基于關聯離散變量的鋼框架結構優化設計

葛曉凡 曲爽

(山東建筑大學土木工程學院，濟南 250101)

引言

自我國改革開放以來，城鎮化建設大多使用傳統的鋼筋混凝土結構，其在水泥和鋼材的耗費量以及建筑垃圾的產生量上非常龐大，這種通過犧牲環境的傳統發展方法已經無法滿足現狀甚至是未來的需求，想要完成建筑的可持續發展，則需找出真正健康并且適用于當前發展方向的方案，智能化、經濟化、綠色化的鋼結構建筑應運而生。相比傳統的鋼筋混凝土結構，鋼材除了有環保、可回收的優點，更具有輕質高強、材質均勻、塑性、韌性更好等優勢；同時，從資源的方面來看，2022 年我國產鋼量為134 033.5 萬t，在世界上位居首位，因此鋼結構建筑在我國有著良好的發展前景。

結構優化設計是要在滿足各種規范和特定結構性能目標的前提下，在結構的成本和收益之間達到平衡點。尺寸優化是結構優化最基本的形式之一，其優化對象是構件截面參數、模型的幾何尺寸等。在現有型鋼庫中[1]，不同構件的截面參數是離散的、確定的，而相同截面的參數（如截面面積、慣性矩、截面高度）是關聯的，在優化問題中可視為關聯離散變量[2,3]。在鋼結構建筑中，空間鋼結構是目前應用較為廣泛的結構形式，為推廣其性能化設計，必須對空間鋼結構進行整體結構分析的結構優化設計，使原結構更為經濟、合理、安全。本文利用有限元軟件Abaqus 的計算模塊對某空間鋼框架[4]進行分析計算，并使用Python 語言編寫子程序對Abaqus 進行二次開發，利用計算機程序自動高效地完成了整個離散優化設計過程，得到了較為安全、合理、經濟的設計結果。

1 結構優化分析過程

對結構進行優化設計時需要先建立該問題的數學模型，然后根據該模型的特征選取不同的優化策略，通過模型計算－數據驗算－模型優化的循環過程求得最優解。Python 語言是一種面向對象的、解釋型的、通用的、開源的腳本編程語言，在Abaqus 前處理和求解器之間使用的交互語言就是Python，同時在求解器以及后處理部分可以通過編寫Python 子程序和腳本實現二次開發，故Python 語言可以完全滿足對Abaqus二次開發的要求。本實驗使用有限元分析軟件Abaqus中提供的Python 接口編寫優化分析的子程序，對模型進行離散參數化優化設計。

在結構優化問題中，凸優化問題較為常見，即在凸集中求解目標函數的最小化問題，對于凸優化問題基本的優化方法即進行迭代計算。在本次優化設計過程中，目標函數為求解結構總質量的最小值，故本文的優化方法采用迭代優化方法，通過對目標函數逼近將約束的優化問題轉換為非約束的優化問題，從而求解離散優化問題的全局最優解。該方法適用于空間鋼框架的結構優化設計，流程圖如圖1 所示。通過驗算模塊會得到兩個包含構件驗算結果的列表（succeed_part、failed_part），當模型總質量連續三次收斂后，程序會停止迭代計算，出于安全性的考慮，程序會在第三次收斂后對模型失效的構件進行增大設計，使該構件的截面面積增大并再次進行驗算，最終得到一個安全、經濟的優化結果。

圖1 結構優化框架流程圖

2 結構優化設計數學模型及分析

2.1 問題描述

某縮尺二層鋼框架，構件均受豎向荷載，構件的受荷情況以及初始參數如表1、表2 所示，模型的幾何布置圖和構件布置圖分別如圖2、圖3（a）~（b）所示。

表1 構件受荷情況

表2 初始構件參數

圖2 有限元幾何模型

圖3 構件布置圖（單位：mm）

2.2 材料參數

彈性模量：E ＝2?06×105MPa

泊松比：v ＝ 0.3

密度：ρ ＝ 7 800kg/m3

常溫強度設計值、常溫屈服強度值：根據鋼結構設計規范[5]取值；

鋼材本構模型：選用二次塑流模型作為鋼材本構，具體公式見文獻[6,7]中內容。

2.3 空間鋼框架結構優化設計的數學模型

進行結構優化設計首先要建立實際工程問題的數學模型，然后選擇合適的優化策略，一般來說，一個優化問題主要有目標函數、設計變量、約束條件三個要素。現行規范中多采用極限狀態設計法，一般來說，極限狀態設計法可將結構的極限狀態分為承載力極限狀態和正常使用極限狀態，當結構超過承載力極限狀態，即結構發生了破壞[8]：

本次優化問題以結構可靠性為約束條件，即對于鋼框架梁，在結構設計中屬于受彎構件，以其強度、整體穩定、撓度作為極限判別標準；對于鋼框架柱，在結構設計中屬于壓彎構件，以其截面強度、穩定性作為極限判別標準。

桿件的各類截面參數如截面面積、回轉半徑、慣性矩、高度等是相互關聯的[1]，選定其中一個截面參數代表其相同截面的其他參數也被選定，故稱為關聯離散變量[2,3]。將規范型鋼庫中的H 型鋼的截面參數按截面面積大小排序，共得到130 個截面參數的集合：

式中：S為標準截面構成的集合：為第i 個標準型鋼的截面參數的集合。文獻[9-12]中采用0-1 規劃處理關聯離散變量。

ti為0-1 變量，表示第i 個截面是否被選中，選中則取1，否則取0，本質上是表征標準截面集合S 與構件截面參數之間的映射關系。綜上所述，本文以空間鋼框架總質量為目標函數，構件截面參數y 為設計變量，模型桿件的長度已經確定，實際上本次優化問題是在滿足結構可靠性下的構件最小截面面積問題，數學模型如下：

式中:ρ為鋼材密度,yj表示模型第j 個構件的截面參數

約束條件：

空間鋼框架梁：

空間鋼框架柱：

式中，

Mx、My——同一截面處繞 x 軸和 y 軸的彎矩

γx、γy——截面塑性發展系數

Wnx、Wny——對 x 軸和 y 軸的凈截面模量；

Wx、Wy——對 x 軸和 y 軸的毛截面模量；

f——鋼材的抗彎強度設計值

?b——梁的整體穩定性系數

V——當前構件最大撓度

lj——第j 個構件的計算長度

N——所計算構件范圍內軸心壓力設計值

?x、?y——對強軸和弱軸的軸壓構件穩定系數

?bx、?by——考慮彎矩變化和荷載位置影響的受彎構件整體穩定系數

η——截面影響系數，工字型鋼為開口截面η取1.0

βmx、βmy——等效彎矩系數

N'Ex、N'Ey——取N'Ex、N'Ey=π2EA/(1.1λ2)

λ——強軸、弱軸長細比

An——當前截面凈截面面積

A——當前截面毛截面面積

下面將介紹構件截面的優化過程。以BEAM_1為例，BEAM_1 在優化前的位移云圖如圖4（a）所示，此時其截面在型鋼庫中的編號為12，截面面積為16.68m2，當程序判斷BEAM_1 失效時會將該構件在型鋼庫中的編號加一，如圖4（b）所示，此時BEAM_1的編號為13，截面面積為17.58m2，通過對比優化前后的位移云圖可以看出跨中位移明顯降低；同樣當程序判斷構件滿足驗算后，會將該構件在型鋼庫中的編號減一，減小截面面積，從而達到減少用料的目的。

圖4 構件優化前后位移云圖（單位：m）

2.4 計算模型

在Abaqus 中，在對大型結構進行分析時，當構件的橫截面的尺寸相對于長度較小時，可以簡化為梁單元進行分析，相比于實體單元，梁單元的計算速度更快，且在結構優化的過程中，關注的重點是模型的力學行為，故使用梁單元作為模型的單元類型。Abaqus有兩類梁單元，即歐拉－伯努力梁（B23、B23H、B33等）和鐵木辛克梁（B21、B31 及對應的雜交單元等），其中鐵木辛克梁允許橫向剪切變形，適用于短梁，而歐拉－伯努力梁不允許橫向剪切變形，對于長梁可以采用歐拉－伯努力梁，對于短梁可以使用鐵木辛克梁，而介于長梁和短梁之間的構件，兩種單元的計算結果區別較小[13,14]。文中模型的構件多為長梁，故結構分析采用B33 單元，即三次梁單元，模型使用米單位制。為保證模型計算精度，布種密度為0.1，模型共有1 065個結點，1 080 個梁單元。計算時，每個結點均有x、y、z 三個方向的轉角和位移，梁柱結點均采用剛性連接，荷載均為豎向的均布荷載。在模型中，x 軸為較長跨方向，y 軸為框架高度方向，z 軸為較短跨方向，框架底層的柱腳三個方向的轉動、位移均被約束。分析步采用靜力通用分析，輸出變量為結點應力、截面軸力和彎矩、結點位移，計算分析模型如圖5 所示。

圖5 有限元計算模型

3 結果分析

經過Abaqus 程序41 次優化計算，得到空間鋼框架結構優化的最終結果。如表3、圖6 所示，隨著迭代次數的增加，模型構件的截面和目標函數不斷減小，模型重量最終在第34 次計算后開始收斂，并于第40次計算完成迭代，優化后的結果鋼材用料比原結構節約59.43%。從圖6 可以看出，模型中鋼梁變形最大處在跨中，這是因為模型只受豎向的均布荷載的緣故，在梁柱節點處出現應力集中現象，與優化前相比結構性能得以充分利用。

表3 模型總重量優化結果

圖6 模型總重量變化圖（單位：kg）

一層、二層鋼梁在優化過程中重量的變化如圖7（a）~（b）所示。從中可以看出，部分構件（如beam1、11、13、24）基本在第八次計算結束后已經開始收斂，同時如表4、表5 所示，外側縱梁的優化程度較低，這是因為該構件在原模型中就已經接近設計上的極限，留給優化的余地已經很小了。構件撓度隨著構件截面減小增加，但最終仍滿足規范l/400 的要求。從構件失效的原因來看，起主要控制作用的是撓度和穩定性，其中構件因為整體穩定性失效的次數更高，在設計中建議通過提高該構件受壓翼緣的側向穩定性來減少失效風險。

表4 一層鋼梁優化過程中參數變化

表5 二層鋼梁優化過程中參數變化

圖7 鋼梁重量變化圖（單位：Kg）

模型中鋼柱的重量曲線如圖8（a）~（b）所示，在優化前期基本重疊，這是模型的荷載對稱布置的原因。如表6、表7 所示，柱在原模型中的設計過于安全，經過優化后，鋼柱重量普遍為原構件的55.483%~70.018%。鋼結構的破壞形式中失穩破壞最為常見，從模型中鋼柱的失效原因也可以看出平面外穩定性起關鍵控制作用。

表6 一層鋼柱優化過程中參數變化

表7 二層鋼柱優化過程中參數變化

圖8 鋼柱重量變化圖（單位：kg）

4 結論

本文利用有限元軟件Abaqus 的計算模塊以及其Python 語言接口，通過編寫子程序實現Abaqus 二次開發，對空間鋼框架離散優化設計，以結構可靠性為前提，利用計算機程序快捷、方便地完成了整個優化設計過程，得到了經濟安全的最優設計結果。同時，本文分析了常見空間鋼框架模型中鋼梁和鋼柱的失效原因，并給出了相應建議。本文的研究對實現鋼結構性能化設計具有參考價值，也有一定的工程實際意義，從而推動鋼結構設計的智能化、經濟化。