發(fā)展小學(xué)生模型意識的內(nèi)涵及其教學(xué)思考

培養(yǎng)小學(xué)生模型意識的思考與實(shí)踐

“模型意識”是小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。如何理解模型意識的本質(zhì)內(nèi)涵？如何理解發(fā)展小學(xué)生模型意識的意義與實(shí)質(zhì)？如何引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷、體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕?gòu)與解構(gòu)？如何把握發(fā)展學(xué)生模型意識的教學(xué)要點(diǎn)？這些都是一線教師在教學(xué)中正面臨著的問題。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》頒布后，費(fèi)嶺峰老師與他的研究團(tuán)隊(duì)結(jié)合具體內(nèi)容，以促進(jìn)學(xué)生模型意識的發(fā)展為目標(biāo)對課堂教學(xué)展開了系列研究。本期特刊發(fā)他們的部分研究成果，為廣大教師提供教學(xué)參考。

【摘? ?要】模型意識是小學(xué)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，主要指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。教師結(jié)合數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，從建構(gòu)與解構(gòu)兩個維度來解讀“發(fā)展小學(xué)生模型意識”的內(nèi)涵。在教學(xué)實(shí)踐中，教師需要把握三個方面的教學(xué)要點(diǎn)，即：在多樣的問題解決中感知數(shù)學(xué)模型的抽象過程，在建模與解模中拉長數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)體驗(yàn)過程，在多層次運(yùn)用中感受數(shù)學(xué)基本模型與變式模型間的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】模型意識；模型建構(gòu)；教學(xué)要點(diǎn)

模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中有著重要的地位。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的“模型思想”分為“模型意識”和“模型觀念”兩個核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，在小學(xué)階段重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的模型意識。那么，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的意義是什么？發(fā)展小學(xué)生模型意識的內(nèi)涵是什么？對于學(xué)生來說，發(fā)展模型意識需要經(jīng)歷怎樣的學(xué)習(xí)過程？教師在教學(xué)中又需要把握哪些教學(xué)要點(diǎn)？為解決這些問題，筆者圍繞發(fā)展小學(xué)生的模型意識進(jìn)行了實(shí)踐研究，探索形成了一些“學(xué)—教—評”的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

一、模型意識的內(nèi)涵釋義

2022年版課標(biāo)將小學(xué)階段的模型意識定位為對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。具體表現(xiàn)在兩個層面：一是現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，可以用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋；二是知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，學(xué)生可以通過對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值。

與初中階段的模型觀念相比，小學(xué)階段的模型意識更側(cè)重于數(shù)學(xué)模型的建模過程，強(qiáng)調(diào)對模型解釋、模型應(yīng)用的感悟。這里的感悟，即感覺與體悟。具體而言，就是不過度追求形式化的表達(dá)，不過分強(qiáng)調(diào)邏輯的演繹過程，定位于獲得初步的理性認(rèn)識。由此具體解讀模型意識的內(nèi)涵，可以從以下三個層次進(jìn)行理解。

●層次一：感受到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與大量現(xiàn)實(shí)生活中的問題存在著密切聯(lián)系，初步經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。

●層次二：知道用數(shù)學(xué)模型可以解決一類問題，并能試著應(yīng)用模型解決同類問題。

●層次三：碰到生活中的某些問題時，能夠有意識地用數(shù)學(xué)的語言或方法予以解釋。

二、發(fā)展小學(xué)生模型意識的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程有其獨(dú)特的特點(diǎn)。因此，發(fā)展小學(xué)生模型意識的具體內(nèi)涵可以從數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與解構(gòu)兩個角度進(jìn)行思考。從模型建構(gòu)的視角看，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷生活問題的數(shù)學(xué)化建構(gòu)過程，感悟數(shù)學(xué)模型與生活問題間的關(guān)聯(lián)性；從模型解構(gòu)的視角看，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解釋生活中的一些問題，體會數(shù)學(xué)模型的抽象性與豐富性，積累模型應(yīng)用的基本活動經(jīng)驗(yàn)。

（一）建構(gòu)視角，即經(jīng)歷建模過程，獲得模型建構(gòu)的體驗(yàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)直觀性和情境性，讓學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的問題進(jìn)行探究，形成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)中，也要結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析和思考，理解數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。這是學(xué)生認(rèn)識模型，感悟模型的內(nèi)涵，發(fā)展模型意識的必經(jīng)之路。以對加法的認(rèn)識為例，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷從事物數(shù)量的合并、抽象到數(shù)與式的表達(dá)，通過多次體驗(yàn)積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，理解“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運(yùn)算”這一抽象的加法意義。

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)一般表現(xiàn)為對模型的感知、發(fā)現(xiàn)與逐步抽象的認(rèn)知行為。模型建構(gòu)的發(fā)展目標(biāo)具體表現(xiàn)為以下兩個方面。

1.經(jīng)歷過程

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷感知、發(fā)現(xiàn)和豐富數(shù)學(xué)模型的全過程。這里的感知指學(xué)生對現(xiàn)實(shí)生活中的問題蘊(yùn)含的內(nèi)在特質(zhì)的初步感受；發(fā)現(xiàn)指經(jīng)歷對多個蘊(yùn)含相同特質(zhì)的問題的多次感受之后，對它們共同特質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，并能對此作出一定的結(jié)構(gòu)化表達(dá)；豐富指對多個相關(guān)問題中的同一特質(zhì)作出一定的結(jié)構(gòu)化表征之后的延展與完善。比如，在建構(gòu)“運(yùn)算律”模型時，學(xué)生需要通過對多個實(shí)例（即問題或算式）的解答或觀察，感知不同背后的相同點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)其中存在的規(guī)律，并能嘗試借助數(shù)學(xué)語言（符號）進(jìn)行表達(dá)。

2.體驗(yàn)建構(gòu)

實(shí)際上，在某個數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)中，學(xué)生對同一特質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、明晰和結(jié)構(gòu)化表達(dá)等，均需要經(jīng)歷建構(gòu)過程。因此，無論是模型的發(fā)現(xiàn)，還是模型的結(jié)構(gòu)化抽象與提煉，均是模型思想的重要內(nèi)容。對教師而言，有意識地引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)建模的基本活動經(jīng)驗(yàn)。

（二）解構(gòu)視角，即嘗試應(yīng)用模型，豐富模型建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)

從2022年版課標(biāo)給出的模型意識的內(nèi)涵來看，學(xué)生模型意識的發(fā)展過程中特別注重?cái)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用。2022年版課標(biāo)指出：“知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。”這表明應(yīng)用模型是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識的重要內(nèi)容。在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)用模型可以有兩種不同方式：一是用數(shù)學(xué)模型解決同類問題。如用“路程、速度、時間”的關(guān)系模型，可以解決“已知速度、時間，求路程”的問題：一輛汽車每小時行60千米，2小時行多少千米？可以解決“已知路程、速度，求時間”的問題：一條軌道長30米，一輛玩具汽車每分鐘行5米，幾分鐘能行完？可以解決“已知路程、時間，求速度”的問題：一輛汽車3小時行駛216千米，每小時行駛多少千米？二是用“概念與方法”解釋生活問題。如用“進(jìn)水與出水”的模型，既可以解釋灌溉農(nóng)田時實(shí)際的“進(jìn)水與出水”問題，還可以解釋生活中排隊(duì)候場情境中的問題。

數(shù)學(xué)模型的解構(gòu)建立在基本模型的建構(gòu)之上，表現(xiàn)為模型的變式與模型的應(yīng)用。因此，模型解構(gòu)的發(fā)展目標(biāo)也可以表述為兩個方面。

1.數(shù)學(xué)模型的豐富感知

數(shù)學(xué)模型的豐富感知以其多元性、多樣性為基礎(chǔ)。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的全過程有基本的路徑，而路徑是豐富與多樣的。如從運(yùn)算角度來看，有四則運(yùn)算模型、運(yùn)算律模型及“用數(shù)學(xué)”中的問題解決模型。四則運(yùn)算模型是基于四則運(yùn)算的“通過算理探索算法”的數(shù)學(xué)建模過程；運(yùn)算律模型是基于運(yùn)算意義進(jìn)行的“從現(xiàn)象到本質(zhì)”的運(yùn)算性質(zhì)發(fā)現(xiàn)與抽象的建模過程；“用數(shù)學(xué)”中的問題解決模型則是基于運(yùn)算意義與算法，解決實(shí)際問題的“數(shù)學(xué)知識習(xí)得與應(yīng)用”的模型解構(gòu)與重構(gòu)的過程。

比如，學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法與除法之后，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中又會借助乘除法的運(yùn)算意義探索數(shù)量之間的關(guān)系，如前文談到的與物理量有關(guān)的“速度、時間與路程”間的關(guān)系以及與個數(shù)有關(guān)的“單價、數(shù)量與總價”間的關(guān)系。教師要在學(xué)生探索這些數(shù)量關(guān)系的過程中，啟發(fā)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，豐富乘、除法運(yùn)算的模型內(nèi)涵。

2.數(shù)學(xué)模型的法理體悟

“法理體悟”是數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的內(nèi)在邏輯，建立模型思想是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)模型會呈現(xiàn)不同的顯性樣態(tài)，其思維、方法和邏輯卻是相同的，都是從現(xiàn)實(shí)生活和具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，然后用符號、等式等數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這表明數(shù)學(xué)模型建構(gòu)方法存在同一性。由此，教師要引導(dǎo)學(xué)生明晰數(shù)學(xué)模型的探索意義，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識。當(dāng)某種數(shù)學(xué)模型出現(xiàn)變式時，要幫助學(xué)生體悟相關(guān)模型的內(nèi)涵本質(zhì)存在同一性。

比如，對于“減法的性質(zhì)”，一般表述為：一個數(shù)連續(xù)減去幾個數(shù)，可以用這個數(shù)減去這幾個數(shù)的和，結(jié)果不變。用字母表示為a-b-c=a-（b+c）。在應(yīng)用過程中，還會產(chǎn)生一些變式，如a-b-c=a-c-b，a-（b-c）=a-b+c等，其本質(zhì)都是加法運(yùn)算律的變式。

三、發(fā)展小學(xué)生模型意識的教學(xué)要點(diǎn)

上述探討過程中，筆者結(jié)合2022年版課標(biāo)中關(guān)于模型意識的內(nèi)涵，具體分析了發(fā)展小學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識的目標(biāo)定位。而達(dá)成這些目標(biāo)需要把握以下三個方面的教學(xué)要點(diǎn)。

（一）在多樣的問題解決中感知數(shù)學(xué)模型的抽象過程

現(xiàn)實(shí)生活問題、數(shù)學(xué)情境是抽象數(shù)學(xué)模型的載體。在解決相關(guān)問題的過程中，對同類問題的解答，能促使學(xué)生通過體驗(yàn)、感知、比較、分析等方法，抽象出數(shù)學(xué)模型。如解答如下問題：

（1）一輛汽車每小時行駛60千米，4小時行駛多少千米？

（2）小東每分鐘走70米，4分鐘走多少米？

（3）獵豹每秒可奔跑30米，4秒能跑多少米？

學(xué)生在解答這三個問題的過程中，會產(chǎn)生三個不同水平層次的認(rèn)知：水平一，基于原有經(jīng)驗(yàn)，這三個問題均可以用乘法運(yùn)算來解答，即60×4、70×4和30×4；水平二，這三個問題中，第一個量都是“速度”，第二個量都是“時間”，最后都求解相應(yīng)時間內(nèi)所行走的“路程”，都可以用“速度×?xí)r間”來計(jì)算；水平三，若需要用一個圖來表示這些問題中相應(yīng)數(shù)量的關(guān)系，可以用圖1來表達(dá)。從圖中可以看出單位時間內(nèi)的量（單位量），以及4段即4個單位時間的量（總的量）。求總的量，即算出4個單位時間的量，符合乘法的運(yùn)算意義，因此可用乘法計(jì)算。

用此圖來解釋以上三個問題時，能將問題中數(shù)量之間的關(guān)系準(zhǔn)確地表征出來。學(xué)生也就能夠直觀地感受到三個問題本質(zhì)的同一性：求4個相同量的和，可用乘法計(jì)算。以上三個水平的認(rèn)知，便是學(xué)生對“速度、時間、路程”這一關(guān)系模型的逐步抽象過程。

（二）在建模與解模中拉長數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)體驗(yàn)過程

研究表明，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷一個完整的過程，在習(xí)得知識技能的同時獲取相應(yīng)的基本活動經(jīng)驗(yàn)。建構(gòu)模型的過程中，不僅要有數(shù)學(xué)歸納、抽象的過程，還要有數(shù)學(xué)演繹、應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)歸納、抽象是初步建構(gòu)模型的必要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)演繹、應(yīng)用則是理解模型內(nèi)涵的必要環(huán)節(jié)。

以一年級“加法模型”的建構(gòu)教學(xué)為例來作具體闡述。加法模型實(shí)質(zhì)上表達(dá)的是兩個數(shù)（或量）的合并，即將兩個不相交的有限集合A和B中的元素，合并成一個新的集合C（即集合A與集合B的并集）。在“認(rèn)識加法”的學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過三個層次的學(xué)習(xí)活動，建構(gòu)“加法模型”：活動一，看不同情境，說不同的加法算式；活動二，看不同情境，寫相同的加法算式；活動三，看某個加法算式，想象不同情境。［1］

三個層次的活動中，前兩個活動指向模型的發(fā)現(xiàn)、抽象，后一個活動指向模型的理解與應(yīng)用。整個學(xué)習(xí)過程既充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)生活問題之間的關(guān)聯(lián)，又表現(xiàn)了應(yīng)用模型解釋現(xiàn)實(shí)生活問題的過程。

（三）在多層次運(yùn)用中感受數(shù)學(xué)基本模型與變式模型間的關(guān)系

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)并不止于抽象和結(jié)構(gòu)化提煉，還需結(jié)合應(yīng)用模型的解釋、解答等多層次應(yīng)用，進(jìn)一步體驗(yàn)基本模型與變式模型的關(guān)系，從而完善對基本模型的認(rèn)識，感受數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值。

例如，在人教版教材五年級上冊“植樹問題”的教學(xué)中，教師一般會引導(dǎo)學(xué)生抽象出解決植樹問題的基本模型——“兩端都種”的模型，即“路的總長÷段數(shù)+1=棵數(shù)”，然后在學(xué)生應(yīng)用模型的過程中，引入變式模型，即“一端種”和“兩端都不種”的情況。將“兩端都種”的問題作為基本問題來解答，就是在抽象基本模型；基于此，在學(xué)生有了對基本模型的感知理解后，再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)問題的解決，認(rèn)識變式模型。整個過程中，學(xué)生既在多層次的深度應(yīng)用中完善了解決植樹問題的模型結(jié)構(gòu)，又加深了對解決此問題的基本模型與變式模型間關(guān)系的理解，認(rèn)識到植樹問題是除法運(yùn)算應(yīng)用中的一類典型問題，主要研究段數(shù)與點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系，而基本模型與變式模型只是基于實(shí)際情境的特殊性分析作的恰當(dāng)選擇而已。

總之，發(fā)展小學(xué)生模型意識的過程，實(shí)質(zhì)上就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)從現(xiàn)象認(rèn)識到本質(zhì)理解的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維的重要過程。因此，在日常的教學(xué)實(shí)踐中，一線教師應(yīng)對其給予密切關(guān)注，切實(shí)發(fā)展小學(xué)生的模型意識。

參考文獻(xiàn)：

［1］費(fèi)嶺峰.數(shù)學(xué)模型思想及其教學(xué)策略初探［J］.小學(xué)教學(xué)研究，2013（2）：11-13.

（浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心）