成人計算整數(shù)除法的試商策略探查

鞏子坤 余麗麗

【摘? ?要】試商是整數(shù)除法的重點和難點。當(dāng)前教材對試商策略的編排較為繁瑣，未能關(guān)注到通性通法，導(dǎo)致學(xué)生頻繁出現(xiàn)試商錯誤，而成人在計算整數(shù)除法時，總能表現(xiàn)得游刃有余。為探究易于學(xué)生掌握且長久有效的試商策略，研究調(diào)查了成人計算不同類型的整數(shù)除法時采用的試商策略，并與教材編排的試商策略進(jìn)行比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：成人在采用教材中的四條試商策略之余，還生成了教材之外的“五舍試商法”與“直接試商法”；無論“五入”試商是否需要調(diào)商，成人均主要采用“五舍試商法”；“四舍”或“五入”試商均需調(diào)商時，部分成人一貫采用“直接試商法”。最后，對教材編寫與教師教學(xué)提出建議。

【關(guān)鍵詞】成人；整數(shù)除法；試商；策略

一、研究緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了在運算教學(xué)中要注重運算能力的培養(yǎng)。加、減、乘、除運算是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運算”中最重要的知識與技能，其中，除法雖然是四則運算中最后學(xué)習(xí)的運算，但從學(xué)習(xí)的邏輯順序和內(nèi)容比重上看，它的重要性和難度都不容小覷［1］。現(xiàn)行不同版本教材都以螺旋上升的方式編排有關(guān)整數(shù)除法的內(nèi)容，而“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元是小學(xué)階段整數(shù)除法最后安排的教學(xué)內(nèi)容，在此單元中解決整數(shù)除法的算法問題，可以促進(jìn)算法的遷移［2］。除此之外，相較于其他整數(shù)除法內(nèi)容，“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”無法直接利用口訣試商，且需要多次調(diào)商，計算過程復(fù)雜，學(xué)生容易出現(xiàn)算法錯誤。

因此，研究“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的算法問題具有典型性，其中試商更是學(xué)生運算過程中的“重災(zāi)區(qū)”。學(xué)生在計算除數(shù)是兩位數(shù)的除法時，存在試商速度較慢、試商的除數(shù)選擇不恰當(dāng)?shù)葐栴}，使得計算結(jié)果容易出現(xiàn)偏差［3］14。原因可能是教材在“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元中，過于強調(diào)用“四舍五入法”進(jìn)行試商［4］，且針對不同類型的算式還呈現(xiàn)了“湊五試商法”“同頭無除試商8、9”“除數(shù)折半估商5”等多種試商策略，使得認(rèn)知水平較低的學(xué)生掌握的試商策略過于繁雜，無法形成試商技能［5］，最終導(dǎo)致學(xué)生在計算整數(shù)除法時困難重重。

與之相反，成人在計算整數(shù)除法時往往游刃有余。作為整數(shù)除法的關(guān)鍵運算技能，試商是否被成人完全掌握？成人是否會生成教材之外的試商策略？本研究通過問卷調(diào)查，梳理成人計算除數(shù)是兩位數(shù)和除數(shù)是三位數(shù)的除法時的試商策略，并與教材呈現(xiàn)的試商策略進(jìn)行比較，進(jìn)而為教材編寫與教師教學(xué)提出建議。

二、研究設(shè)計

（一）研究對象

本研究的調(diào)查對象為浙江省某師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的在校大學(xué)生，也就是本文所說的成人。其中，男生26人，女生37人。

（二）研究方法

1. 問卷法

為探查成人計算整數(shù)除法的試商策略，設(shè)計了四道計算題。發(fā)放問卷63份，回收有效問卷63份。

2. 訪談法

為深入了解成人的試商策略，問卷測試完成之后，挑選若干名被試，針對問卷內(nèi)容進(jìn)行一對一訪談，并用錄音筆記錄訪談內(nèi)容。

（三）問卷設(shè)計

問卷共有四個問題，均為整數(shù)除法計算題，但類型有所不同，包括“四舍、無調(diào)商”“四舍、需調(diào)商”“五入、無調(diào)商”和“五入、需調(diào)商”四種類型，具體內(nèi)容如下。

考慮到成人心算的能力已經(jīng)十分成熟，試商的過程可能隱含在成人心算的過程中。因此，要求被試在問卷中不僅要保留筆算過程，還要借助文字或橫式表達(dá)出計算的全過程，從而完整地展示被試的試商策略。例如在計算7942÷47時，可以分兩步來表達(dá)心算過程：第一步，每一次試商時，腦海里最先想到商幾，是如何想到這個數(shù)的？第二步，想到商幾后，通過什么方法驗證試商的結(jié)果是合適的？

（四）數(shù)據(jù)處理

問卷回收后，對問卷內(nèi)容進(jìn)行賦分［6］：計算結(jié)果錯誤，記0分；計算結(jié)果正確，記1分。此外，由兩名評分者對被試計算整數(shù)除法的試商策略分別編碼（具體策略見下文），結(jié)果顯示編碼的一致性信度為0.943，說明編碼的信度較高，并針對不一致的編碼結(jié)果進(jìn)行討論，形成一致意見。

三、研究結(jié)果與分析

（一）成人計算整數(shù)除法的試商策略

1.策略類型

通過對問卷進(jìn)行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)被試主要采取以下五種策略進(jìn)行試商。

策略一：“四舍試商法”。當(dāng)除數(shù)的個位介于0～4之間時，通過“四舍”將除數(shù)看成與它接近的整十?dāng)?shù)，利用乘法口訣試除被除數(shù)［3］15。例如，在計算238÷32時，使用“四舍試商法”，無需調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與被除數(shù)前兩位進(jìn)行比較，23＜32，則商在個位且被除數(shù)向后多看一位；將32“四舍”為30，計算238÷30，聯(lián)想3的乘法口訣，幾×3（十）最接近且小于238，得到個位試商7（如圖1）。

策略二：“五入試商法”。當(dāng)除數(shù)的個位介于5～9之間時，通過“五入”將除數(shù)看成與它接近的整十?dāng)?shù)，利用乘法口訣試除被除數(shù)［3］15。例如，在計算7942÷47時，使用“五入試商法”，無需調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與7942的前兩位進(jìn)行比較，79>47，則商在百位；將47“五入”為50，計算79÷50，聯(lián)想5的乘法口訣，幾×5（十）最接近且小于等于79，得到百位試商1。同理，由于余數(shù)32<47，故商在十位且被除數(shù)向后多看一位，仍將47“五入”為50，計算324÷50，聯(lián)想5的乘法口訣，幾×5（十）最接近且小于等于324，得到十位試商6。以此類推，得到個位試商8（如圖2）。

策略三：“五舍試商法”。當(dāng)除數(shù)的個位介于5～9之間時，將除數(shù)“五舍”為整十?dāng)?shù)后，再利用乘法口訣試除被除數(shù)。例如，在計算7942÷47時，使用“五舍試商法”，需要調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與7942的前兩位進(jìn)行比較，79>47，則商在百位；將47“五舍”為40，計算79÷40，聯(lián)想4的乘法口訣，幾×4（十）最接近且小于等于79，得到百位試商1。同理，由于余數(shù)32<47，故商在十位且被除數(shù)向后多看一位，仍將47“五舍”為40，計算324÷40，聯(lián)想4的乘法口訣，幾×4（十）最接近且小于等于324，得到十位試商8。以此類推，再在個位試商9（如圖3）。

策略四：“湊五試商法”。當(dāng)除數(shù)的個位為4、5、6時，將除數(shù)看作□5（幾十五），通過口算找到幾×□5最接近被除數(shù)，進(jìn)行試商。例如，在計算682÷24時，使用“湊五試商法”，無需調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與682的前兩位進(jìn)行比較，68>25，則商在十位；將24“湊五”成25，計算68÷25，易得3×25>68>2×25，所以十位試商2。同理，由于余數(shù)20<24，故商在個位且被除數(shù)向后多看一位，仍將24“湊五”成25，計算202÷25，易得25×4=100，所以個位試商8（如圖4）。

策略五：“直接試商法”。直接利用做除法想乘法，口算（ ）×除數(shù)最接近被除數(shù)，跳躍加商進(jìn)而調(diào)商［7］。例如，在計算7942÷47時，使用“直接試商法”，需要調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與7942的前兩位進(jìn)行比較，79>47，則商在百位，且47×2>79>47×1，因此在百位上商1；又由于余數(shù)32<47，故商在十位且被除數(shù)向后多看一位，計算324÷47，口算幾×47最接近324，易知1×47和2×47遠(yuǎn)小于324，故跳著試商，發(fā)現(xiàn)5×47和6×47依然小于324，但7×47>324，所以十位商6；最后，由于余數(shù)42<47，故被除數(shù)再向后多看一位，計算422÷47，口算10×47接近但大于422，所以嘗試商9和8，發(fā)現(xiàn)9×47>422，8×47<422，因此在個位商8（如圖5）。

此外，在成人計算過程中，極少部分出現(xiàn)了“除數(shù)折半估商5”和“同頭無除試商8、9”的試商策略，但這是成人在特殊情形下所采用的試商策略，不屬于本研究調(diào)查的四種除法類型下成人所采用的試商策略，故下文不作統(tǒng)計。

2.策略統(tǒng)計

通過統(tǒng)計，得到不同試商策略在不同類型除法算式中的使用率及正確率，如表1所示。

從表1中可以發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)除法算式滿足“四舍、無調(diào)商”時，95.24%的被試采用“四舍試商法”試商，且正確率達(dá)到98.33%；還有4.76%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達(dá)到100.00%。

（2）滿足“四舍、需調(diào)商”時，有58.73%的被試仍采用“四舍試商法”試商，且正確率達(dá)到94.59％；有12.70%的被試選擇“湊五試商法”，且正確率達(dá)到100.00%；還有28.57%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達(dá)到94.44%。

（3）滿足“五入、無調(diào)商”時，有17.46%的被試選擇“五入試商法”試商，且正確率達(dá)到90.91%；有20.64%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達(dá)到92.31%；還有61.90%的被試選擇“五舍試商法”，且正確率達(dá)到94.87%。

（4）滿足“五入、需調(diào)商”時，8.57%的被試仍選擇“五入試商法”試商，且正確率達(dá)到100.00%；還有2.86%的被試選擇“湊五試商法”，且正確率達(dá)到100.00%；然而有34.29%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達(dá)到91.67%；甚至有54.28%的被試選擇“五舍試商法”，且正確率達(dá)到94.74%。

綜上所述，成人在計算不同類型的整數(shù)除法時主要選擇“四舍試商法”或“五舍試商法”，即把除數(shù)看作與它最高位的數(shù)字所對應(yīng)的整十或整百數(shù)進(jìn)行試商，并且正確率較高。

（二）教材中關(guān)于整數(shù)除法計算的試商策略

通過梳理人教版教材中“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元中的例題與課后習(xí)題，得到教材中關(guān)于整數(shù)除法的試商策略，如表2所示。

同樣，通過統(tǒng)計教材中對于不同類型的除數(shù)是兩位數(shù)的除法所采用的策略，得到不同策略在不同類型除法算式中的使用率，如表3所示。

（三）成人與教材的試商策略比較分析

1. 一致性

（1）除法算式滿足“四舍、無調(diào)商”時，成人的計算策略與教材的策略均為“四舍試商法”

通過上述調(diào)查統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，對于滿足“四舍、無調(diào)商”的除法算式，教材采用“四舍試商法”，即把除數(shù)看作和它接近的整十?dāng)?shù)去試除被除數(shù)。在此類除法中，95.24%的被試采用的策略與教材策略一致。

（2）除法算式滿足“四舍、需調(diào)商”時，成人的主要計算策略與教材的主要策略均為“四舍試商法”

對于滿足“四舍、需調(diào)商”的除法算式，教材主要采用“四舍試商法”，僅在少部分習(xí)題中選擇“湊五試商法”。在此類除法中，有58.73%的被試采用“四舍試商法”，12.70%的被試采用“湊五試商法”。因此，超七成的被試采用的策略與教材策略一致。

2. 差異性

（1）除法算式滿足“五入、無調(diào)商”時，教材使用“五入試商法”，成人主要采用“五舍試商法”

對于滿足“五入、無調(diào)商”的除法算式，教材僅介紹“五入試商法”。在調(diào)查中，僅有17.46%的被試采用與教材一致的試商策略。另有61.90%的被試選擇“五舍試商法”、20.64%的被試選擇“直接試商法”試商，這與教材中的策略產(chǎn)生了差異。通過訪談得知，成人認(rèn)為，“五舍試商法”將除數(shù)“五舍”后，保持除數(shù)的最高位不變，可以直接觀察最高位快速試商，無需人為賦予一個新的除數(shù)，盡管調(diào)商次數(shù)可能會增加，但只需重復(fù)調(diào)小余數(shù)直至小于除數(shù)即可；“直接試商法”可以直接通過口算乘法試商并通過跳躍加或減商進(jìn)行調(diào)整，直至余數(shù)小于除數(shù)。兩種策略的產(chǎn)生均源于成人追求直觀且熟練口算乘法。

（2）除法算式滿足“五入、需調(diào)商”時，教材主要使用“五入試商法”，成人主要采用“五舍試商法”以及“直接試商法”

對于滿足“五入、需調(diào)商”的除法算式，教材主要采用“五入試商法”，僅在少部分習(xí)題中使用“湊五試商法”。在調(diào)查中，僅有11.43%的被試采用的策略與教材策略一致。另有54.28%的被試采用“五舍試商法”試商，34.29%的被試采用“直接試商法”試商，這與教材中的策略產(chǎn)生了差異。這同樣也是因為成人對直觀的追求以及對口算乘法的熟練掌握。此外，只有當(dāng)除數(shù)為25或26時，成人才會考慮使用“湊五試商法”，一方面是因為25易于構(gòu)建整百數(shù)，另一方面是由于成人經(jīng)過長期的練習(xí)，對25的幾倍數(shù)已形成長時記憶，可直接將25的幾倍數(shù)與被除數(shù)進(jìn)行比較，提高了試商效率。

四、研究結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

1. 成人仍繼續(xù)使用教材中的四種試商策略，并生成了“五舍試商法”與“直接試商法”

成人在整數(shù)除法的運算過程中依然繼續(xù)使用教材中的“四舍試商法”“五入試商法”“湊五試商法”“同頭無除試商8、9”四種試商策略，但也使用了教材之外的“五舍試商法”與“直接試商法”。但是，針對不同類型的整數(shù)除法，成人采用的主要試商策略與教材并不完全一致，并且成人已不常用“五入試商法”與“湊五試商法”。

2. 無論“五入”試商是否需要調(diào)商，成人均主要采用“五舍試商法”

在各種類型的整數(shù)除法中，成人主要考慮使用“舍”的策略進(jìn)行試商。其中，在計算“四舍、無調(diào)商”和“四舍、需調(diào)商”類型的除法算式時，成人與教材采用的策略一致，均主要采用“四舍試商法”。然而，在計算“五入、無調(diào)商”和“五入、需調(diào)商”類型的除法算式時，為了提高試商的效率，成人使用的策略不同于教材，主要采用“五舍試商法”。

3. “四舍”或“五入”試商均需調(diào)商時，部分成人一貫采用“直接試商法”

在各種類型的整數(shù)除法中，均有成人使用“直接試商法”試商。其中，在計算“四舍、需調(diào)商”和“五舍、需調(diào)商”類型的除法算式時，更多的成人采用“直接試商法”試商。這恰恰說明大部分成人在計算復(fù)雜的除法時，會拋棄生硬的技巧，回歸最直接的乘除法的關(guān)系進(jìn)行找商。

（二）建議

1. 適當(dāng)補充“五舍試商法”，幫助學(xué)生養(yǎng)成靈活試商的意識

眾所周知，教材只是一個教學(xué)工具，教師應(yīng)該“用教材”，而不是“教教材”。在“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元中補充“五舍試商法”內(nèi)容作為思考環(huán)節(jié)，有助于教師引導(dǎo)學(xué)生比較“五入試商法”和“五舍試商法”二者的優(yōu)缺點，感受“五舍試商法”與“五入試商法”并無本質(zhì)區(qū)別，僅在找商的效率上有所不同，進(jìn)而幫助學(xué)生選擇試商策略，養(yǎng)成靈活試商的意識。

2. 貫徹“直接試商法”，促進(jìn)學(xué)生掌握除法運算的通性通法

運算過程中對通性通法的追求可以使個體的思維更加靈活，運算更加優(yōu)化［8］。“直接試商法”作為個體除法運算的自然狀態(tài)，應(yīng)該是除法運算的通性通法，能夠帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷試錯和比較的過程，從而解決除法運算問題。因此，教材在“表內(nèi)除法”“有余數(shù)的除法”“除數(shù)是一位數(shù)的除法”以及“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元應(yīng)貫徹 “直接試商法”的策略。

3. 重視口算乘法的訓(xùn)練教學(xué)，提升學(xué)生的運算能力

成人之所以偏向于使用“五舍試商法”和“直接試商法”進(jìn)行試商，是因為他們具有很好的口算能力。口算是學(xué)生計算的基本能力，教師在教學(xué)整數(shù)除法的過程中仍需重視學(xué)生口算乘法的訓(xùn)練，以推動學(xué)生運算能力的逐步提升。在學(xué)生熟練掌握基本試商方法之余，教師可以適當(dāng)傳授“同頭無除試商8、9”“湊五試商”“除數(shù)折半估商5”等策略，在有效提升他們運算能力的同時，培養(yǎng)他們的數(shù)感，提升他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

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（1.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院?2.杭州師范大學(xué)中國教育現(xiàn)代化研究院）