如何求最短運動時間

■上海師范大學附屬中學 張燕飛

最短運動時間問題是力學習題中較為常見的問題,遇到此類問題應該如何處理呢?下面總結了幾種常用方法,供同學們參考。

一、圖像法

圖像法能夠直觀、形象、簡潔地展現兩個物理量之間的關系,清晰地表達物理過程,正確地反映實驗規律。利用圖像法需要注意:(1)圖像坐標,弄清圖像反映了哪兩個物理量之間的關系,明確圖像坐標表示的物理量的單位;(2)圖像的變化,根據圖像的走向確定一個物理量隨著另一個物理量變化的趨勢;(3)圖像的斜率,根據斜率的數學定義k=和物理概念的定義確定圖像斜率的物理意義,如位移—時間圖像(不論直線、曲線)的斜率,根據速度的定義式可知,圖像上某一點的切線斜率等于這一時刻物體的瞬時速度,圖像上兩點連線的斜率表示這段時間內物體的平均速度;(4)截距,明確圖像與橫軸或縱軸交點坐標的物理意義,如在閉合電路中路端電壓隨電流的變化圖像中,縱軸截距表示電源的電動勢,橫軸截距表示短路電流;(5)面積,明確圖像與橫軸(縱軸)所圍圖形的面積的物理意義,如F-t圖像與橫軸所圍圖形的面積S=Ft表示力F在時間t內的沖量;(6)交點,當同一個坐標系中有兩個相交圖像時,交點坐標表示兩個過程中的共同的物理狀態,如兩個速度—時間圖像的交點坐標表示在這一時刻兩物體具有相同的速度,表示U=E-Ir和U=IR的兩個U-I圖像的交點坐標表示電阻為R的元件與電動勢為E、內阻為r的電源構成閉合回路時的工作狀態。

例1質點從甲地由靜止出發到乙地停下,加速過程與減速過程的加速度大小均為1 m/s2,已知甲、乙兩地相距100 m。求質點從甲地到乙地所用的最短時間。

解析:質點從甲地由靜止出發到乙地停下,若想質點的運動時間最短,則需利用圖像法分析質點的運動狀態。作出質點的v-t圖像如圖1所示,觀察圖像可以發現,通過相同的路程(v-t圖像與橫軸所圍圖形的面積相同),質點先做勻加速運動后做勻減速運動,所用的時間最短。質點在加速過程與減速過程中的加速度大小相同,根據對稱性可知,質點做勻加速運動和勻減速運動所用的時間均為,質點做勻加速運動產生的位移大小和做勻減速運動產生的位移大小相同,則x=,其中x=100 m,a=1 m/s2,解得t=20 s。

圖1

圖2

二、物理公式法

物理公式法是適用于大部分最短運動時間問題的求解方法。利用物理公式法需要注意:(1)過程分析,若沒有最大速度限制,則物體直接以最大加速度做勻加速運動;若有最大速度限制,則需先以最大加速度做勻加速運動達到某個速度(小于或等于最大速度),再以此速度做勻速運動;若要求到達目的地時的速度為零,則還需要以最大加速度做勻

例2豎井中的升降機可將地下深處的礦石快速運送到地面。某一豎井的深度為104 m,升降機運行的最大速度為8 m/s,加速度大小不超過1 m/s2。假定升降機到井口時的速度為0,求將礦石從井底提升到井口所用的最短時間。

例3要求摩托車由靜止開始在盡量短的時間內先走完一段直道,再駛入一段半圓形的彎道,但摩托車在彎道上行駛時車速不能太快,以免因離心作用而偏出車道。求摩托車在直道上行駛所用的最短時間。有關數據如表1所示。

表1

啟動加速度a1 4m/s____2制動加速度a2 8m/s___2直道最大速度v1 40m/s__彎道最大速度v2 20m/s___直道長度x 218m___

某同學的求解過程:要使摩托車在直道上行駛所用的時間最短,應使摩托車先由靜止加速到直道最大速度v1=40 m/s,再減速到彎道最大速度v2=20 m/s,則,總時間t=t1+t2。

你認為這位同學的解法是否合理? 若合理,請完成計算;若不合理,請說明理由,并用你認為正確的方法算出結果。

解析:這位同學的解法不合理。因為按這位同學的解法得t1=10 s,t2=2.5 s,摩托車做勻加速運動產生的位移200 m,做勻減速運動產生的位移x2=,總位移x=x1+x2=275 m>218 m,說明摩托車不能加速至達到最大速度,否則摩托車在駛入彎道時的速度將不能降至v2,會使摩托車在彎道行駛時因速度太大而偏出車道。

三、數學極值法

例4給房屋設計屋頂時,把屋頂設計成斜面,把雨水沿屋頂滑下的運動理想化為小球沿光滑斜面滑下的情形,為了使雨水盡快地沿屋頂滑下,則斜面的傾角應設計成多大? 這樣設計,雨水從屋頂滑到屋檐所用的時間為多少?

四、模型法

模型法是為了研究物理問題的方便,采取舍棄非本質因素而突出本質因素,通過抽象思維或形象思維,運用理想化、簡單化和類比等方法,建立描述某一物體或某一物理過程的理想模型的方法。運用模型法需要注意:(1)熟知常見模型,如研究對象模型有質點、輕桿、輕繩、彈簧振子、單擺、理想氣體、點電荷、理想電表、理想變壓器、勻強電場、勻強磁場、點光源、光線、原子等,運動模型有勻速直線運動、勻變速直線運動、勻速圓周運動、平拋運動、自由落體運動、豎直上拋運動、簡諧運動、簡諧波、彈性碰撞等,問題模型有連接體模型、斜面模型、碰撞模型、人船模型、彈簧振子模型、等時圓模型等;(2)明確每個模型的基本原理,明確模型中包含的基本概念和基本規律,領悟應用模型的關鍵,能夠根據題目的特點選擇合適的模型,而不能憑主觀臆想隨意構建模型,也不能為了追求物理問題的簡化而忽視了模型背后的理論依據;(3)明確需要解決的問題和研究對象,圍繞研究對象尋找已知條件和未知條件,在審清題意后,能夠將復雜的問題合理轉化成簡單的物理模型;(4)注意示意圖的合理運用,能夠利用示意圖描述物理對象之間的相互關系,并借助于文字說明將已知條件表示清楚。

例5如圖3 所示,AEC︵ 是一段半徑為2 m 的光滑圓弧,弧長為8 cm,且和水平面AB相切于A點。一個可視為質點的物體分別從C點沿光滑斜面CDA、沿圓弧CEA︵,以及從圓弧中點E滑至A點所用的時間依次為t1、t2、t3,求物體在這三種情況下的最短運動時間。

圖3

圖4

上述四種方法都適用于求最值問題,希望同學們能夠通過日常訓練,熟練掌握不同方法的具體應用技巧,總結解題規律,做到舉一反三。