計數原理單元測試卷(A 卷)

■河南省鄭州實驗高中 曲海勝

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.從4名男生與3名女生中選2人去參加一場數學競賽,則男女生各1 人的不同的選派方法數為( )。

A.7 B.12 C.18 D.24

2.2023年夏天貴州榕江的村超聯賽火爆全國,吸引了國內眾多業余球隊參賽。現有6 個參賽隊伍代表站成一排照相,其中貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰,同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰,那么不同的站法共有( )種。

A.144 B.72 C.36 D.24

A.14 B.15 C.13 D.12

4.北斗七星是夜空中的七顆亮星,我國漢代緯書《春秋運斗樞》就有記載,它們組成的圖形像我國古代舀酒的斗,故命名北斗七星。北斗七星不僅是天上的星象,也是古人藉以判斷季節的依據之一。如圖1 所示,用點A,B,C,D,E,F,G表示某一時期的北斗七星,其中B,D,E,F看作共線,其他任何3個點均不共線,過這7個點中任意2個點作直線,所得直線的條數為( )。

圖1

A.4 B.13 C.15 D.16

5.如圖2所示,古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界,畫出形狀相同的兩個陰陽魚,陽魚的頭部有個陰眼,陰魚的頭部有個陽眼,表示萬物都在相互轉化,互相滲透,陰中有陽,陽中有陰,陰陽相合,相生相克,蘊含現代哲學中的矛盾對立統一規律。由八卦模型圖可抽象得到正八邊形,從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構成四邊形,其中梯形的個數為( )。

圖2

A.16 B.20 C.24 D.28

A.-20 B.5 C.15 D.35

7.某學校派出5名教師去3所鄉村學校支教,其中有一對教師夫婦參與支教活動。根據相關要求,每位教師只能去1 所學校參與支教,并且每所學校至少有1 名教師參與支教,同時要求這對教師夫婦必須去同所學校支教,則不同的安排方案有( )。

A.18種 B.24種

C.36種 D.48種

8.中國南北朝時期的著作《孫子算經》中,對同余除法有較深的研究,設a,b,m(m＞0)均為整數,若a和b被m除得的余數相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡b(modm)。如9 和21 被6 除 得 的 余 數 都 是3,則記9≡21(mod6)。若a≡b(mod10),且,則b的值可以是( )。

A.2 019 B.2 020

C.2 021 D.2 022

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.下列結論正確的是( )。

11.2021年7月24日,中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》,要求各地區各部門結合實際認真貫徹落實。同年8月,國務院教育督導委員會辦公室印發專門通知,擬對各省“雙減”工作落實進度每半月通報一次。2021 年10 月,全國人大表示:“雙減”擬明確入法,避免加重義務教育階段學生負擔。2021年11月3日,市場監管總局等八部門發布《關于做好校外培訓廣告管控的通知》,堅決杜絕地鐵、公交站臺等所屬廣告牌、廣告位刊發校外培訓廣告。在“雙減”政策的推動下,某市教育局提出了教師輪崗制度,讓更多的學生享受到更好、更優質的師資,充分體現教育的公平性。現從該市某中學調8名不同科目的教師到另一所中學的4個不同班級任教,要求每個班級至少分配1名教師,至多分配3名教師,則( )。

B.有2個班級分配1 名教師,另2 個班級分配3名教師,有種分配方法

C.根據班級實際情況,(1)班需要1名教師,(2)班和(3)班均需要2名教師,(4)班需要3名教師,則有種分配方法

D.根據教學經驗分析,甲、乙、丙3 名教師分配到1 個班級才可達到教學效果最優,則有種分配方法

12.在某城市中,A,B兩地之間有如圖3所示的道路網,甲隨機沿道路網選擇一條最短路徑,從A地出發到B地,則下列結論正確的是( )。

圖3

A.不同的路徑共有31條

B.不同的路徑共有41條

C.若甲途經C地,則不同的路徑共有18條

D.若甲途經C地,且不經過D地,則不同的路徑共有8條

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分。)

13.已知(1-x)9+m(x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,若a9=a10,則a2=_____。

14.若(1-ax+x2)4的展開式中x5的系數為-56,則實數a=____。

16.已知a,b∈{-1,0,2,3},則關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解的有序數對(a,b)的個數為_____。

四、解答題(本題共6 小題,共70 分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(本小題10 分)電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環境下,中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰第一階段戰役的勝利,著名的“松骨峰戰斗”在該電影中就有場景。現有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片,他們的座位在同一排且連在一起。

(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種?

(2)女生互不相鄰的坐法有多少種?

(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種? (列出算式,并計算出結果)

18.(本小題12分)(1)解關于x的不等式Ax8＜6Ax-28。

19.(本小題12分)已知集合A={x|1＜log2x＜3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}。

(1)從A∪B中取出3 個不同的元素組成三位數,則可以組成多少個?

(2)從集合A中取出1 個元素,從集合B中取出3個元素,可以組成多少個無重復數字且比4 000大的正整數?

(1)求n和a的值。

(2)展開式中是否存在常數項? 若存在,求出常數項;若不存在,請說明理由。

21.(本小題12分)用1,2,3,4,5,6這6個數字,可以組成多少個無重復數字的:

(1)四位偶數?

(2)數字1、3、5互不相鄰的六位數?

(3)六位數? 其中數字6、4、1 按自左至右的順序保持不變(如634 512,562 431)。

注:所有結果均用數值表示。

22.(本小題12分)已知(a-2x)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,其中實數a＞0,且x2的系數為81 648。

(1)求實數a的值。

(2)計算:(ⅰ)(a0+a2+a4+a6+a8)·(a1+a3+a5+a7);

(ⅱ)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|。(結果用冪的形式表示)