基于單元教學(xué)的數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)初探*
——以解析幾何為例

安徽省合肥市第十中學(xué)(230011) 柴麗妮 胡明

為全面貫徹黨的十九大關(guān)于教育“立德樹(shù)人”的根本任務(wù),積極落實(shí)全國(guó)教育工作會(huì)議中關(guān)于“要把開(kāi)展讀書(shū)活動(dòng)作為一件大事來(lái)抓,引導(dǎo)學(xué)生愛(ài)讀書(shū)、讀好書(shū)、善讀書(shū)”的具體任務(wù),閱讀活動(dòng)正在全國(guó)各大中小學(xué)如火如荼地展開(kāi).長(zhǎng)期以來(lái),數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)在于圖形、符號(hào)、公式及其變形方面,且以教師傳授的形式為主,忽略了學(xué)生信息輸入及自主加工的過(guò)程,違背了“全面培養(yǎng)人”的要求.

閱讀是一種利用語(yǔ)言主動(dòng)獲取信息、發(fā)展思維的活動(dòng);而數(shù)學(xué)除了是運(yùn)算和推理的工具以外,本身也是一種表達(dá)和交流的語(yǔ)言.因此,站在時(shí)代的來(lái)看,教師要認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代教育所培養(yǎng)的人不僅要具有文學(xué)和社科閱讀能力,還需要具有以其為基礎(chǔ)的包括自然科學(xué)和藝術(shù)領(lǐng)域的綜合閱讀能力[1].數(shù)學(xué)閱讀在培養(yǎng)學(xué)生綜合閱讀能力中充當(dāng)著舉足輕重的作用.

1 數(shù)學(xué)閱讀的意義

1.1 符合新課標(biāo)的要求

2017 版課程標(biāo)準(zhǔn)中提出數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)在于“引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”.其中第三點(diǎn)說(shuō)明數(shù)學(xué)也可以作為一種溝通交流的工具.數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中的具體表現(xiàn)是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一數(shù)學(xué)建模.在數(shù)學(xué)建模的實(shí)施中,學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象并用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)和解決,這個(gè)過(guò)程需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象和語(yǔ)言表達(dá)等能力.只有通過(guò)大量的數(shù)學(xué)閱讀積累了豐富的知識(shí),才能幫助學(xué)生在建模時(shí)進(jìn)行靈活的聯(lián)想和順暢的表達(dá).

新課標(biāo)建議教師在組織教學(xué)活動(dòng)中不僅要重視教,更要重視學(xué),以便促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).這要求教師探索靈活多變的教學(xué)形式,包括“引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)”等.這從教師的角度對(duì)數(shù)學(xué)閱讀提出了要求.

1.2 匹配新教材的設(shè)計(jì)

新教材在新課標(biāo)的指導(dǎo)下編寫(xiě),是新課標(biāo)理念的具體體現(xiàn),是落實(shí)教學(xué)改革的載體.與老教材比較發(fā)現(xiàn),新教材中新增了大量的教學(xué)情境.它們形式多樣,背景豐富,在體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用性的同時(shí)增加了學(xué)生的閱讀量,對(duì)學(xué)生信息提取及數(shù)學(xué)抽象等能力提出了更高的要求.

新教材中增加了更多的閱讀材料,如選擇性必修一中新增了“探索與發(fā)現(xiàn)——方向向量與直線的參數(shù)方程”和“閱讀與思考——坐標(biāo)法與數(shù)學(xué)機(jī)械化”等.用好這些閱讀材料,除了能夠增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)與當(dāng)代數(shù)字社會(huì)的緊密聯(lián)系,滿足學(xué)生更多元化的需求.

新教材中新添了一個(gè)項(xiàng)目“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫(xiě)作”,旨在引導(dǎo)學(xué)有余力的同學(xué)在學(xué)習(xí)完部分章節(jié)后,通過(guò)補(bǔ)充閱讀數(shù)學(xué)史等相關(guān)書(shū)籍,從更多角度了解對(duì)應(yīng)內(nèi)容的形成與發(fā)展,感受數(shù)學(xué)家在某一概念形成歷程中所遇到的眾多阻礙以及他們?cè)诮鉀Q一個(gè)個(gè)問(wèn)題中所體現(xiàn)出的勇氣和韌性.

1.3 適應(yīng)新高考的特點(diǎn)

新高考是對(duì)新教材教學(xué)效果的重要評(píng)價(jià)方式,是“三新”改革的最終落點(diǎn).縱觀近兩年的高考試卷,數(shù)學(xué)高考命題已經(jīng)發(fā)生了巨大的變化.試題中的條件不再“不多不少”“拿來(lái)就用”,出現(xiàn)了條件過(guò)剩、答案不唯一、結(jié)構(gòu)不良等新題型,這些都對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力提出了更高的要求.試題中的數(shù)學(xué)情境大量增多,題干字?jǐn)?shù)大幅增加,需要學(xué)生具備從文字中提取有效信息并加工為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力.特別地,中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、中國(guó)當(dāng)代先進(jìn)的科技生產(chǎn)場(chǎng)景反復(fù)以現(xiàn)實(shí)情境或科學(xué)情境的形式在高考試題中展現(xiàn),這些也都提醒著廣大一線教師重視數(shù)學(xué)閱讀,行動(dòng)迫在眉睫[2].

2 數(shù)學(xué)閱讀的開(kāi)展

數(shù)學(xué)是一門邏輯極其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,數(shù)學(xué)內(nèi)容在鋪開(kāi)的過(guò)程中遵循著邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、思維的一致性和方法的普適性,這是數(shù)學(xué)進(jìn)行單元教學(xué)的基礎(chǔ),也是組織數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的一條主線.下面筆者將以解析幾何為例,簡(jiǎn)析數(shù)學(xué)閱讀開(kāi)展的幾點(diǎn)策略.

2.1 實(shí)施具象化閱讀,搭建單元框架

“幾何與代數(shù)”是高中數(shù)學(xué)幾大主線之一,在選擇性必修一中主要包括“空間向量與立體幾何”、“直線和圓的方程”、“圓錐曲線的方程”三章.其中后兩章都是使用坐標(biāo)法來(lái)研究幾何圖形,且遵循“幾何要素(定義)-曲線方程-曲線性質(zhì)-綜合應(yīng)用”的研究思路,歸屬于解析幾何范疇.教學(xué)中將其作為一個(gè)大單元進(jìn)行統(tǒng)一設(shè)計(jì).

在本單元的章節(jié)起始課中,引導(dǎo)學(xué)生閱讀這兩章的章引言以及教材上的閱讀與思考“笛卡兒與解析幾何”,并解決如下問(wèn)題:

“原來(lái)研究幾何圖形用的什么方法?這兩章將用什么方法?這種方法主要是以什么為工具?”

“這兩章統(tǒng)稱為解析幾何,它的內(nèi)涵是什么?溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)部哪兩大學(xué)科?體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想?”[3]

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主線版塊,引導(dǎo)學(xué)生明確解析幾何的研究方法是單元起始課的教學(xué)目標(biāo)之一.“坐標(biāo)法”也不是學(xué)生第一次遇到,學(xué)生初中了解了平面直角坐標(biāo)系,在本單元前一章使用坐標(biāo)法解決了立體幾何問(wèn)題.基于以上原因,教材中在章首語(yǔ)中明確點(diǎn)明了本單元的研究方法和研究思路,在后續(xù)的閱讀與思考中介紹了坐標(biāo)法的產(chǎn)生歷史和內(nèi)涵.提出的兩個(gè)問(wèn)題難度不大,學(xué)生通過(guò)粗讀教材就可以解決.

之后提出第三個(gè)問(wèn)題“這兩章將分別研究哪些曲線?研究將按照什么樣的思路展開(kāi)?談?wù)劄楹螌⑵鋵⑵浞譃閮烧?”此問(wèn)題一方面考慮到了第二章和第三章的相似性,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解析幾何研究的一致性;另一方面考慮了兩章的差異性,從宏觀角度了解初高中教材的編寫(xiě)意圖.這兩個(gè)問(wèn)題在閱讀完兩章章引言并體會(huì)其中含義之后學(xué)生容易答出,在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生通過(guò)小組合作的形式畫(huà)出知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,請(qǐng)代表展示并解讀各自作品.知識(shí)結(jié)構(gòu)圖是學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀之后的成果,是單元知識(shí)框架的載體,也是數(shù)學(xué)交流的對(duì)象,多感官的調(diào)動(dòng)可以使章節(jié)起始課形式更多元,內(nèi)容更充實(shí).

2.2 實(shí)施對(duì)比化閱讀,體會(huì)單元思想

在圓錐曲線的教學(xué)中,筆者帶領(lǐng)學(xué)生全面系統(tǒng)地探究了橢圓的定義的得到與理解、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與變形、從形和數(shù)兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).雙曲線定義的探究可以沿用橢圓定義中的信息技術(shù),只需要在保證有公共點(diǎn)且軌跡是曲線的基礎(chǔ)上把動(dòng)點(diǎn)的位置由線段上移動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線或者反向延長(zhǎng)線上.有了之前橢圓定義的研究經(jīng)驗(yàn),結(jié)合具體的圖形,學(xué)生不難抽象出雙曲線的定義.基于定義的相似性,在定義基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)和橢圓都是相似的.故而在雙曲線的教學(xué)中可以讓學(xué)生自行對(duì)比閱讀教材,和橢圓進(jìn)行類比,從而探究出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).例如在“雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”一節(jié),可以通過(guò)下列一系列問(wèn)題展開(kāi)教學(xué):

回顧“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”一節(jié),你研究了橢圓的哪些性質(zhì)?如何研究的?

你認(rèn)為雙曲線可以研究哪些幾何性質(zhì)?如何研究這些性質(zhì)?以小組為單位展開(kāi)研究.

研究結(jié)束之后閱讀教材這一節(jié)內(nèi)容,看一看你的研究是否正確?

除了你研究的這些性質(zhì),教材上還介紹了雙曲線的什么?橢圓中有沒(méi)有?為什么?

從圖形上看,雙曲線的漸近線是刻畫(huà)雙曲線的哪一特征?它和你研究出來(lái)的哪一種性質(zhì)相關(guān)?它們兩者的關(guān)系你能用一個(gè)等式來(lái)表示嗎?

有了上述一系列問(wèn)題的引導(dǎo),學(xué)生對(duì)于雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)能夠有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí),同時(shí)也可以進(jìn)一步理解橢圓和雙曲線的相似性,進(jìn)而理解整個(gè)解析幾何單元設(shè)計(jì)理念.

其實(shí)除了教材正文可以進(jìn)行對(duì)比閱讀,教材上的例題或習(xí)題也可以“聯(lián)動(dòng)”.例如教材上在橢圓中出現(xiàn)了這樣的例題“設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,求點(diǎn)M的軌跡方程.”通過(guò)直接設(shè)點(diǎn)表示題目條件可以得到點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以A,B為左右頂點(diǎn)的橢圓.在雙曲線中出現(xiàn)了類似的練習(xí)題“已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-6,0),(6,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,求點(diǎn)M的軌跡方程,并判斷軌跡的形狀.”通過(guò)直接法可以求出點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以A,B為左右頂點(diǎn)的雙曲線.這兩道題目條件類似,方法相同,結(jié)論相似;對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生,老師可以引導(dǎo)學(xué)生將這兩道題對(duì)比完成,并思考在此基礎(chǔ)上能否得到更一般的結(jié)論,也就是橢圓和雙曲線第三定義的推廣.

教材中橢圓和雙曲線兩節(jié)類似的問(wèn)題還有很多,教師對(duì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比閱讀和類比研究,學(xué)生能夠?qū)卧恼w性有一個(gè)更深的體會(huì).

2.3 實(shí)施個(gè)性化閱讀,加深單元理解

在單元教學(xué)基本結(jié)束之后,筆者布置了這樣一項(xiàng)作業(yè)“請(qǐng)回顧全單元所學(xué)內(nèi)容,獨(dú)自畫(huà)出本單元的思維導(dǎo)圖;并根據(jù)教材上的例題和習(xí)題,獨(dú)立編制一套題目(包含兩道單選,兩道多選,兩道填空和一道解答)并給出對(duì)應(yīng)的解答”.

為了完成本項(xiàng)作業(yè),學(xué)生首先要通讀整單元,尤其是其中的目錄、章首語(yǔ)、章末小結(jié)等部分.每位同學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)觀不同,對(duì)于本章的理解深度不盡相同,因而他們的閱讀重點(diǎn)不同,例如數(shù)學(xué)相對(duì)薄弱的同學(xué)可能會(huì)更關(guān)注知識(shí)細(xì)節(jié),大局觀更強(qiáng)的同學(xué)可能會(huì)更關(guān)注研究思路與方法.

編制題目是希望學(xué)生能夠重視教材上的例題和練習(xí),同時(shí)希望他們偶爾能夠轉(zhuǎn)變角度,站在出題人的位置來(lái)思考如何命制一套高質(zhì)量的試卷.在完成這項(xiàng)作業(yè)的過(guò)程中,不少學(xué)生開(kāi)始關(guān)注到知識(shí)點(diǎn)考察的全面性,意識(shí)到要在易錯(cuò)點(diǎn)上設(shè)置“題眼”,甚至還有幾位同學(xué)在教材題目的基礎(chǔ)上嘗試自行命制題目,雖然他們的手法大多比較簡(jiǎn)陋——對(duì)教材題目進(jìn)行刪減、拓展、整合等,但是在這個(gè)二次加工的過(guò)程中,這些學(xué)生對(duì)于相關(guān)知識(shí)的理解深度有了巨大的進(jìn)步,在以后的考試中也能更加明晰出題人的意圖.例如某位同學(xué)根據(jù)教材122 頁(yè)的圖3.2-7 聯(lián)想到用水平或豎直的直線與雙曲線相交,從而編制出了如下這樣一道題目:

平面內(nèi)一點(diǎn)P(x,y) 滿足=16且x≥-3,y∈(-6,7],直線y=h與點(diǎn)P的軌跡有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),且h∈Z,則以h的各取值構(gòu)成的數(shù)據(jù)的第66 百分位數(shù)為( )

A.3 B.4 C.5 D.6

這道題目雖然還比較生澀,但是該生已經(jīng)關(guān)注到最近高考的命題熱點(diǎn)——在知識(shí)的交匯處命題.他在閱讀教材中受到插圖的啟發(fā)編制出了本題.

2.4 實(shí)施拓展化閱讀,開(kāi)闊單元視野

恩格斯曾經(jīng)評(píng)價(jià)對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)立和微積分的建立為17 世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就,從中可以看出解析幾何的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)乃至科學(xué)發(fā)展史中有著舉足輕重的地位.任何成就的獲得都不可能是一蹴而就的,這個(gè)過(guò)程中無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家前赴后繼.了解解析幾何的創(chuàng)立歷史不僅可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí),同時(shí)還可以站在歷史的洪流外看其中一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)家一次次的失敗或成就,通過(guò)數(shù)學(xué)家們的不怕困難的勇氣、堅(jiān)持不懈的韌性、前赴后繼的決心對(duì)學(xué)生進(jìn)行心智和性格上的教育.

為了更大可能地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人價(jià)值,筆者在本單元結(jié)束之后結(jié)合教材上的文獻(xiàn)閱讀與寫(xiě)作,給學(xué)生布置了一項(xiàng)長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)星期的任務(wù)——自行查閱資料了解解析幾何的發(fā)展史并以此為主題完成一篇數(shù)學(xué)論文.學(xué)生對(duì)于這項(xiàng)作業(yè)的熱情出乎我的意料,他們有人通過(guò)網(wǎng)絡(luò)積極查閱資料,有人還專門跑到圖書(shū)館去借閱相關(guān)書(shū)籍展開(kāi)閱讀,最終交上來(lái)的作業(yè)中也出現(xiàn)了好幾篇高質(zhì)量的數(shù)學(xué)小論文.

某位同學(xué)在自己的論文中先是介紹了圓錐曲線的定義,然后介紹了圓錐曲線的起源,之后通過(guò)阿波羅尼斯、帕普斯、開(kāi)普勒、笛卡爾、牛頓、伯努利等數(shù)學(xué)家的工作串起了圓錐曲線的發(fā)展,這些數(shù)學(xué)家的切入點(diǎn)不同得到了圓錐曲線的不同定義,這位同學(xué)從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度總結(jié)了圓錐曲線的定義方式,最后還介紹了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)以及它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用.可以看出這位同學(xué)花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力,通過(guò)拓展閱讀才完成了這樣一篇高質(zhì)量的數(shù)學(xué)論文.

3 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)閱讀是鍛煉學(xué)生提取信息、數(shù)學(xué)抽象等能力的重要手段,在單元教學(xué)的背景下更是如此.除了上述的方式外,還可以通過(guò)數(shù)學(xué)史知識(shí)競(jìng)賽、閱讀成果展等更多的形式激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀.作為一線教師,我們需要重視數(shù)學(xué)閱讀并在實(shí)際教學(xué)中根據(jù)需求選擇合適的方式開(kāi)展數(shù)學(xué)閱讀.