巧用等效變換法尋找復合場中的等效重力

■江西省宜春中學 鄧子剛

等效變換法是科學研究中常用的思維方法之一,其本質是在確保效果相同的前提下,將抽象、復雜的情境化問題轉換成直觀、簡單的常見模型,達到突出主要因素,顯現問題本質的目的。當我們遇到一些涉及多個物體、多個力作用、多個運動過程的復雜物理情境問題時,如果能夠找到等效的物理模型,將復雜問題簡單化,那么就可以達到事半功倍的效果。下面以尋找帶電物體在重力場和勻強電場共存的復合場中的等效重力為著力點,探尋利用等效變換法求解物理問題的技巧,供同學們參考。

一、無約束帶電物體所受等效重力

因為電場與重力場的性質具有一定的相似性,所以當一個帶電物體處在重力場和勻強電場共存的區域內時,可以先將二者的疊加場等效為一個重力場,將物體受到的重力和靜電力的合力視為等效重力,再采用我們所熟悉的物體在重力場中的運動規律進行分析與求解。

例1如圖1 所示,空間內分布著沿水平方向的勻強電場,圖中五條虛線表示等間距的勻強電場的等勢面,其電勢如圖中標注。一帶電油滴以與水平方向成α角的初速度v0從A點射入電場,沿與初速度v0方向相同的直線(實線)運動至B點后再返回至A點。

圖1

(1)判斷油滴所帶電荷的電性。

(2)若當地重力加速度為g,求油滴從A點運動至B點再返回A點的過程中所用的時間。

解析:若油滴自身重力可以不計,則油滴將做曲線運動。因此油滴自身重力不可忽略,且重力場和勻強電場疊加后的等效重力場的重力加速度g′與AB連線在同一條直線上。

(1)根據圖中所標數據可知,勻強電場水平向右。因為油滴從A點運動至B點,速度減小,動能減小,電勢能增大,所以油滴所受靜電力做負功,油滴帶負電。

(2)類比物體在重力場中的運動情況可知,油滴沿AB連線做豎直上拋運動,根據豎直上拋運動規律可得,油滴從A點拋出至返回拋出點所用的時間,其中g′=,解得

點評:利用等效重力場,可以把復雜的疊加場變成簡單的單一場,將陌生的問題轉化為我們所熟悉的重力場中的問題,從而簡化解題過程,提高解題效率。

二、輕繩約束下帶電物體所受等效重力

輕繩約束下的帶電物體在重力場和勻強電場共存的復合場中運動時,物體可能受到重力、靜電力和輕繩拉力的作用,其中重力和靜電力的大小和方向均保持不變,可以將二者的合力視為等效重力,輕繩松弛時對物體的作用力為0,輕繩繃緊時對物體產生拉力。

例2如圖2 所示,在豎直平面內分布著水平向右的勻強電場,電場強度E=1×104N/C,一質量m=0.04 kg,帶電荷量q=3×10-5C 的 小 球,用 長l=0.4 m 的細繩懸掛在O點,取重力加速度g=10 m/s2。

圖2

(1)當小球處于平衡狀態時,求輕繩偏離豎直方向的角度α。

(2)若使小球能夠在豎直平面內做完整的圓周運動,則在平衡位置至少應以多大的線速度釋放小球?

(2)類比物體在重力場中的運動情況可知,小球在等效重力場中做圓周運動時,等效最低點是平衡位置A,等效最高點是過O點與豎直方向成α=37°角的直徑AB的端點B,如圖3所示。設小球到達等效最高點B時的最小速度為v,根據,解得v= 5 m/s。在小球從A點運動到B點的過程中,根據動能定理得,解得小球從A點釋放時的最小速度v0=5 m/s。

圖3

點評:輕繩約束下帶電物體在復合場中做圓周運動時,雖然帶電物體的受力分析中多了一個輕繩的拉力,但是求解策略依然是先將重力場和勻強電場的疊加場等效為一個重力場,再采用重力場中物體的運動規律求解相關問題。

三、軌道約束下物體所受等效重力

軌道約束下的帶電物體在重力場和勻強電場共存的復合場中運動時,物體可能受到重力、靜電力和軌道彈力的作用,其中重力和靜電力的大小和方向均保持不變,可以將二者的合力視為等效重力,單側外軌道對帶電物體提供指向圓心的彈力,單側內軌道對帶電物體提供背離圓心的彈力。

例3如圖4 所示,水平軌道AB與半圓形軌道BCD相切于B點,半圓形軌道BCD的半徑為R,固定在豎直平面內,軌道表面均光滑絕緣。在豎直平面內分布著水平向右的勻強電場,電場強度一質量為m,帶電荷量為+q的小球,從距離B點為處的M點以一定的初速度v0沿水平方向向左運動,經過B點后恰能運動至半圓形軌道的最高點D。已知重力加速度為g。

圖4

(1)求小球的初速度v0。

(2)小球從軌道最高點D拋出后落在水平軌道上的N點(圖中未標出),求小球落點N到B點間的距離x。

點評:軌道約束下帶電物體在復合場中做圓周運動時,帶電物體的受力分析中多了一個軌道彈力,先將重力場和勻強電場的疊加場等效為一個重力場,再采用重力場中物體的運動規律求解相關問題,依然可以達到簡化解題步驟,化難為易的效果。