小題大用,凸顯本質(zhì)
——以一道解析幾何模擬題為例

浙江省嵊州市經(jīng)濟開發(fā)區(qū)雙塔路嵊州中學(xué)(312400) 何云

2023 年4 月本校高二年級期中考與杭州周邊十多所學(xué)校進行聯(lián)考,本次聯(lián)考內(nèi)容相當于高考內(nèi)容,試卷難度較大.筆者根據(jù)學(xué)生對第21 題解析幾何作答情況進行整理、分析、反思,希望在今后教學(xué)中能幫助學(xué)生克服思維障礙.

本校學(xué)生此道解析幾何題錯誤率高達90%,本人教學(xué)的兩個文科班無一位同學(xué)做出來.做不出來原因有: 一是由于本次期中聯(lián)考內(nèi)容較多,高二學(xué)生的解析幾何知識不系統(tǒng)或已遺忘;二是學(xué)生對本題解析幾何背景不清楚,不會算;三是解題思路清楚,計算方法不佳,導(dǎo)致計算遇阻;四是沒有時間算.高考復(fù)習(xí)課常常遇到這樣的矛盾“重復(fù)以往的故事”,教師上課就少了份激情,學(xué)生聽課感覺枯燥乏味,若“尋新、尋異、尋難”,又會產(chǎn)生新的問題,茫茫題海,何處才是盡頭.筆者根據(jù)本次期中聯(lián)考第21 題適度包裝改造,即變換條件和結(jié)論、變換問題情景、由特殊到一般揭示問題本源,解決“舊與新”、“易與難”之間的矛盾.

1 試題呈現(xiàn)

(2023 年4 月杭州周邊地區(qū)重點中學(xué)聯(lián)考第21 題)在直角坐標平面內(nèi),已知點A(-2,0),B(2,0),動點P滿足條件:直線PA與直線PB的斜率之積等于,記動點P的軌跡為E.

(1)求E的方程;

(2)過點C(4,0)作直線l交E于M,N兩點,直線AM與BN交點Q是否在一條直線上?若是,求出這條直線的方程;若不是,說明理由.

解: (1)E的方程為;

2 解法探究

本題主要以雙曲線為載體考察點在定直線上,圓錐曲線中定點、定值問題一直都是高考熱點問題.筆者通過學(xué)生的答題情況收集了三種典型的、未完成的解題思路,并將其完善,梳理出三種解法.下面我們一起來看一下:

點評此學(xué)生解題思路與其他同學(xué)不同點是直線設(shè)法避免討論斜率不存在的情況,可惜聯(lián)立直線與曲線方程就結(jié)束了,暴露出這位同學(xué)要么時間不夠,要么解題思路不清楚,只是為了“騙幾分”.下面筆者對此位同學(xué)解法進行完善.

點評此同學(xué)通過斜率不存在的特殊情況,求出直線AM,BN直線方程得到點Q坐標,繼而得出點Q在定直線x=1 上,此法是先特殊再一般,但是解答過程暴露出這位同學(xué)考慮問題不全面,未證明直線斜率存在的情況點Q在定直線x=1 上.下面筆者對此位同學(xué)解法進一步進行完善,過程如下:

點評這位同學(xué)直線斜率存在和不存在的兩種情況均考慮到了,每種情況只是開了個頭就沒下文,可能是時間不夠,若有足夠時間也許此位同學(xué)能完成.下面筆者進一步完善此位學(xué)生的解法:

3 深入探究

3.1 點C 一般化

思路將x軸上點C一般化,探究直線AM與BN交點Q是否還在一條直線上?

變式1過點C(m,0)(m0)作直線l交E于M,N兩點,直線AM與BN交點Q是否在一條直線上?若是,求出這條直線的方程;若不是,說明理由.

3.2 變點Q 的位置

思路點C位置不變,改變點Q滿足的條件,但是點Q在定直線的本質(zhì)不變.

變式2過點C(4,0) 作直線l交E于M,N兩個不同的點,在線段MN上取不同于點C的點Q,滿足|CM|·|QN|=|QM|·|CN|.求證:點Q在定直線上.

3.3 互換結(jié)論與條件

思路若將原題的結(jié)論當作條件,又會得出什么樣的結(jié)論呢? 經(jīng)過探究,發(fā)現(xiàn)直線l過定點.

變式3直線l交E于M,N兩點,直線AM與BN交于點Q,點Q在直線x=1 上,證明: 直線l過定點.

3.4 由特殊到一般

條件一般化,上述問題在雙曲線中還會得到類似的結(jié)論,同樣可以推廣到橢圓中.

推論1雙曲線E:=1,其中點A,B分別為雙曲線E的左右頂點,過點C(m,0)(m0)作直線l交E于M,N兩點,直線AM與BN交于點Q,則點Q在定直線x=上.

推論2雙曲線E:=1,其中點A,B分別為雙曲線E的左右頂點,直線l交E于M,N兩點,直線AM與BN交于點Q,點Q在直線x=上,則直線l過定點(m,0).

推論3橢圓E:=1(a＞b＞0),其中點A,B分別為橢圓E的左右頂點,過點C(m,0)(m0)作直線l交E于M,N兩點,直線AM與BN交于點Q,則點Q在定直線x=上.

推論4橢圓E:=1(a＞b＞0),其中點A,B分別為橢圓E的左右頂點,直線l交E于M,N兩點,直線AM與BN交于點Q,點Q在直線x=上,則直線l過定點(m,0).

4 解后反思

筆者基于本班學(xué)生的學(xué)情,考后對本題進行深度探究,挖掘問題的本質(zhì),希望能幫助學(xué)生突破難點.以雙曲線為問題起點,探究一類圓錐曲線定點、定值問題.問題設(shè)計以學(xué)生的思維為主,將學(xué)生未完成的解答拿到課堂上與學(xué)生一起分析、完善,為學(xué)生解惑,然后再以問題變式和改變問題情景的方式深入探究揭示問題本源,從雙曲線到橢圓,從特殊到一般激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣.

解析幾何本身計算量就大,學(xué)生不愿算,認為做了也做不對,直接放棄,再加上高二的學(xué)生還未進行系統(tǒng)的復(fù)習(xí),對圓錐曲線的知識系統(tǒng)認知不夠,現(xiàn)在做圓錐曲線題目很難.如何攻克學(xué)生從不愿算的畏難心理到愿拿起筆算?這是一個艱巨的任務(wù).