巧用拉密定理求解平衡問題

■河南省信陽市固始縣高級中學第一中學 謝長中

求解共點力作用下平衡問題的常用方法有力的合成與分解法、正交分解法、相似三角形法、輔助圓法,以及正弦定理法和余弦定理法等。應用這些方法求解平衡問題的前提條件是在完成正確的受力分析后準確作出力的平行四邊形或矢量三角形示意圖,這對同學們作圖能力的要求較高,求解過程也比較煩瑣。若應用拉密定理求解共點力平衡問題,則只需作出受力分析圖,根據力與夾角的數量關系列式求解即可,簡便易行。下面舉例說明,供同學們參考。

一、拉密定理的內容介紹

拉密定理的定義:當一個物體在三個共點力的作用下保持平衡時,其中任意一個力與另外兩個力夾角的正弦的比值都相等。

圖1

圖2

二、拉密定理的具體應用

1.應用拉密定理求解三力平衡問題。

例1如圖3所示,用細繩將一個重力mg=240 N 的水平圓筒懸吊并靠在墻壁上,細繩與墻壁間的夾角θ=30°,求墻壁和細繩對圓筒的作用力。

圖3

圖4

解析:選圓筒為研究對象,它受到重力mg、細繩的拉力T,墻壁的支持力N三個力的作用處于平衡狀態,如圖4 所示。根據拉密 定 理 得,解得T=160 3 N,N=80 3 N。

點評:本題是應用拉密定理求解三力平衡問題的典型案例,選圓筒為研究對象,作出受力分析示意圖,確定力和角的對應數量關系,直接列式求解即可。

例2如圖5 所示,一個半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O點為球心,碗的內表面及碗口是光滑的。一根細線跨過碗口,細線的兩端分別系有質量為m1和m2的小球。當它們處于平衡狀態時,質量為m1的小球和O點的連線與水平方向間的夾角α=60°。則兩小球的質量之比為( )。

圖5

圖6

答案:A

點評:本題中兩小球系在細線兩端跨放在碗口兩側構成連接體,需要先采用隔離法進行受力分析,再利用拉密定理列式求解。

2.應用拉密定理求解四力平衡問題。

例3如圖7所示,一質量m=2 kg的小球放在傾角α=30°的斜面AC和傾角β=60°的斜面BC之間,小球上端與天花板之間有一根原長l0=0.15 m 的彈簧,彈簧被壓縮到了0.1 m,彈簧的勁度系數k=1 000 N/m,取重力加速度g=10 m/s2,求兩斜面對小球的彈力。

圖7

圖8

點評:本題中小球受到的重力和彈簧的彈力方向相同,可以把這兩個的合力視為一個力,先將四力平衡問題轉化為三力平衡問題,再利用拉密定理列式求解。若物體受到的四個力都不共線,則可以先利用平行四邊形定則把其中的某兩個力合成為一個力,將四力平衡問題轉化為三力平衡問題,再利用拉密定理列式求解。

3.應用拉密定理求解動態平衡問題。

例4如圖9所示,輕繩ON的一端O固定,其中間某點M拴一質量為m的重物,用手拉住輕繩的另一端N。初始時,輕繩OM段豎直且MN段被拉直,OM段與MN段之間的夾角為α(α>90°)?，F將重物向右上方緩慢拉起,并保持夾角α不變。在輕繩OM段由豎直被拉到水平的過程中,分析輕繩MN段中和OM段中張力的變化情況。

圖9

圖10

解析:選重物為研究對象,它受到重力mg、輕繩OM段的拉力FOM、輕繩MN段的拉力FMN三個力的作用處于動態平衡狀態,如圖10所示。根據拉密定理得,因為重物的重力mg和角α均為定值,所以上述比例式的比值不變,設其比值為k,則FMN=ksinβ,FOM=ksinγ。在輕繩OM段由豎直被拉到水平的過程中,角β從180°減小到90°,角γ從小于90°增加到大于90°,因此FMN逐漸增大,且當角β等于90°時,FMN最大;FOM先增大后減小,且當角γ等于90°時,FOM最大。

點評:本題若用圖解法進行分析,則對畫動態分析圖的精確性要求較高,耗時較長。而先應用拉密定理得出力與角的數量關系,再根據三角函數的性質,就可以簡便準確地完成判斷。

1.如圖11 所示,一個質量為m的圓柱體放置在兩個傾角分別為α、β的斜面OA和OB之間,求兩斜面對圓柱體的支持力。

圖11

2.如圖12 所示,輕繩AC和BC的A、B端 分 別固定在天花板上,結點C拴接另一段輕繩CD,輕繩CD的D端系一個小球。小球在豎直面內繞結點C來回擺動,在小球擺動的過程中,輕繩AC和BC與天花板間的夾角α=60°、β=30°保持不變。當輕繩AC與BC的拉力相等時,輕繩CD與豎直方向間的夾角為多少?

圖12

3.如圖13 所示,質量為m的小木塊放在傾角為θ的固定斜面上,小木塊與斜面間的動摩擦因數,現用力F拉小木塊使之沿斜面向上勻速運動,當拉力F與斜面間的夾角α為多大時,拉力F有最小值?

圖13

4.如圖14 所示,傾角θ1=60°的光滑斜面OA固定在水平地面上,光滑擋板OB可繞轉軸O在豎直平面內轉動。現將一重力為G的圓球放在斜面與擋板之間,擋板與水平面間的夾角θ2=60°。若擋板從圖示位置沿順時針方向緩慢轉動60°,則圓球對擋板的壓力如何變化?

圖14

2.θ=15°。

3.當α=30°時,拉力F取最小值,且Fmin=mgsin(θ+β)。

4.圓球對擋板的壓力先減小后增大。