百分數(shù)“統(tǒng)計意義”的認知與思考

虢小鵬

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》將百分數(shù)從“數(shù)與代數(shù)”領域調整至“統(tǒng)計與概率”領域，將百分數(shù)作為“統(tǒng)計量”進行教學，意在使學生著重感悟百分數(shù)的統(tǒng)計意義，發(fā)展數(shù)據(jù)意識。

統(tǒng)計側重于研究不確定性事件，研究的基礎是隨機數(shù)據(jù)，重點是感悟數(shù)據(jù)的隨機性，通過數(shù)據(jù)來推斷產生數(shù)據(jù)的背景，并能進行分析和說理。在教學“統(tǒng)計意義”時，要幫助學生：感受隨機現(xiàn)象在現(xiàn)實世界中普遍存在，要想研究它們，就要通過調查得到數(shù)據(jù)；結合情境理解數(shù)據(jù)推斷的結果具有“不確定性”，即使是相同的數(shù)據(jù)，得出的結論也可能不一樣；體會隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小是可以預測的。

【教學目標】

1.結合生活素材，探索百分數(shù)的數(shù)學意義，感悟隨機數(shù)據(jù)中蘊含的信息，體會百分數(shù)的統(tǒng)計意義。

2.在交流、對比、分析、判斷、預測等活動中，進一步體會百分數(shù)的統(tǒng)計意義，發(fā)展數(shù)據(jù)意識、應用意識和實踐能力。

3.在真實情境中，感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展用數(shù)學的語言表達與交流的能力，初步形成講道理、有條理的思維品質。

【教學重點】

明確生活中常見百分數(shù)的具體含義；感受百分數(shù)的統(tǒng)計意義。

【教學難點】

能根據(jù)由隨機數(shù)據(jù)得到的百分數(shù)做判斷和決策，增強數(shù)據(jù)意識。

【教學過程】

一、聯(lián)系生活：理解百分數(shù)表達確定數(shù)據(jù)

（一）在生活中找百分數(shù)，并解釋含義

師：課前，老師讓大家收集了一些生活中的百分數(shù)，誰來說一說你收集到的百分數(shù)，并解釋一下它的含義？

生：我找的是果汁含量30%。果汁飲料的總量是單位“1”，平均分成100份，果汁含量占其中的30份，還可以說果汁含量是果汁飲料總量的30%。

生：我找的是衣服羊絨含量13.5%，表示羊絨含量是衣服總成分的13.5%。

師：你能換個說法來表示嗎？

生：如果把衣服總成分看成1000份，羊絨含量占其中的135份。

生：我找的例子是電腦中的下載進度條16%。需要下載的總量是單位“1”，平均分成100份，已下載的占其中的16份，還可以說已下載的進度是總任務的16%。

（二）借助圖形，明確百分數(shù)意義

師：老師也收集了一些百分數(shù)，我們一起來看看它們各表示什么含義。

教師出示：某汽車今年的銷售量比去年同期增長120%。

生：表示今年的銷售量是去年的220%。

生：將去年的銷售量看作單位“1”，今年的銷售量在去年的基礎上增長了120%，也可以理解為今年的銷售量是去年銷售量的2.2倍（如圖1）。

師：上學期我們班期末數(shù)學考試的優(yōu)良率達到了85%（70～79分為良好，80～100分為優(yōu)秀）。這句話你們怎么理解？

生：優(yōu)秀和良好的人數(shù)是總人數(shù)的85%。

（三）梳理百分數(shù)的意義

師：通過剛才的討論，你覺得什么是百分數(shù)？

生：百分數(shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

師：百分數(shù)表示的是兩個數(shù)的倍數(shù)關系，也叫百分率或百分比。

設計思考：百分數(shù)表示兩個量的倍數(shù)關系。對于學生來說，這是一個新的概念。雖然學生有一些生活經驗，但他們所認知的百分數(shù)大多是“部分與整體的倍數(shù)關系”。因此，需要用不同學習材料進一步豐富學生的認知，讓他們知道百分數(shù)是可以超過100%的，并在辨析中不斷豐富百分數(shù)的內涵，擴大百分數(shù)的外延，感受百分數(shù)給生活帶來的便利性，也為百分數(shù)統(tǒng)計意義的學習做好鋪墊。

二、初步體會：運用百分數(shù)做推斷具有不確定性

◆活動一：體質健康優(yōu)良率

教師出示學習材料：國家中小學生體質健康監(jiān)測由50米跑、坐位體前屈、跳繩、肺活量等項目組成，再綜合年齡、身高、體重等因素，根據(jù)學生學年總分評定等級：90.0分及以上為優(yōu)秀，80.0～89.9分為良好，60.0～79.9分為及格，59.9分及以下為不及格。教育部公布：2022年我國中小學生體質健康優(yōu)良率達33%，學生健康素養(yǎng)和健康水平得到進一步提高。

師：從這則材料中，你得到了哪些信息？

讓學生進行小組討論：

（1）你怎樣理解2022年我國中小學生體質健康優(yōu)良率達33%？

（2）你知道33%的結論是調查了哪些對象得出的嗎？

（3）你覺得我們學校學生的體質健康優(yōu)良率也是33%嗎？

（4）要想知道我們學校學生的體質健康優(yōu)良率，需要怎么做？

教師組織全班匯報。

生：體質健康優(yōu)良率達33%，表示體質健康良好的人數(shù)加優(yōu)秀的人數(shù)，一共占參加監(jiān)測學生總數(shù)的33%。

生：33%是調查了全國所有的高中生、初中生和小學生后，通過計算得出的結論。

生：我們學校學生的體質健康優(yōu)良率，可能比全國中小學生體質健康優(yōu)良率高，也可能比全國中小學生體質健康優(yōu)良率低。

生：讓全校學生都參加體質健康監(jiān)測，統(tǒng)計出優(yōu)秀和良好的人數(shù)，再除以我們學校的總人數(shù)，就可以求出我們學校學生的體質健康優(yōu)良率。

師：那我們學校學生2022年的體質健康數(shù)據(jù)到底是多少呢？

教師出示：光谷七小2022年學生體質健康優(yōu)良率為33.78%。

師：看到這個數(shù)據(jù)，你們有什么想說的？

生：我們學校學生的體質健康優(yōu)良率高于全國學生。

師：為什么我們學校學生的體質健康優(yōu)良率會高于全國中小學生體質健康優(yōu)良率？

師：33%是調查了全國的中小學生得出的，涉及人數(shù)較多。我們國家雖然已經全面脫貧，但地區(qū)之間的經濟情況仍然有差異。有些地區(qū)學生的體質情況不佳，拉低了優(yōu)良率；而我們學校學生都很愛鍛煉，營養(yǎng)也很好，所以體質健康優(yōu)良的學生占比相對來說多一些。

師：那是不是武漢所有學校都和我們學校一樣是33.78%呢？

生：武漢各個地區(qū)之間也有差異，每個學校學生的情況都不一樣，所以不一定都是33.78%。

◆活動二：學生近視率

教師出示學習材料：2021年我國中小學生總體近視率為53.6%，光谷七小2021年學生近視率為35.37%。

師：誰來解釋一下這兩個數(shù)據(jù)各表示什么意思？

生：全國中小學學生近視人數(shù)占總人數(shù)的53.6%。

生：我校近視人數(shù)占學校總人數(shù)的35.37%。

師：比較這兩個數(shù)據(jù)，你有什么想法？

生：我校學生近視情況比全國學生近視情況好一些。

生：53.6%是調查了全國的高中生、初中生和小學生得到的數(shù)據(jù)，而35.37%是只調查了我們學校的小學生得到的數(shù)據(jù)。

師：你覺得是什么原因造成了全國近視率高于我校近視率？

生：相對來說，高中生和初中生學習時間比較長，近視率會更高，導致全國的近視率要高于我校的近視率。

師：通過前面的研究，我們不僅知道了百分數(shù)可以表示像果汁含量30%、衣服羊絨含量13.5%這樣確定的結果，還知道了可以由全國的體質健康優(yōu)良率，大致推斷出我校的體質健康優(yōu)良率，但結果并不準確。由此發(fā)現(xiàn)，百分數(shù)不但可以表示確定的結果，還能幫助人們依據(jù)數(shù)據(jù)背景推斷可能的結果，但結果不是百分之百準確。因此，運用百分數(shù)進行推斷還具有不確定性，此時，它發(fā)揮著統(tǒng)計量的作用。

設計思考：學生在學校每年都要參與體質健康測試及視力健康檢查，本環(huán)節(jié)呈現(xiàn)的兩則學習材料非常貼近學生生活，讓學生對百分數(shù)從“數(shù)的認識”逐漸上升到“統(tǒng)計量”的認識。學生基于真實背景，在比較中明確百分數(shù)是通過對事物的調查統(tǒng)計而產生的，初步感受隨機數(shù)據(jù)，以及運用百分數(shù)做推斷具有不確定性。學生由此明白，要想推斷的結果盡可能正確，就要了解數(shù)據(jù)的來源背景。在描述、比較、歸納的過程中，學生逐步發(fā)展數(shù)據(jù)意識。

三、判斷決策：感悟百分數(shù)表達隨機數(shù)據(jù)的統(tǒng)計意義

師：既然運用百分數(shù)做推斷具有不確定性，那推斷的結果是不是就沒有意義呢？

◆活動三：航班準點率

教師出示學習材料：準點率，又稱正點率，指航空旅客運輸部門在執(zhí)行運輸計劃時，航班實際到達時間和計劃到達時間較為一致的航班數(shù)量與全部航班數(shù)量的比率。計算方法：用最近30天內出現(xiàn)延誤情況的航班數(shù)，除以30天內所有的航班數(shù)量，得出延誤率。準點率=100%-延誤率。

師：現(xiàn)實生活中有沒有運用準點率來做決定的事呢？明天（5月24日），老師要從武漢出發(fā)前往北京出差。因為行程安排，要保證在上午11點前抵達北京。有三趟航班（如表1）符合老師的出行時間要求，請你為老師選擇一趟出行的航班。

生：選擇南方航空。

師：那我們來研究下南方航空這趟班機。

教師先出示南方航空這趟班機4月24日—5月23日飛行準點情況，接著出示4月22日和4月23日的情況（如表2）。

師：現(xiàn)在你有什么想說的？

生：這趟飛機并不是一直準點的。

師：如果老師明天乘坐這趟航班，一定能準點到達嗎？

生：不一定。雖然近30天的準點率是100%，但這是已經發(fā)生了的數(shù)據(jù)。

師：那這三趟航班中，老師是否依然選擇南方航空？

生：雖然明天這趟航班可能準點也可能不準點，但根據(jù)以往的數(shù)據(jù)，在這三趟航班中，南方航空的準點率是最高的，所以依然要選擇它。

設計思考：飛機的“準點率”是一個典型的隨機數(shù)據(jù)統(tǒng)計量，要求學生由已經發(fā)生的事件來推斷未發(fā)生的事件。因此，對已經掌握的數(shù)據(jù)進行分析、推理顯得尤為重要。受限于學生的年齡特征與認知水平，與上述兩則學習材料中的數(shù)據(jù)描述相比，分析與解釋飛機準點率數(shù)據(jù)對學生而言更具有挑戰(zhàn)性，也更能增強他們的數(shù)據(jù)意識。學生圍繞數(shù)據(jù)來源背景對數(shù)據(jù)進行深入分析，能進一步感受百分數(shù)的“統(tǒng)計意義”：百分數(shù)是對隨機數(shù)據(jù)的刻畫，現(xiàn)實生活中有很多事件無法確定具體的結果，但能根據(jù)已有的數(shù)據(jù)找到事物發(fā)展的規(guī)律，以此作出推斷，而推斷過程的本質是根據(jù)得到的數(shù)據(jù)進行推理，沒有對錯之分。

【教學反思】

本內容的教學在第一個環(huán)節(jié)讓學生收集相關信息，解釋生活中的百分數(shù)，并用圖形對百分數(shù)進行表征，意在幫助學生建立百分數(shù)的“數(shù)學意義”，并引導學生思考：離開了這些生活中的情境，百分數(shù)的本質是表示兩個量的倍數(shù)關系。

在學生理解像果汁含量、羊絨含量這樣確定的數(shù)據(jù)之后，教師再讓學生通過探究體質健康優(yōu)良率、近視率、準點率這三個活動，進一步感受百分數(shù)既可以表示確定數(shù)據(jù)中兩個量的倍數(shù)關系，也可以表示隨機數(shù)據(jù)中兩個量的倍數(shù)關系，且用百分數(shù)描述隨機數(shù)據(jù)的倍數(shù)關系時，百分數(shù)具有“統(tǒng)計意義”。

通過三個活動的探究，學生明白現(xiàn)實世界中隨機現(xiàn)象是普遍存在的，感受“可能發(fā)生”與“可能不發(fā)生”或者發(fā)生的程度是怎樣的，體會作為統(tǒng)計量的百分數(shù)在預測和判斷事件發(fā)生的可能性時起著重要的作用；感悟生活中用已經掌握的數(shù)據(jù)去推斷未發(fā)生過的事件，能推測出結果可能的水平。在探究中逐步養(yǎng)成用統(tǒng)計的思維思考的習慣，學會用統(tǒng)計的眼光看待現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象。

本設計試圖突破過往教學中過于側重百分數(shù)的“數(shù)學意義”，而忽視滲透數(shù)據(jù)意識和感悟隨機現(xiàn)象的困境。教師以貼近學生生活經驗的體質健康優(yōu)良率、近視率、準點率這些隨機數(shù)據(jù)為教學重點材料，讓學生通過充分的討論、質疑，感受百分數(shù)的統(tǒng)計意義，并在質疑、分析、推理、判斷等活動中，自然地傳遞給學生一種“隨機思維”，以達到提高學生統(tǒng)計思維水平的目的，使學生在現(xiàn)實生活中能夠辯證地看待事物，養(yǎng)成自覺用數(shù)據(jù)說話的習慣。常見的隨機數(shù)據(jù)需通過隨機抽樣得到，但囿于課堂教學時長和容量，本內容沒有讓學生親自體驗“抽樣”收集數(shù)據(jù)的過程，因此學生在如何產生數(shù)據(jù)能讓樣本更具代表性上的體會較弱，留下了些許遺憾，有待大家討論與思考。

（湖北省武漢市光谷第七小學）