經歷多元表征，發展模型意識

王立

【摘? ?要】模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。建立模型的過程其實就是將實際問題數學化、同類問題模型化的過程，這個過程一般需要通過數學化的多表征來實現。教師結合人教版教材三年級上冊“歸一問題”的應用練習，對數學表征在學生模型意識發展中的應用及意義進行分析和實踐，通過“從情景表達到關系理解，借助語言表征感受模型；從數據分析到圖式表達，借助圖像表征理解模型；從文字表述到操作活動，借助動作表征具化模型；從形象表述到抽象表達，借助形式表征感悟模型”，引導學生在解決“歸一問題”的過程中，經歷不同的表征體驗，豐富對數學模型的建構，在幫助學生解決問題的同時，發展其模型意識。

【關鍵詞】數學表征；模型意識；歸一問題

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）指出：模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。應用模型意識的基本途徑是知道利用數學模型來解決同一類問題，然后有意識地用數學的概念與方法解釋或解決現實生活中大量與數學有關的問題。因此，建立模型的過程其實就是將實際問題數學化、同類問題模型化的過程。要讓學生體會數學與生活之間的聯系，要引導學生將情境問題轉化為數學問題，在所要建立的數學模型與自身已有的數學認知之間建立聯系，而這個過程一般需要通過數學化的多元表征來實現。

一、數學表征在發展學生模型意識中的意義

數學學習中，對概念、法則、運算等方面的學習，既包括內隱的心理層面的知識整合與建構，也包括外顯的能夠呈現認知過程和認知結果的多樣化數學表達，這些過程即為數學表征。學生只有獲得這兩個方面的體驗，才能真正掌握知識的學習。

根據數學表征中的不同要素，可以將數學表征分為直觀形象表征和抽象形式表征兩類。直觀形象表征一般包括動作表征、情景表征、圖像表征等，抽象形式表征則一般包括符號表征、算式表征、結構圖表征等。不同的數學表征體現著學生對問題理解和解決過程的結構化表達水平，反映了他們不同的思維狀態與水平。在教學過程中，教師需要關注各種表征方式的特點，結合問題關聯不同的表征方式，幫助學生從整體上把握解決問題的關鍵點，建構起相關問題的數學模型。

2022年版課標提出發展小學生的模型意識，強調學生對數學模型普適性的初步感悟，引導學生經歷應用模型或解決問題的過程，從而獲得建構模型的經驗。學生要發展的模型意識一般會涉及模型的豐富表達形式——外在表征、模型的心理表達（表象）形式——內在表征，以及內外表征之間的轉化。因此，要將2022年版課標提出的目標要求落實到教學實踐中，需要教師在學生建構模型的過程中，將多種表征有機融合起來，發揮各種表征特有的認知、感悟價值，助力學生模型意識的發展。本文結合人教版教材三年級上冊“歸一問題”的應用練習，對數學表征在學生模型意識發展中的應用及意義進行分析和實踐。

二、數學表征在“歸一問題”模型建構中的應用

“歸一問題”是指含有“歸一”數量關系的問題，這類問題中，每份量是一定的，總量與數量成正比例關系。解答“歸一問題”時，在用除法求出每份量后，若通過“每份量×數量”求總量即為“正歸一”，若通過“總量÷每份量”求數量則為“反歸一”。“歸一問題”是一種典型的問題解決數學模型，是小學階段理解數學和生活的聯系，分析和解決問題的重要內容。三年級學生在學習“歸一問題”后，積累了較為豐富的收集信息、分析信息的能力，并能利用“畫圖”等方式理解“歸一問題”的基本特征。下面，筆者結合相應的練習，從數學表征的角度對“歸一問題”模型的建構與應用過程進行分析和實踐。

（一）從情景表達到關系理解，借助語言表征感受模型

語言表征即利用口頭語言描述模型結構的表征方式。將現實生活情境轉化為數學問題，是建立“歸一問題”模型的起點，這要求學生利用自己的語言把現實情境轉化為數學問題，并通過口頭表達對情境中的“歸一問題”結構進行闡述。在這一過程中，學生需要對情景問題中的信息進行觀察、思考、分析和處理，這是感知“歸一問題”模型的基礎。

問題：三個小朋友一起到商店買吉祥物“冰墩墩”。丁丁要買3個，紅紅要買5個，明明要買7個。已知3個冰墩墩的價格是24元，求出5個、7個冰墩墩的價格，以及88元可以買幾個冰墩墩（如表1）。

針對這個問題，學生能理解“先求1個冰墩墩的價格，再求出幾個冰墩墩的價格或能買幾個冰墩墩”的解題過程。但僅僅停留在求解層面，對學生理解“歸一問題”模型是遠遠不夠的。教師需要引導學生用數學語言把解決問題的關鍵點表述出來，強化學生對“歸一問題”模型結構的感知。教學中，教師要在學生解決相應問題后，組織學生討論：解答“5個、7個冰墩墩的價格”和“88元可以買幾個冰墩墩”這兩個問題的思考過程有什么相同的地方？學生經過討論發現：解決這兩類問題都要先算出冰墩墩的單價。這一學習過程引導學生通過口頭交流，借助語言表征的方式凸顯解決問題的關鍵點，體現“歸一問題”中“一份量”的重要性。

（二）從數據分析到圖式表達，借助圖像表征理解模型

受認知水平和思維方式的局限，小學生的抽象思維能力較弱，他們需要借助圖形等直觀形象進行表征，由此理解模型。對三年級學生來說，“歸一問題”的結構比較抽象，且由于提供的數據不同，會產生不同的模型結構（正歸一、反歸一），這給一部分學生的學習帶來了困難。因此，教師在課堂上要引導學生用畫圖的方式對問題進行結構化表達，從而讓學生理解“歸一問題”模型的基本結構。

問題：王阿姨4分鐘包了128個餛飩。照這樣的速度，王阿姨8分鐘能包多少個餛飩？

在探究這一問題的過程中，教師要鼓勵學生用文字或畫圖的方式將自己的想法表達出來。學生的想法主要有以下兩種。

第一種（如圖1）：先算1分鐘包多少個餛飩，再算8分鐘可以包多少個餛飩，即先算“一份量”，再求“總量”。

第二種（如圖2）：學生發現8分鐘里面有2個4分鐘，于是利用時間的倍數關系，把“4分鐘包了128個餛飩”看作“一份量”，算這樣的2份，就是8分鐘包的餛飩數。

學生通過畫圖的方式對包餛飩的情境進行“轉譯”，發現要解決“8分鐘包多少個餛飩”的問題，既可以“先算1分鐘包多少個餛飩，再算8分鐘可以包多少個餛飩”，又可以“先把4分鐘包128個餛飩看作1份，再算2份可以包多少個餛飩”。雖然這兩種方法不同，但它們都是在思考“一份量”是多少，再在此基礎上算出“總量”。在畫圖的過程中，學生能夠通過具象化的“圖像表征”，直觀感受到“歸一問題”的多樣結構，豐富對此類數學模型的認知。

（三）從文字表述到操作活動，借助動作表征具化模型

動作表征是指通過動作反應對知識進行表征。有些數學模型的構建需要通過動作表征進行描述，而一些復雜問題同樣需要通過操作活動，借助動作表征來理解數量關系，從而厘清解決問題的關鍵點。“歸一問題”中也有一些相對復雜的問題，需要學生借助操作活動厘清關系，并將數學模型具體化，進而解答問題。

問題：周末，小聰和小明兩家人去美術館參觀。已知2名成人和1名兒童需要門票25元。現在有4名成人和2名兒童，需要門票多少元？

在這個問題中，由于成人與兒童的門票價格不同，學生不能算出成人門票和兒童門票的單價，這給他們解決此問題帶來了困難。此時，教師在黑板上呈現人物圖片，讓學生用這些材料進行操作活動。學生通過操作，發現可以把2名成人和1名兒童看作一個整體，那么4名成人和2名兒童就可以組成2個這樣的整體，此時再解決這個問題就簡單多了。

解決買票問題的關鍵是要把“每份量”從一個、一組上升到多個對象組成的整體。因此，教師要利用可以移動的圖片，引導學生在操作活動中感受數學模型的結構，豐富“歸一問題”的模型結構，幫助學生積累解決“歸一問題”的活動經驗。

（四）從形象表述到抽象表達，借助形式表征感悟模型

所謂形式表征，就是運用符號、數字及結構化的圖式來表達數學結構。學生在構建“歸一問題”的模型時，往往只記表象不知內涵。這是因為“歸一問題”的外顯特征比較容易識別，結構中隱含的本質屬性卻不易發現。所以教師要幫助學生經歷符號、數字以及結構化圖式等形式表征的過程，讓他們發現不同情境問題中的相同數學結構，理解“歸一問題”的本質屬性。這一過程不是在某個環節中能夠完成的，而是要體現在整節課的教學過程中。

比如，學生解決了“買冰墩墩”“包餃子”等問題后，既有了把現實情境轉化為自己的語言來理解的經驗，又有了利用圖像表達現實情境、理解圖式與現實情境之間關系的經驗。此時，教師要將解決這些問題的算式以及思考過程中的關鍵點呈現在黑板上，圍繞這些學習素材，引導學生梳理知識之間的關聯點，并借助符號、數字以及結構化的工具進行整理歸納，形成思維過程的結構化。

如圖3所示，圖中的算式與圖式關系都是在分析基礎上得到的。學生通過對黑板上內容的觀察、思考、比較、聯系，發現“歸一問題”中的“一”可以是一個的量，可以是一組的量，還可以是一個整體。這樣的整理歸納借助形式化的表征，能夠幫助學生厘清“歸一問題”的模型結構，同時有助于學生將單一的形象思維轉化為整體的形式化思維，真正理解“歸一問題”模型的內涵。

總之，要讓學生感悟數學模型的本質，需要引導學生進行多元數學表征。通過不同表征之間的互譯、聯結，從復雜的情景中舍去一切非本質屬性，得到探究問題的一般模型，是學生發展模型意識必須經歷的過程。

參考文獻：

［1］席愛勇，李賓.數學多元表征學習的理論與實踐［M］.南京：南京大學出版社，2018.

［2］程紅霞.以多元表征學習深化學生的數學理解［J］.小學數學教師，2021（10）：12-16，2.

（杭州師范大學附屬嘉興經開實驗小學）