基于核心素養(yǎng)的微單元教學(xué)
——對高考試題的課堂探究

安徽省蕭縣中學(xué)(235200) 殷雪劍 路召飛

近些年來,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大題中的極值點(diǎn)偏移問題多次作為壓軸題呈現(xiàn),試題中把函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)的最值,函數(shù)的極值,不等式的證明,函數(shù)的同構(gòu)構(gòu)造等知識(shí)點(diǎn)交叉融合,再改變試題的結(jié)構(gòu)層次.這對教學(xué)與研究提出了更高的要求,在實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂上,弄清知識(shí)的基礎(chǔ)內(nèi)涵以及更深層次的本質(zhì),才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面以2021,2022 年全國卷中的兩道極值點(diǎn)偏移問題進(jìn)行深入的課堂教學(xué)探究,挖掘其核心本質(zhì)要素: 極值點(diǎn)單側(cè)的單調(diào)性、多變量化歸單變量、不等式放縮、同構(gòu)構(gòu)造等,這將有利于高考前的一輪復(fù)習(xí)、培優(yōu)學(xué)習(xí),通過單元專題的設(shè)計(jì),極大的提升學(xué)生學(xué)習(xí)此類問題的效率.

1 提出問題,再思考

問題1(2022 年高考數(shù)學(xué)理科全國甲卷第21 題)f(x)=-lnx+x-a.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則x1x2＜1.

試題分析試題以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為背景,以函數(shù)的最值,參數(shù)范圍為出發(fā)點(diǎn),由非對稱函數(shù)的零點(diǎn)引入不等式的證明.既可以通過常規(guī)的方法解決問題又可以構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)另辟途徑,試題的設(shè)計(jì)既基礎(chǔ)常規(guī)又滿足綜合能力考查的要求,在新課標(biāo)的理念下,體現(xiàn)了價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基的新理念.

解析(1)f′(x)=,x∈(0,1),f′(x)＜0,x∈(1,+∞),f′(x)＞0,則f(x)min=f(1)=e+1-a≥0,即a≤e+1.對于(2)采用如下的思路探究:

思路點(diǎn)評(píng)由非對稱函數(shù)的極值點(diǎn)單側(cè)單調(diào),可以構(gòu)造對稱函數(shù),再利用其單調(diào)性即可完成證明,這也是此類題的常規(guī)處理方法,教學(xué)中務(wù)必夯實(shí)通性通法,有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推斷能力.此題同時(shí)出現(xiàn)了指、對函數(shù),能否嘗試一下構(gòu)造呢?

思路點(diǎn)評(píng)對于原函數(shù)先構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)f(x)=ex+x-a,問題即轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均不等式的證明,進(jìn)而完成本題的證明.構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)亦是近些年來高考命題的熱點(diǎn)與難點(diǎn),特別是大小比較中尤為常見,在教學(xué)中滲透同構(gòu)思想亦顯得尤為重要,常見同構(gòu)式x=elnx=ln ex.

思路點(diǎn)評(píng)對于雙變量證明,要化歸為單變量問題,即通過比值代換,構(gòu)造單變量的函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性證明,比值換元可以避開極值點(diǎn),因而也是不等式證明問題中常用的思路,所以教學(xué)中,既要夯實(shí)雙基,又要掌握必要的技巧和多法的歸一.

2 問題結(jié)構(gòu)的變式探究

導(dǎo)數(shù)作為壓軸題,既要考查綜合能力,又要承擔(dān)具備很好的選拔功能,因而試題的結(jié)構(gòu)形式呈現(xiàn)多元化.深化命題情景,搭建函數(shù)模型,挖掘題目深意,化歸問題本質(zhì).

(2021 年新高考Ⅰ卷第22 題) 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(Ⅰ)討論f(x)單調(diào)性;

(ⅠⅠ)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b,證明: 2＜＜e.

解析(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=-lnx,令f′(x)＞0,解得0＜x＜1,令f′(x)＜0,解得x＞1,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

(ⅠⅠ) 因?yàn)閎lna-alnb=a-b,所以.令x1=,x2=,則x1,x2為f(x)=k的兩個(gè)實(shí)根,且設(shè)x1∈(0,1),x2∈(1,e),則2-x1＞1,e-x1＞1,即x1+x2＞2 為極值點(diǎn)偏移問題,采用對稱構(gòu)造即可(證明省略).再證右邊不等式x1+x2＜e.

思路探究1

對比左端,右側(cè)顯然不適合再用對稱構(gòu)造來處理問題,換元亦是處理多變量問題的常用手段,進(jìn)而達(dá)到問題單變量的化歸,故可以嘗試比值換元.

思路探究2發(fā)散思維,拓展深化,構(gòu)建不等式模型,另辟路徑,即有“柳暗花明又一村”的感覺.因?yàn)?＜x1＜1,所以1-lnx1＞1,因?yàn)閤1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)＞x1,所以x1+x2＜2x2-x2lnx2.令G(x)=2x-xlnx,x∈(1,e),則G′(x)=1-lnx＞0,G(x) 在(1,e) 單調(diào)遞增,所以G(x)＜G(e)=e,即2x2-x2lnx2＜e,故x1+x2＜e.

思路點(diǎn)評(píng)極值點(diǎn)偏移問題呈現(xiàn)命題多樣化,首先應(yīng)該把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移的結(jié)構(gòu),彰顯數(shù)學(xué)的構(gòu)造思想和化歸思想,否則很難完成證明,因而掌握其核心結(jié)構(gòu)顯得尤為關(guān)鍵.

反饋練習(xí)

1.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a＞0,證明: 當(dāng)0＜x＜時(shí),;

(3)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,證明f′(x0)＜0.

2.已知函數(shù)f(x)=-x+alnx.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:

3.已知a∈R,函數(shù)f(x)=x-aex+1 有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,(x1＜x2).

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

簡要解析(1)問題等價(jià)于a=,令g(x)=,g′(x)=,x∈(-∞,0),g′(x)＞0;x∈(0,+∞),g′(x)＜0 易得0＜a＜1.

(2) 易知x1＜0＜x2,構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)-g(-x),x＜0,求導(dǎo)可得h′(x)=g′(x)+g′(-x)=x(ex-e-x)＞0,h(x)＜h(0)=0,所以g(x2)＜g(-x1)?x1+x2＞0,進(jìn)而可得＞2.

3 高考新題型預(yù)測

(2023 長郡中學(xué)高三月考)已知a＞b,c＞d,=1.01,(1-c)ec=(1-d)ed=0.99,則

A.a+b＞0 B.c+d＞0

C.a+d＞0 D.b+c＞0

解:令f(x)=,(x＞-1),則f′(x)=,f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減,(0,+∞)單調(diào)遞增,且f(0)=1.故a＞0,-1＜b＜0.令h(x)=lnf(x)-lnf(-x),x∈(-1,1),則h′(x)=2-＜0,所以h(x)在(-1,1)單調(diào)遞減,且h(0)=0,易知f(b)＞f(-b)?f(a)＞f(-b),即得a＞-b?a+b＞0 故A 正確.令g(x)=(1-x)ex,x＜1,易求g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,且g(0)=1,故0＜c＜1,d＜0.令

x∈(-1,1),所以m(x)在(-1,1)單調(diào)遞減,且m(0)=0,因?yàn)閏∈(0,1),所以g(c)＜g(-c),即得c+d＜0.故選項(xiàng)B 錯(cuò)誤.由于f(x)=,g(-a)=＞0.99,a∈(-1,0),即得g(-a)＞g(d),又因?yàn)間(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,所以a+d＜0,故C 錯(cuò)誤.同理可得D 正確.故選擇AD.

方法點(diǎn)睛本題是以選擇題的結(jié)構(gòu)來命制的,考點(diǎn)依然是極值點(diǎn)偏移問題,題型新穎難度極大,融合函數(shù)構(gòu)造,大小比較等高考熱點(diǎn),因此平時(shí)教學(xué)中務(wù)必夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí),才能較好的處理此類問題.

4 教學(xué)反思與總結(jié)

在教學(xué)中,數(shù)學(xué)問題是不斷變化的,既要注重基本知識(shí)技能培養(yǎng),還要拓展知識(shí)的深度和廣度,掌握問題中變化的不變量,慢慢培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維,才能幫助其提高解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的硬實(shí)力,進(jìn)而才能挖掘出內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì),在課堂教學(xué)上立足單元高度,彰顯數(shù)學(xué)思想,才能將新課標(biāo)的核心理念落到實(shí)處.