關物理問題的能力.

1 原題呈現

例1.(2023年高考物理海南卷第8題)如圖1所示,一光滑絕緣軌道水平放置,直徑上有A、B兩點,AO=2 cm,OB=4 cm,在A、B固定兩個帶電荷量分別為Q1、Q2的正電荷,現有一個帶正電小球靜止于軌道內側P點(小球可視為點電荷),已知AP∶BP=n∶1,試求Q1:Q2是多少

圖1 示意圖

(A) 2n2∶1. (B) 4n2∶1.

(C) 2n3∶1. (D) 4n3∶1.

這道題目是2023年高考物理海南卷單選題的最后一道題目,處于單選題版塊的壓軸位置.該題目插圖簡潔明了,內容短小精干,雖然只有一百多字符,但卻把需要交代的物理情景敘述得清楚明白,不存在任何歧義或費解之處,體現了編者高超的編擬原創題目的水平.同時本題也是一道綜合性很強的題目,重點考查學生對庫侖力公式的掌握情況、矢量合成平行四邊形法則的應用水平,以及綜合利用數學知識解決復雜物理問題的能力,體現了數理結合的跨學科思想.

2 題目分析及解析

帶正電小球受到固定于軌道直徑上A、B兩點兩個正電荷Q1和Q2的庫侖力為排斥力,小球能夠在光滑圓形軌道內側P點保持靜止,說明它受到兩個庫侖力F1和F2的合力,不存在過P點圓的切線方向的分量,所以,兩個庫侖力合力作用線一定過軌道圓的圓心O,如圖2所示.設帶正電的小球的電荷量為q,則有

圖2 受力分析圖

所以本題的正確選項是選項(C).

能夠發現,這道高考選擇題題設給出的用來對帶電小球施加壓力而與庫侖力平衡的光滑軌道,其形狀很特殊,是一個光滑圓形軌道,而圓有一個特性,那就是圓上各點的法線方向指向圖形上的同一個固定點——軌道圓的圓心,題設給出兩個位置固定點電荷到圓心的距離分別是兩個具體數據2 cm和4 cm.我們不禁要問,如果這道選擇題將圓形光滑軌道改換為其他形狀的光滑軌道,相關長度也不再是具體數據,那么,類似問題還可以求解嗎?

如圖3所示,在光滑水平面內A、B兩點固定兩個電荷量分別為Q1、Q2的正電荷,MN是該水平面內固定的一段光滑曲線軌道(包括光滑直線軌道——直線可視為曲率半徑無窮大的曲線),P是曲線軌道上的一點,直線CD是過P點曲線的切線,直線PO為過P點曲線的法線,該法線與AB的連線交于點O.設PA=n,PB=m,OA=r,OB=p,一個帶正電荷的可視為質點的小球,受到Q1、Q2庫侖力的作用,如果剛好能夠靜止在光滑軌道上的P點,我們看下兩個固定位置點電荷的電荷量之比應該滿足什么條件.

圖3 示意圖

設光滑軌道上靜止于P點帶正電小球受到Q1和Q2的庫侖力分別為F1和F2,這兩個力的合力為F合,設△PAO和△PBO的面積分別為S1和S2.則有

在F1、F2和F合組成的力矢量三角形△PEH中,由正弦定理可得

3 高考題目的變式及解析

3.1 物理公式與幾何關系結合進行求解

例2.(變式1)如圖4所示,Rt△ADC固定于光滑絕緣水平桌面上,∠A為直角三角形,B是AD邊上的一點,已知AC=24 cm,AD=32 cm,AB=25 cm,在A、B兩點固定兩個帶電荷量分別為Q1、Q2的正電荷,沿DC邊固定一個光滑的直軌道,現有一個帶正電小球放在軌道DC的左下側(小球可視為點電荷),發現當小球位于DC的中點P時恰好可以保持靜止的平衡狀態,試求Q1∶Q2是多少?

圖4 示意圖

帶正電小球受到Q1、Q2的庫侖力均為排斥力,它能夠靜止于光滑軌道CD的中點P,說明在P點小球受到兩個點電荷庫侖力合力的作用線,一定垂直于光滑直軌道CD.過P作PO⊥CD,交AD于O,如圖5所示,則直線PO為小球所受兩個點電荷庫侖力F1和F2合力的作用線.

圖5 受力分析圖

以上為主要運用圖形中的幾何關系并結合相關物理公式對問題進行的解析.下面,我們再將光滑軌道變換為用解析式表示的情形,看如何用解析方法對同類問題進行求解.

3.2 物理公式與解析法結合進行求解

圖6 示意圖

圖7 受力分析圖

例4.(變式3)如圖8所示,光滑絕緣水平桌面上固定一個光滑曲線絕緣軌道MN,在桌面平面內建立的圖示坐標系中軌道方程為y=ex,x軸上A、B兩點的坐標分別為A(-1,0)、B(2,0),在A、B兩點固定兩個帶電荷量分別為Q1、Q2的正電荷,現有一個帶正電小球放在軌道MN右下側(小球可視為點電荷),發現當小球位于軌道與y軸的交點P時可以保持靜止的平衡狀態,試求Q1∶Q2是多少?

圖8 示意圖

圖9 位置分析圖

4 結語

2023年高考物理海南卷第8題,題目編者巧妙建立物理模型而編擬題目,該問題的求解將數理結合思想展示得淋漓盡致,雖然只是一道內容簡短的選擇題,但卻綜合考查了學生對庫侖力公式、共點力合成法則等知識點的掌握情況,以及靈活運用數學知識解決物理問題的能力.改換題設給出的部分條件,可以得到與原高考題目物理背景相似的多個不同變式,通過對這些變式問題的深入剖析,進一步強化了我們對數理結合思想的認識,使我們在點電荷受庫侖力和光滑軌道壓力作用下保持平衡狀態這一特定的物理情形中,對相關問題的求解,有了整體性和全局性的把握.