誤入歧途的滑動摩擦力求解

■北京市平谷區北京實驗學校 郭峰亭

“滑動摩擦力的大小與壓力的大小成正比,方向總是沿著接觸面,且與物體相對運動的方向相反”是求解滑動摩擦力的依據。當物體在接觸面上的運動在一維空間內時,根據運動的相對性,可以比較直觀地判斷出滑動摩擦力的方向。但當物體在接觸面上的運動拓展到了二維空間內時,有的同學就會因對“滑動摩擦力的方向與物體相對運動方向相反”的理解不夠深刻,或對參考系的選取與置換、運動的合成與分解、力的合成與分解、力和運動的關系等基本物理概念和規律的理解不夠深入,而錯誤求解滑動摩擦力。下面探尋一道易錯題常見錯解的成因,幫助同學們加深對相關知識的理解。

例題 如圖1所示,一方形木板放置在水平地面上,在木板的上方有一條狀豎直擋板,擋板的A、B兩端固定在水平地面上,擋板與木板之間并不接觸。現有一方形物塊在木板上沿擋板以某一速度v從A端向B端運動,同時木板以相等大小的速度向左運動,木板的運動方向與擋板垂直,已知物塊與豎直擋板和水平木板間的動摩擦因數分別為μ1和μ2,物塊的質量為m,則豎直擋板對物塊的摩擦力大小為多少? 沿擋板以多大的力F拉物塊才能使它維持這樣的運動?

圖1

解題思路:分析物塊相對于木板的運動情況,根據摩擦力公式求出摩擦力的大小,根據摩擦力的性質判斷木板對物塊的摩擦力方向;分析物塊相對于擋板的運動情況,求出壓力大小,根據摩擦力公式求出擋板對物塊的摩擦力大小;利用平衡條件,求出沿擋板需要以多大的力F拉物塊才能使它維持這樣的運動。解答本題的關鍵是要正確求解木板對物塊的摩擦力。

誤解一:木板向左運動,物塊相對木板向右運動,物塊受到木板對它的垂直于擋板向左的摩擦力f2=μ2mg,此摩擦力充當物塊對擋板的壓力N1,因此物塊受到擋板對它的摩擦力f1=μ1N1=μ1f2=μ1μ2mg。

診斷分析:對“滑動摩擦力與物體相對運動的方向相反”的內涵理解不夠深刻,思維還過多依靠熟悉的一維空間模型,沒有掌握二維空間內相對運動中滑動摩擦力方向的判定方法。相對運動是指受到滑動摩擦力的物體(受力物體)相對于施加這一滑動摩擦力的物體(施力物體)的運動。相對運動方向是指以施力物體為參考系,受力物體的運動方向。根據“滑動摩擦力與物體相對運動的方向相反”可知,要判斷滑動摩擦力的方向,就必須先判斷相對運動的方向,而判斷相對運動的方向,就必須選取施力物體為參考系,分析受力物體的運動情況。本題中,判斷物塊受到木板對它的摩擦力方向,應以木板為參考系,分析物塊相對于木板的運動方向,從而確定滑動摩擦力的方向。因為物塊與木板的運動已不再是一維空間內的運動,物塊相對于木板參與了兩個方向的分運動,所以相對運動方向應是這兩個分運動的合運動方向。誤解一的求解過程中未考慮物塊沿擋板方向的分運動。

誤解二:以木板為參考系,物塊同時參與水平向右和沿擋板從A端向B端兩個方向的分運動,因此物塊在這兩個分運動方向上受到的滑動摩擦力大小均為μ2N2=μ2mg,方向與對應分運動方向相反。將這兩個力合成(平行四邊形法則)得到物塊所受滑動摩擦力大小f2= 2μ2mg,方向與擋板成45°角。

診斷分析:誤解二的求解過程中認為物塊在兩個分運動方向上都要受到滑動摩擦力,且滑動摩擦力的大小均為μ2mg,說明對滑動摩擦力、運動與力的關系、力的合成與分解等知識理解不到位。矢量的合成與分解是為了研究問題的方便而引入的一種等效方法,雖然物塊有水平向右和沿擋板從A端向B端兩個方向的速度分量,但是物塊相對于木板的實際運動方向只有一個,即兩個分速度的矢量和的方向。滑動摩擦力只是在阻礙物塊真實的相對運動,所以物塊受到的滑動摩擦力也只有一個,其方向與合速度的方向相反,大小f=μ2N2。而兩個分運動方向上的滑動摩擦力是按照滑動摩擦力的作用效果分解的力,它們是虛設的等效力(效果力),并非是真實存在的性質力。

正確解答:分析物塊相對于木板的運動情況,求解木板對物塊的滑動摩擦力f2。如圖2所示(俯視圖),以木板為參考系,將以地面為參考系的物理量(速度、加速度),置換為以木板為參考系的物理量(速度、加速度)。根據參考系的置換方法,物塊的速度減去木板的速度就是物塊相對于木板的速度(矢量相加減)。因為物塊的速度為v(沿擋板從A端到B端),木板的速度為v(水平向左),以木板為參考系,物塊除沿擋板方向的分速度v之外,還要疊加一個水平向右的分速度v,所以相對運動方向是兩個分速度矢量和v相對的方向。因為兩個分速度大小相等,所以物塊相對木板的速度方向與擋板成θ=45°角。根據“滑動摩擦力與物體相對運動的方向相反”可知,物塊受到木板對它的滑動摩擦力方向與合速度v相對共線且方向相反,大小f2=μ2N2=μ2mg(N2是物塊對木板的壓力,數值上等于物塊的重力)。將滑動摩擦力f2按作用效果分解為沿擋板和垂直于擋板兩個方向的分力f//和f⊥,則f⊥的作用效果是阻止物塊向右滑動,或者說使物塊有向左運動的趨勢,又因擋板固定不動,所以物塊壓緊擋板,擋板給物塊一個壓力N1,且N1=。所以擋板對物塊的滑動摩擦力大小,方向沿擋板從B端向A端。

圖2

分析物塊沿擋板方向的受力情況,物塊受到木板對它的滑動摩擦力沿擋板方向的分量f//=f2cosθ、擋板對它的滑動摩擦力f1和沿擋板的拉力F,在這三個力的作用下,物塊沿擋板方向做勻速直線運動,根據平衡條件得F=f1+f2cosθ,解得=

點評:深入理解“滑動摩擦力與物體相對運動的方向相反”的內涵,恰當選擇參考系并進行正確置換,深刻領會運動的合成與分解、力的合成與分解、力和運動的關系等基本物理概念和規律,掌握好摩擦力的性質(相對性、唯一性),把握好滑動摩擦力方向的判定、大小的計算,這樣無論是在一維空間內,還是在二維空間內,甚至是在三維空間內,都能正確求解滑動摩擦力相關問題,避免誤入歧途。

如圖3 所示,生產車間有兩個相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙,傳送帶甲的速度為v0。質量為m的工件離開傳送帶甲前與甲的速度相同,并平穩地傳到傳送帶乙上,工件與傳送帶乙間的動摩擦因數為μ,傳送帶乙的寬度足夠大,重力加速度為g。

圖3

(1)若傳送帶乙保持靜止,求工件在傳送帶乙上滑行的距離x0。

(2)若傳送帶乙的速度也為v0,求:

①工件在傳送帶乙上的運動軌跡。

②工件在傳送帶乙上滑行的距離s。

③工件在傳送帶乙上滑行的過程中產生的熱量Q。