基于模型視角 凸顯單位“1”

薛群

【摘? ?要】在小學(xué)階段，有關(guān)分?jǐn)?shù)乘、除法的“解決問(wèn)題”是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“表達(dá)單位‘1，借助圖式模型理解關(guān)系；變換單位‘1，借助模型理解數(shù)量關(guān)系；統(tǒng)一單位‘1，解構(gòu)模型來(lái)解決問(wèn)題”等過(guò)程，提升問(wèn)題分析技巧，提高對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解與應(yīng)用水平，改善對(duì)分?jǐn)?shù)問(wèn)題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】模型；單位“1”；分?jǐn)?shù)問(wèn)題

在小學(xué)階段，“1”有兩方面含義。一是具體量的1，即自然數(shù)的基本單位，幾個(gè)1就是幾；二是抽象概念的1，即單位“1”。一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或是一些物體等都可以看作一個(gè)整體，用1來(lái)表示。自然數(shù)1是單位“1”認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)單位“1”的認(rèn)識(shí)，又是數(shù)學(xué)抽象認(rèn)知的開端。小學(xué)階段是學(xué)生的認(rèn)知從自然數(shù)1向單位“1”過(guò)渡的關(guān)鍵時(shí)期。教師可以圖1為例，引導(dǎo)學(xué)生理解從自然數(shù)1到單位“1”的發(fā)展過(guò)程。

如圖1所示，三幅圖中的“1”具有不同的含義：①號(hào)圖將1個(gè)蘋果抽象為1，表示自然數(shù)1，圖中有6個(gè)蘋果，表示6個(gè)1；②號(hào)圖將2個(gè)蘋果看作1份，此時(shí)原來(lái)的6個(gè)蘋果就成了3份，即3個(gè)1份；③號(hào)圖將6個(gè)蘋果看作一個(gè)整體，也就是分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)中所說(shuō)的單位“1”，此時(shí)表征1個(gè)蘋果要用分?jǐn)?shù)?。從以上變化過(guò)程不難看出，建立“1”視角的本質(zhì)是人們?cè)谂c情境的互動(dòng)中，根據(jù)不同對(duì)象或解決問(wèn)題的需要而給出的數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。

建立單位“1”是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的起點(diǎn)，也是解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)。然而，在教學(xué)實(shí)踐中，時(shí)常存在學(xué)生對(duì)單位“1”的理解不透徹、套用形式化的數(shù)量關(guān)系、借助機(jī)械性的解題方法等問(wèn)題。基于上述認(rèn)識(shí)，筆者以人教版教材六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”“分?jǐn)?shù)除法”單元中的“解決問(wèn)題”為例，從數(shù)學(xué)模型出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生著眼于單位“1”的厘清與建構(gòu)，探究解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的基本策略。

一、表達(dá)單位“1”，借助圖式模型理解關(guān)系

解答分?jǐn)?shù)乘、除法問(wèn)題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確找出單位“1”。那么，如何從問(wèn)題情境中理解單位“1”，再?gòu)膯挝弧?”入手，把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系呢？教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“圖形”的表達(dá)，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖式信息，于圖式模型中理解相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

（一）利用面積模型，理解整體與部分的關(guān)系

當(dāng)分?jǐn)?shù)表示整體與部分的關(guān)系時(shí)，對(duì)這一關(guān)系的分析就成為解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的關(guān)鍵，能使許多分?jǐn)?shù)問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)單明了。

【例1】一根繩子長(zhǎng)6米，剪去了?，剪去了幾米？

例1中，“一根繩子”是整體，“剪去的”為部分，并且隱藏了另一部分，即“剩下的”。教學(xué)時(shí)，可以追溯到分?jǐn)?shù)的意義：把“一根繩子”（整體）平均分成6份，“剪去的”（部分）是其中的5份，“剩下的”（部分）是其中的 1 份。這樣學(xué)生自然就能聯(lián)系到是把整體看作單位“1”。當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用圖形表示出繩子“總長(zhǎng)”與“剪去部分”的關(guān)系時(shí)，除了讓學(xué)生用線段圖表示外，還可以讓學(xué)生用面積模型圖（如圖2）來(lái)表示。這不僅能強(qiáng)化整體（單位“1”）與部分之間的關(guān)系，還能豐富學(xué)生的表征方式。

（二）利用集合模型，把握變與不變的關(guān)系

當(dāng)分?jǐn)?shù)表示分率時(shí)，需要分析相應(yīng)分?jǐn)?shù)所表示的意義，把握“分率”的本質(zhì)，將信息背后可變的量與不變的關(guān)系表達(dá)出來(lái)，并應(yīng)用關(guān)系的不變性來(lái)解決相應(yīng)的問(wèn)題。

【例2】植物園里有120棵桃樹，是楊樹的?，楊樹有多少棵？

解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是厘清?的含義。“楊樹的?”，就是把“楊樹的棵數(shù)”作為一個(gè)整體（即單位“1”）平均分成4份，其中的3份是桃樹。由此，得到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系：桃樹的棵數(shù)÷3×4=楊樹的棵數(shù)。學(xué)生解答問(wèn)題時(shí)，可先根據(jù)桃樹的棵數(shù)算出1份的量，楊樹有這樣的4份，所以桃樹的棵數(shù)×4就等于楊樹的棵數(shù)。若輔之以圖式，則可以集合圖（如圖3）的形式加以表征。從圖中信息可知，桃樹棵數(shù)是楊樹棵數(shù)的?，所以它們之間始終是3份和4份的關(guān)系，只是楊樹棵數(shù)會(huì)隨著桃樹棵數(shù)的變化而變化。現(xiàn)在已知3份的量，即知道單位“1”的量的?是120棵，就可列式[120÷34]，求得單位“1”的量。

（三）利用線段模型，厘清比較量與標(biāo)準(zhǔn)量的關(guān)系

分?jǐn)?shù)問(wèn)題中有一類是量與量之間的比較問(wèn)題，解答此類問(wèn)題，需要正確把握比較量與標(biāo)準(zhǔn)量（單位“1”），厘清兩者之間的關(guān)系。

【例3】媽媽買了一件衣服，原價(jià)是240元，現(xiàn)價(jià)比原價(jià)便宜了?，現(xiàn)價(jià)是多少元？

解答此問(wèn)題時(shí)，很多學(xué)生不清楚應(yīng)該把誰(shuí)看作單位“1”。因此，教師教學(xué)時(shí)要從分?jǐn)?shù)?的意義出發(fā)，利用線段模型，幫助學(xué)生理解題目中的單位“1”是誰(shuí)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析線段模型（如圖4）來(lái)理解題目中?表示的意義：“便宜的?”是“原價(jià)的240元”平均分成3份后，“現(xiàn)價(jià)”處用虛線表示的少的這1份，即與原價(jià)相比，現(xiàn)價(jià)是在原價(jià)3份的基礎(chǔ)上減少1份。因此，“原價(jià)的240元”是本題的單位“1”。

二、變換單位“1”，借助模型理解數(shù)量關(guān)系

分?jǐn)?shù)問(wèn)題中，單位“1”的轉(zhuǎn)化屬于相對(duì)較難的問(wèn)題。解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵，是正確合理地確定和轉(zhuǎn)化單位“1”的量。

例如：甲數(shù)比乙數(shù)多?，乙數(shù)比甲數(shù)少?。在“甲數(shù)比乙數(shù)多?”這段信息描述中，單位“1”為乙數(shù)；在“乙數(shù)比甲數(shù)少?”這段信息描述中，單位“1”為甲數(shù)。碰到這樣的問(wèn)題，學(xué)生容易混淆單位“1”。為幫助學(xué)生理解單位“1”轉(zhuǎn)換的過(guò)程，理解相互之間的關(guān)系，教學(xué)中，教師可以采用以下兩種方式。

（一）“分總”關(guān)系轉(zhuǎn)化，理解部分量與部分量的倍數(shù)關(guān)系

【例4】某班缺席人數(shù)是出席人數(shù)的[15]，缺席人數(shù)占全班人數(shù)的幾分之幾？

讓學(xué)生根據(jù)題意用模型表示（如圖5）。

題目中的[15]表示把出席人數(shù)平均分成5份，缺席人數(shù)就是1份。再根據(jù)“總量=部分量＋部分量”，可得總量為（1+5）份，把以部分量為單位“1”轉(zhuǎn)化為以總量為單位“1”，即可得到“缺席人數(shù)是全班人數(shù)的? ”。

【例5】某車間男職工人數(shù)占車間總?cè)藬?shù)的[4/7] ，車間男職工人數(shù)比女職工人數(shù)多幾分之幾？

讓學(xué)生根據(jù)題意用模型表示（如圖6）。

依據(jù)本題的模型可以看出，把車間總?cè)藬?shù)平均分成7份，男職工占了其中的4份，女職工占了（7-4）份。因此，男職工人數(shù)比女職工人數(shù)多了（4-3）份，即男職工人數(shù)比女職工人數(shù)多了[4-37-4=13]。

（二）“續(xù)變”關(guān)系轉(zhuǎn)化，理解單位“1”的變與不變

【例6】甲數(shù)是乙數(shù)的? ，乙數(shù)是丙數(shù)的?，丙數(shù)是甲數(shù)的幾倍？

讓學(xué)生根據(jù)題意用模型表示（如圖7）。

根據(jù)甲數(shù)、乙數(shù)、丙數(shù)三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，可將最小量甲數(shù)視為單位“1”，那么乙數(shù)就是甲數(shù)的[3/2]，而乙數(shù)又是丙數(shù)的?，由此可得出丙數(shù)的?=甲數(shù)的[3/2] ，即丙數(shù)是甲數(shù)的[32÷34=2]（倍）。類似這樣的問(wèn)題，都可以通過(guò)先確定某個(gè)量為單位“1”，然后進(jìn)行信息的轉(zhuǎn)化，找到其他量與單位“1”的量的關(guān)系，借單位“1”的量來(lái)統(tǒng)一其他量進(jìn)行解決。

可見(jiàn)，在教學(xué)分?jǐn)?shù)“解決問(wèn)題”的過(guò)程中，根據(jù)題目信息，尋求具體數(shù)量與分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)“1”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使較為隱蔽的關(guān)系變得明朗，是一種相當(dāng)重要的解決問(wèn)題的策略。

三、統(tǒng)一單位“1”，解構(gòu)模型來(lái)解決問(wèn)題

當(dāng)將分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法整合起來(lái)綜合運(yùn)用時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一些較為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問(wèn)題。解答此類復(fù)雜分?jǐn)?shù)問(wèn)題，需要深挖信息，理解題目中部分量與單位“1”、部分量與部分量之間的關(guān)系。在教學(xué)實(shí)踐中，教師主要可以采用以下兩種方式。

（一）回歸情境，找出信息之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

通過(guò)簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)問(wèn)題的學(xué)習(xí)可知，部分量對(duì)應(yīng)部分量與單位“1”的分率，而它們相除的值則是單位“1”對(duì)應(yīng)的量。那么，解答復(fù)雜分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，是否可以此為突破口去分析相關(guān)信息，從而找到合適的解題路徑呢？

【例7】一批零件，王師傅每天做 60 個(gè)，做了2天后，李師傅幫忙一起做，4 天后全部完成，這時(shí)李師傅做了全部零件的?。這批零件一共有多少個(gè)？

讓學(xué)生根據(jù)題意用模型（線段圖）表示（如圖8）。

根據(jù)題目的情境，可以厘清這幾條信息。（1）將“一批零件”看作單位“1”。（2）全部工作量可以分成三個(gè)部分：王師傅單獨(dú)做的部分（每天60個(gè)，做了2天）、兩人同時(shí)工作時(shí)王師傅做的部分（4天的量）、兩人同時(shí)工作時(shí)李師傅做的部分（4天，全部工作量的? ）。（3）要解答的問(wèn)題：?jiǎn)挝弧?”的量是多少？分析上述相關(guān)信息可知，李師傅完成了全部工作量的?，那么，王師傅完成的就是全部工作量的?。又因?yàn)橥鯉煾低瓿傻墓ぷ髁靠梢杂谩肮ぷ餍省凉ぷ鲿r(shí)間”來(lái)計(jì)算，即60×（2+4）=360（個(gè)），所以要求單位“1”的量，可以用[360÷23]進(jìn)行計(jì)算。

（二）梳理關(guān)系，解構(gòu)量率的依存關(guān)系

分?jǐn)?shù)與除法、比之間有著密不可分的關(guān)聯(lián)。“比”相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，為學(xué)生解決復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問(wèn)題提供了更為多元的解題思路。對(duì)于某些問(wèn)題，完全可以利用比與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，結(jié)合量率間的依存關(guān)系進(jìn)行解答。

【例8】花園里有牡丹花 36 朵，? 月季花朵數(shù)是牡丹花朵數(shù)的?，鳳仙花朵數(shù)是月季花朵數(shù)的?。鳳仙花有多少朵？

讓學(xué)生根據(jù)題意用模型（線段圖）表示（如圖9）。

解決這類較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問(wèn)題，可以借助線段圖進(jìn)行分析。月季花朵數(shù)是牡丹花朵數(shù)的?，即把牡丹花朵數(shù)看作單位“1”，將其平均分成3份，月季花朵數(shù)即為2份；鳳仙花朵數(shù)是月季花朵數(shù)的?，即把月季花朵數(shù)看作單位“1”，將其平均分成2份，鳳仙花朵數(shù)即為1份。從線段圖中可以看出，鳳仙花朵數(shù)、月季花朵數(shù)、牡丹花朵數(shù)的比是1∶2∶3，那么，已知牡丹花朵數(shù)為36朵，根據(jù)比的基本性質(zhì)，月季花朵數(shù)為24朵，鳳仙花朵數(shù)為12朵。

綜上所述，分?jǐn)?shù)乘、除法“解決問(wèn)題”對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象，理解起來(lái)也比較困難。教學(xué)中，教師要抓住分?jǐn)?shù)意義這一本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生把握題目中的單位“1”，結(jié)合圖式架構(gòu)單位“1”模型，厘清部分量與單位“1”的量的關(guān)系，從而解決問(wèn)題。

（浙江省嘉興市海鹽縣通元小學(xué)）