例析帶電粒子在勻強磁場中的臨界問題

■重慶市第四十九中學 廖華英

帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動,當題目中出現“恰好”“最大”“最小”“至少”等詞語時,往往意味著存在臨界現象。求解帶電粒子在勻強磁場中的臨界問題,首要任務是借助軌跡圓半徑R和速度v(或磁感應強度B)之間的約束關系進行動態分析,確定粒子運動軌跡和磁場邊界(或磁感應強度B)的關系,找出臨界狀態。下面以兩類常見臨界問題為例,闡述解題策略,供同學們參考。

類型一:求解磁場約束條件的臨界問題

這類問題主要解決的是欲使帶電粒子完成規定要求的磁約束,需要滿足的磁感應強度的最值或磁場區域的最小面積等問題。

例1如圖1 所示,坐標系Oxy所在空間區域內分布著垂直于紙面向內的勻強磁場,在原點O處有一放射源,它可以在紙面內向四周均勻地發射質量為m,帶電荷量為+q,速率均為v0的粒子。厚度不計的豎直擋板MN放置在原點O左側,擋板與x軸的交點為O′,在紙面內擋板兩端點M、N與原點O恰好構成等邊三角形。已知擋板兩端點M、N間的距離為L,不計粒子自身重力及粒子間的相互作用。

圖1

(1)要使所有粒子都不能打到擋板上,求磁感應強度的最小值。

(2)要使有粒子打到擋板的左側,求磁感應強度的最大值。

解析:因為△OMN為邊長為L的正三角 形,所 以O、O′兩 點 間 的 距 離LOO′=。設磁感應強度為B,粒子的軌跡圓半徑為r,根據洛倫茲力提供向心力得,解得。因為放射源發射的粒子的質量均為m,帶電荷量均為+q,速率均為v0,所以所有粒子的軌跡圓半徑r只與磁感應強度B有關,且磁感應強度B越大,軌跡圓半徑r越小。

(1)要使所有粒子都不能打到擋板上,則需從放射源沿y軸正方向射出的粒子的軌跡圓在擋板所在位置右側。畫出粒子在磁場中的運動軌跡的動態圓,如圖2所示,其中與擋板相切于O′點的軌跡圓的半徑最大。根據幾何知識可知,最大軌跡圓半徑,最小磁感應強度

圖2

(2)要使有粒子打到擋板的左側,則需擋板的兩端點M、N均位于從放射源沿y軸正方向射出的粒子的軌跡圓內部。畫出粒子在磁場中的運動軌跡的動態圓,如圖3所示,其中經過M、N兩點的軌跡圓的半徑最小。因為最小軌 跡 圓 的 內 接△OMN為 正 三 角形,所以最小軌跡圓半徑,最大磁感應強度

圖3

點評:本題考查帶電粒子在勻強磁場中的受約束運動。因為所有粒子的入射速度大小相同,所以粒子在不同磁感應強度的勻強磁場中的運動軌跡是一組放縮圓,在同一勻強磁場中的運動軌跡是一組半徑相同的旋轉圓。解答本題的關鍵是根據幾何知識判斷出粒子在不同磁感應強度的勻強磁場中運動時的軌跡圓與約束條件的關系。

例2在平面直角坐標系Oxy中,曲線y=x2

20位于第一象限的部分如圖4所示,第三象限內分布著方向豎直向上的勻強電場和垂直于紙面向里的勻強磁場(圖中未畫出),磁感應強度。在曲線上不同點以初速度v0向x軸負方向水平拋出質量為m,帶電荷量為+q的小球,小球下落過程中都會通過坐標原點,之后進入第三象限恰好做勻速圓周運動,并在做勻速圓周運動的過程中都能打到y軸的負半軸上。取重力加速度g=10 m/s2求:

圖4

(1)電場強度E的大小。

(2)小球的初速度v0。

(3)為了使所有的小球都能打到y軸的負半軸,所加勻強磁場區域的最小面積。

解析:(1)因為小球在第三象限內恰好做勻速圓周運動,所以在豎直方向上小球受力平衡,即mg=qE,解得E=0.1 N/C。

點評:本題中小球的重力不可忽略,但其重力與靜電力是一對平衡力,小球在第三象限內的運動相當于僅受洛倫茲力的勻速圓周運動。若小球的拋出點不同,則進入磁場時的速度方向與大小都將不同。解答本題的關鍵是通過分析得出所有的小球都是從y軸負半軸上同一點離開磁場區域的,這樣才能順利找到所加最小磁場區域的邊界。

類型二:求解帶電粒子初始運動條件的臨界問題

這類問題主要解決帶電粒子以怎樣的運動條件進入限定的有界磁場區域,使帶電粒子在有限的空間內發生磁偏轉,從規定的位置射出磁場區域。一般是求帶電粒子的初速度的大小范圍或運動時間的極值等。

例3如圖5所示,長度為L的水平兩極板間分布著垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應強度為B,兩極板間距也為L。初始狀態下,兩極板不帶電,質量為m,帶電荷量為-q的粒子從兩極板左側中點處以水平速度v垂直于磁感線射入磁場。不計粒子自身重力。欲使粒子打到極板上,求其初速度v的大小范圍。

圖5

圖6

點評:外界磁場區域范圍的限定,使得帶電粒子的初始運動條件有了相應的限制。求解本題的關鍵是要確定臨界狀態,找出臨界狀態下粒子運動軌跡的圓心,求出對應軌跡圓的半徑。

例4如圖7 所示,矩形區域abcd內分布著磁感應強度為B,方向垂直于紙面向里的勻強磁場,矩形區域的ad邊長為L,ab邊足夠長。現有一帶電粒子從ad邊的中點O以初速度v0垂直于磁感線射入磁場區域,已知粒子的質量為m,帶電荷量為q,初速度v0與直線Od間的夾角α=30°,不計粒子自身重力。

圖7

(1)若粒子能從ab邊射出磁場區域,求初速度v0的大小范圍。

(2)求粒子在磁場中運動的最長時間,以及在這種情況下粒子從磁場中射出時所在位置的范圍。

點評:根據速率可變的帶電粒子剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中的運動軌跡與邊界相切,可以確定粒子在磁場中的臨界運動軌跡;根據速率與軌跡半徑的關系,可以確定粒子初速度的大小范圍;根據粒子在磁場中的運動時間與軌跡圓所對圓心角的關系,可以求解運動時間的極值。