基于改進簡化拉-壓桿模型的鋼纖維混凝土梁柱節點受剪承載力計算方法

張路楊 ，姚繼濤 ?，胡玉坤

（1.西安建筑科技大學 土木工程學院，陜西 西安 710055；2.西安建筑科技大學 結構工程與抗震教育部重點實驗室，陜西 西安 710055）

強烈地震作用下，框架節點承受著壓、彎、剪的復合作用，應力集中現象明顯，受力尤為復雜，導致節點核心區混凝土易發生脆性剪切破壞，從而影響框架結構的整體安全［1］.為提高梁柱節點受剪性能及避免脆性剪切破壞的發生，傳統方法是在節點核心區配置多而密的箍筋，但該方法會導致鋼筋擁擠，增加施工難度和成本，故需采用有效方法來避免節點核心區發生脆性剪切破壞.鋼纖維能有效提高混凝土的劈裂抗拉強度、延性和黏結性能，其在混凝土基體中的橋聯作用能有效抑制裂縫的發展，顯著提高混凝土的抗裂、抗剪能力，故計算其受剪承載力時鋼纖維的貢獻不容忽視［2-3］.此外，針對鋼纖維混凝土梁柱節點的研究多集中于抗震性能方面，對其承載力計算方法的研究相對較少.同時，我國設計規范中節點承載力計算公式為基于試驗數據的半經驗公式，缺乏合理的理論模型支持.因此，探討鋼纖維混凝土梁柱節點受剪承載力增強機理，基于理論模型建立其節點核心區受剪承載力計算方法，有重要的理論意義和實用價值.

軟化拉-壓桿模型（softened strut-and-tie model，SSTM）用于梁柱節點受剪承載力計算的適用性已為多數研究所證實［4-6］.SSTM是在拉-壓桿模型的基礎之上發展而來，其可綜合考慮節點核心區靜力平衡條件、本構關系、變形協調條件以及混凝土受壓開裂后的軟化特性，但計算節點核心區受剪承載力時需要繁冗的迭代［7］.因此，Hwang 等［6］通過引入反映拉-壓桿對抗剪強度存在貢獻的拉-壓桿系數K對SSTM 進行了簡化，得到該模型的簡化算法.簡化拉-壓桿模型中斜壓桿傾角僅根據節點的幾何尺寸確定，然而斜壓桿傾角亦會受到軸壓比的影響［7］，故需通過修正斜壓桿傾角的計算公式對簡化拉-壓桿模型進行改進.同時，采用改進后的簡化拉-壓桿模型計算纖維混凝土梁柱節點受剪承載力的適用性還需進一步的研究.

鑒于此，本文針對節點受力特性，考慮軸壓比對混凝土斜壓桿傾角的影響，修正斜壓桿傾角計算公式，并基于剪滯模型建立裂縫面單位面積纖維拉應力計算公式，從而建立適用于鋼纖維混凝土梁柱節點受剪承載力計算的改進簡化拉-壓桿模型.采用改進簡化拉-壓桿模型、簡化拉-壓桿模型對36 個鋼纖維混凝土梁柱節點的受剪承載力進行計算，并對比分析改進簡化拉-壓桿模型的準確性以及適用性.

1 纖維混凝土梁柱節點受剪機理

梁柱節點受剪機理及軟化拉-壓桿模型如圖1所示.在地震荷載作用下，節點核心區承受著壓、彎、剪的復合作用，受力機制復雜，如圖1（a）所示。中柱節點在梁端彎矩Mb、Mb' 和柱端彎矩Mc、Mc' 的作用下產生的混凝土壓應力Cbc、C'bc、Ccc、C'cc和鋼筋壓應力Cbs、C'bs、Ccs、C'cs通過混凝土與鋼筋之間所產生的黏結力傳遞到節點核心區，從而形成斜向機構，如圖1（b）所示.

圖1 節點傳力機理Fig.1 Shear transfer mechanism of joints

加載初期，核心區混凝土形成的斜向機構是主要抵抗剪力的部分.相對于普通混凝土試件而言，纖維混凝土試件的抗拉強度較高，初始裂縫出現較晚，初始裂縫的出現主要是斜向拉力大于纖維混凝土抗拉強度引起的.隨著水平位移的繼續加載，核心區產生多條剪切裂縫，混凝土斜壓桿的作用逐漸退化，節點剪力主要由箍筋和纖維形成的水平拉桿［圖1（c）］以及垂直鋼筋和纖維形成的豎向拉桿承擔［圖1（d）］.加載后期，由纖維混凝土的殘余抗拉強度、裂縫間混凝土的摩阻力和縱筋銷栓作用承擔斜向壓力.因此，鋼纖維混凝土梁柱節點的受剪機理可用軟化拉-壓桿模型描述，其所承擔的剪力可認為是斜向機構、水平抗力機構和豎向抗力機構疊加所得.

2 簡化拉-壓桿模型方法簡述

2.1 斜壓桿有效面積

按SSTM 的定義，斜壓桿傾角θ基于幾何關系的假定根據梁、柱截面最外側縱向鋼筋軸線間距離計算［7］：

式中：h'b為梁截面最外側縱向鋼筋軸線間距離；h'c為柱截面最外側縱向鋼筋軸線間距離.

斜壓桿有效面積Astr取為

式中：as為斜壓桿高度；bs為斜壓桿寬度.根據《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）［8］，當bb≥bc∕2時，取bs=bc；當bb＜bc∕2 時，取bs=min{bc，(bb+0.5hc)}，bb和bc分別為梁、柱截面寬度，hc為柱截面高度.

梁截面受壓區高度ab可根據下式計算：

式中：As為梁下部縱向受拉鋼筋截面面積；fy為梁下部縱向受拉鋼筋屈服強度；fc' 為混凝土圓柱體抗壓強度；β1為受壓區等效矩形應力圖系數，根據《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）取值［8］.

柱截面受壓區高度ac可根據下式計算：

式中：N為柱上端軸壓力；Ag為柱毛截面面積.

2.2 力的平衡方程

圖2所示為框架節點拉-壓桿模型，Vjh和Vjv分別為節點水平剪力和豎向剪力，由力的平衡可得：

圖2 拉-壓桿模型Fig.2 Strut-and-tie model

式中：D為混凝土斜壓桿壓力；Fh為水平拉桿拉力；Fv為豎向拉桿拉力.

節點剪力由斜壓桿機構、水平機構及豎向機構按一定比例分擔，故需確定其中的比例關系.根據Schafer［9］提出的抗剪機構剪力分配原則，三種抗力機構分配比例為：

式中：Rd、Rh、Rv分別為斜向機構、水平機構和豎向機構所承擔的核心區剪力比例；γh為水平拉桿拉力與節點水平剪力的比值，取γh=(2tanθ-1) ∕3；γv為豎向拉桿拉力與節點豎向剪力的比值，γv=(2cotθ-1) ∕3.

節點核心區箍筋配置較少時，箍筋屈服之后節點核心區混凝土才發生剪切破壞，即水平拉桿屈服后，框架節點仍能繼續抵抗剪力作用，因此應以混凝土達到極限抗壓強度作為節點剪切破壞的判別標準.圖3 為框架節點拉-壓桿內力分析，節點發生剪切破壞時，由斜向壓桿、平緩壓桿以及陡峭壓桿共同承受的節點核心區最大壓應力σd，max為：

圖3 框架節點拉-壓桿內力分析Fig.3 Force analysis of strut-and-tie in frame joint

式中：θh為平緩壓桿與水平軸向的夾角；θv為陡峭壓桿與水平軸向的夾角.

2.3 本構關系及變形協調

基于熊學玉等［7］建議的開裂混凝土受壓應力-應變表達式，引入實測的混凝土特征值，開裂混凝土的本構關系為：

式中：σd為混凝土在d向上的主應力；ζ為混凝土軟化系數；εd、εr分別為混凝土主壓應變和主拉應變；ε0為混凝土峰值應變，其可通過下式計算［6］：

當混凝土開裂強度-σd大于節點區極限抗壓強度ζfc'，此時可認為節點的抗剪強度將繼續增大，至兩者相等為止，此時混凝土的應力需滿足：

鋼筋應力-應變關系可表示為：

式中：Es為鋼筋彈性模量；fs、εs分別為鋼筋應力和應變；fy為鋼筋屈服強度.

根據應變協調條件，各應變應滿足：

式中：εh、εv分別為水平和豎直方向的平均應變.

2.4 拉-壓桿系數K

由于紊亂區有拉桿存在，斜向受壓除通過斜壓、水平及豎向機構中的壓桿傳遞外，拉桿對混凝土的約束作用使更多混凝土參與斜向受壓，從而使更多的核心區混凝土參與抗剪.通過系數K表示拉桿的增強作用，其可表示為：

相應地，此時節點核心區的抗剪強度可表示為［10］：

當節點中僅存在斜向機構時，Kd=1.當節點中配置水平箍筋未配置柱中間筋，即僅存在水平機構和斜向機構時：

此時水平拉桿拉力為：

當節點中僅存在豎向機構和斜向機構時：

此時豎向拉桿拉力為：

當節點中同時存在斜向機構、豎向機構及水平機構時：

為簡化分析及計算過程，系數K可被近似為：

需要注意的是，式（24）和式（26）的水平和豎向拉桿拉力計算值適用于節點發生剪切破壞時拉桿均恰好屈服.當試件超筋時，拉桿拉力仍按式（24）和式（26）計算；當試件少筋時，則按下式計算：

此時，拉-壓桿系數K應表示為：

綜上所述，混凝土梁柱節點水平受剪承載力可按下式計算：

3 改進簡化拉-壓桿模型

3.1 斜壓桿傾角計算公式的改進

斜壓桿傾角對梁柱節點水平剪力預測結果敏感.不同斜壓桿傾角角度時，3 種機構承擔剪力比例如圖4 所示.當斜壓桿傾角為45°時，混凝土斜壓桿能夠以最高效率傳遞水平剪力；而當斜壓桿傾角大于63.5°時，豎向機構和斜向機構均無法傳遞水平剪力，全部剪力由水平箍筋承擔.

圖4 不同機構剪力分配比例Fig.4 Ratios of shear force distribution mechanisms

隨著軸壓比的增加，節點柱端受壓區的高度也隨之增加，這將導致混凝土斜壓桿的面積增大，從而提高節點的受剪承載力.同時，當軸壓比大于0.1時，會改變節點核心區的主應力方向，使得核心區斜裂縫與水平夾角變得更加陡峭［5］.然而，式（1）斜壓桿傾角計算公式僅根據節點的幾何尺寸確定，忽略了軸壓比的影響，故應對斜壓桿傾角的計算公式進行修正.

圖5 為斜壓桿傾角θ計算簡圖，軸壓比不大于0.1 時，根據梁、柱截面最外側縱向鋼筋軸線間距離確定斜壓桿傾角，如圖5（a）所示；軸壓比大于0.1時，以混凝土受壓應變圖形形心位置作對應柱水平線的平行線與梁截面最外側縱向鋼筋軸線形成交點，交點連線與水平線的夾角為斜壓桿傾角，此時斜壓桿傾角增大，故計算軸壓比較大時的斜壓桿傾角時，需根據截面受壓區高度確定，如圖5（b）所示.因此，當軸壓比不大于0.1時仍按照式（1）計算θ，當軸壓比大于0.1時，考慮軸壓比對斜壓桿傾角的影響取θ為：

圖5 斜壓桿傾角Fig.5 The angle of strut inclination

圖6 為軸壓比對斜向機構傾角的影響.由圖可知，軸壓比對斜向機構傾角的影響顯著，不可忽視.因此，計算斜壓桿傾角時考慮軸壓比的影響更為合理.所收集數據的試件均為節點核心區破壞嚴重，斜裂縫發展明顯.因此，斜向機構傾角應較為接近45°，混凝土斜壓桿能夠以較高的效率傳遞水平剪力.與簡化拉-壓桿模型計算結果對比，改進簡化拉-壓桿模型計算結果向45°靠攏，說明斜壓桿在傳遞剪力方面承擔了更大的作用，是主要的剪力傳遞機制，更合理地反映了節點破壞機理.

圖6 軸壓比對斜向機構傾角的影響Fig.6 Effect of axial force ratio on angle of diagonal strut

3.2 拉-壓桿系數K的改進

3.2.1 纖維作用考慮

纖維的存在提高了混凝土的抗拉強度，同時跨越裂縫兩側纖維的橋接作用提高了鋼筋的銷栓作用，且在混凝土開裂后存在殘余拉應力參與抗剪［1］，因此應考慮纖維對節點受剪承載力的有利作用.此時，對于纖維混凝土梁柱節點而言，根據式（29）及式（30）計算拉-壓桿系數K已不適用，橋接在主斜裂縫兩側的纖維可被視為加強筋，沿水平向和豎向提供拉力，因此需要考慮纖維的增強作用.

考慮纖維增強作用后，水平和豎向拉桿拉力應表示為：

式中：Ffh、Ffv分別為跨越主斜裂縫的纖維沿水平方向和沿豎直方向的有效拉力.

Ffh、Ffv可根據裂縫面單位面積的纖維拉應力σsf及主斜裂面投影在水平向面積Afh和豎向面積Afv確定：

式中：Vf為纖維體積率；A為主斜裂縫面面積，取A≈

將式（29）及式（30）中的Fh' 和Fv' 替換為式（34）及式（35），即可得到適用于纖維混凝土梁柱節點的拉-壓桿系數K.

3.2.2 纖維拉應力值σsf確定

纖維混凝土承受拉力時，由于纖維在混凝土中呈三維亂向分布，多數纖維方向與軸向拉力不一致，故存在纖維在混凝土基體中的隨機取向特性.以x軸方向為受力方向，每根纖維與x軸方向的夾角為θf，其中θf在0°～90°之間，如圖7 所示.采用纖維取向系數ηθ考慮纖維取向隨機性對抗拉強度的影響.研究表明［11］，傾角超過75°的纖維不能發揮其對裂紋的橋接性能，因此纖維有效角度范圍為0°～75°.裂紋截面法線方向和纖維軸向之間的纖維傾角的概率密度函數可表示為：

圖7 纖維的取向Fig.7 The orientation of fiber

式中：P(θf)為纖維傾角的概率密度函數；A0為由纖維可能位置組成的半球面積；dA0為dθf對應的區域內球面面積；θfmin、θfmax分別為最小和最大纖維傾角，最小纖維傾角取0°，最大纖維傾角取75°.

根據纖維有效角度范圍，纖維取向系數可表示為：

纖維的橋接效應作用于混凝土基體開裂處，而纖維在混凝土裂縫處法向方向承受拉伸應力.因此，纖維在基體中的隨機取向可以用纖維取向系數ηθ簡化為定向取向.纖維在裂縫處法向方向的投影長度被視為纖維有效長度，并如圖8所示進行計算.

圖8 纖維有效長度示意圖Fig.8 Schematic diagram of the fiber equivalent length

式中：lf、Lf分別為裂紋處的纖維有效長度和實際長度.

混凝土基體開裂過程中，開裂表面纖維較長一側保持完全黏結，較短一側逐漸脫離黏結.這是由于較長的纖維段比較短的纖維段有更強的黏結阻力.因此，將纖維嵌入長度le定義為纖維等效長度中較短的嵌入段，如圖9所示.

由于纖維在澆注過程中完全混合，纖維嵌入長度從le-min=0至le-max=lf∕2呈均勻分布.le在統計上服從均勻分布.le可表示為：

由于當纖維傾斜角度超過75°時，纖維不能發揮其對裂紋的橋接性能，因此計算裂縫處纖維總數時需考慮裂縫處纖維數系數ηN，該系數為對應于纖維有效傾角區域的球面面積與半球面面積之比，ηN計算式為：

裂縫面單位面積有效纖維數量可由式（43）計算：

式中：N為裂縫面單位面積有效纖維數量；Vf為纖維體積率；Af為纖維的截面面積.

對纖維混凝土中開裂面上的單根纖維取隔離體，如圖10 所示，基于應力的平衡，采用剪滯模型［12］如式（44）：

圖10 纖維隔離體上的應力分布Fig.10 The stresses of the free-body in the fiber

式中：σf為裂縫面單根纖維拉應力；τf為纖維與基體之間的有效剪應力.

考慮纖維在混凝土開裂面上部分脫黏情況，纖維混凝土界面剪應力可表示為［12］：

式中：τmax為纖維混凝土界面平均最大剪應力，τmax=為鋼纖維形狀系數，帶端鉤鋼纖維取0.8，波紋形鋼纖維取0.6，平直鋼纖維取0.4，fc為鋼纖維混凝土軸心抗壓強度；smax為纖維部分脫黏情況下最大滑移量；sf為纖維拔出過程中纖維與基體的滑移位移，取sf=w，w為混凝土裂縫寬度，w=εrsθ，sθ為纖維混凝土梁柱節點核心區裂縫平均間距，sθ=為x和y向的裂縫平均間距，其取值參考文獻［14］.

當w＞smax時，可認為纖維與混凝土完全脫黏，smax可按式（46）計算：

式中：Ef為纖維彈性模量；Pmax為單根纖維拔出力；x為從開裂面到纖維埋深末端的距離，如圖11所示.

圖11 混凝土單元中纖維埋深Fig.11 Fiber embedded in concrete element

由式（44）、式（45）及式（46）可推導出裂縫面單根鋼纖維拉應力：

在單根纖維拉應力基礎上，考慮穿過單位裂縫面纖維數量及纖維取向特性，即可得到裂縫面單位面積的纖維拉應力：

4 模型驗證

為驗證改進簡化拉-壓桿模型的正確性，通過式（32）對文獻［5，15-21］36 個節點核心區破壞試件的受剪承載力進行了計算，同時與試驗結果以及簡化拉-壓桿模型計算結果進行對比分析，節點信息及計算結果如表1所示.由表1可知，采用改進簡化拉-壓桿模型、簡化拉-壓桿模型的試驗值與計算值之比的平均值分別為1.01、1.05，變異系數分別為0.04、0.09.兩模型受剪承載力試驗值與計算值比值平均值均大于1，其中改進簡化拉-壓桿模型的預測精度較高，離散性較?。缓喕?壓桿模型預測精度亦較好，但離散性大于改進簡化拉-壓桿模型.

表1 梁柱節點受剪承載力試驗值與計算值對比Tab.1 Comparison of shear capacity of beam-column joints between experimental and theoretical values

兩模型受剪承載力的試驗值和計算值的對比如圖12 所示.由圖可知，改進簡化拉-壓桿模型、簡化拉-壓桿模型具有比較明確的物理模型，考慮了3 種機構對節點抗剪的貢獻，考慮因素較為全面，減小了計算結果的變異性.與簡化拉-壓桿模型相比，改進簡化拉-壓桿模型考慮了軸壓比的影響，對斜壓桿傾角的計算公式進行了改進，因此預測精度更高，離散性更小.

圖12 兩模型試驗值與計算值對比Fig.12 Comparison of joint shear strength prediction with experimental results of two models

圖13 為軸壓比、混凝土強度對核心區剪切破壞節點受剪承載力計算結果的影響分析.由圖13（a）可知，與簡化拉-壓桿模型相比，改進簡化拉-壓桿模型隨軸壓比的變化，試驗值與計算值的比值仍在1 附近，說明該模型能較準確考慮軸壓比的影響，預測精度更高.由圖13（b）可知，改進簡化拉-壓桿模型對不同混凝土強度的節點受剪承載力預測均較為接近試驗值，且整體計算離散性較為一致.

圖13 軸壓比、混凝土強度的影響Fig.13 Effect of column axial ratio and concrete compressive strength on joint shear strength

5 結論

1）考慮軸壓比增加會使核心區斜裂縫與水平方向夾角變陡，本文通過節點柱端受壓區高度，修正了混凝土斜壓桿傾角的計算公式，進而建立了改進簡化拉-壓桿模型用于預測纖維混凝土梁柱節點受剪承載力.

2）在單根纖維拉應力基礎上，考慮穿過單位裂縫面纖維數量及纖維取向特性，建立了裂縫面單位面積的纖維拉應力計算公式。

3）采用本文所建立的改進簡化拉-壓桿模型對36 個鋼纖維混凝土梁柱節點受剪承載力進行了計算，并與采用簡化拉-壓桿模型計算的節點受剪承載力進行對比，改進簡化拉-壓桿模型、簡化拉-壓桿模型試驗值與計算值之比平均值分別為1.01、1.05，變異系數分別為0.04、0.09，說明改進簡化拉-壓桿模型的預測精度更高，離散性更小，可精確地預測鋼纖維混凝土梁柱節點受剪承載力.