構建試題研究框架，精準分析得出啟示*
——2023年全國高考數學新課標Ⅰ卷與DSE數學試題比較研究

石天然 林子植|江西科技師范大學數學與計算機科學學院

高考是衡量中學教育質量、學生畢業和升學的重要依據之一，其命制理應科學、權威并與時俱進.作為國際認可的考試評價項目，中國香港中學文憑考試（Hong Kong Dioploma of Secondary Education Examination，簡稱DSE，即“香港高考”）試卷可為內地高考提供借鑒.數學是DSE必考學科，包括“數與代數”“度量、圖形與空間”“數據處理”“數的進一步運用”四個板塊.那么，它與內地高考數學試題有何異同？對內地高考數學考試題命制有何啟發？筆者以高考評價體系為指導，選取2023 年全國高考數學新課標Ⅰ卷（以下簡稱“新課標卷”）與DSE 數學試題（以下簡稱“文憑卷”）進行對比分析，得出啟示，下面具體闡述.

一、構建分析框架，精準分析試題

筆者從試題特征的兩大構成要素“立意”和“情境”出發，結合國內外試題研究中普遍采用的研究視角，構建了數學試題比較研究的分析框架（如圖1所示）.

圖1 數學試題比較研究的分析框架

整個框架分為兩大部分：一是對試卷結構進行對比分析，具體的分析維度包括試卷組成、題型題量、考試時間等；二是對試題特征進行對比分析，具體的分析維度包括立意、情境.其中，“立意”指試題考查的知識內容和認知水平，“情境”指試題的情境類型和呈現方式.

（一）試題結構比較分析

新課標卷由一份試卷組成，文憑卷則由paper1、paper2 兩份試卷組成，這是試卷數量的不同，同時在試卷的整體結構方面，二者也存在很大的差異，具體如表1所示.

表1 新課標卷與文憑卷試題整體結構比較

由表1可知，新課標卷選擇題與非選擇題題量分別占55%和45%，題型比例平衡確保了試題測量功能的有效發揮：在選擇題部分，分為單項選擇題和多項選擇題兩類，多項選擇題并未規定正確選項數量，在一定程度上提升了試題難度；在非選擇題部分，以填空題和解答題為主，能夠較好地考查學生解決復雜數學問題的能力，且填空題在一定程度上豐富了試題的類型，有利于開展個性化的學習.文憑卷的相關情況如下：在選擇題部分，只有單項選擇題，雖題量多達45 道，但分值占比較小，且單獨分開測試，時間為75 分鐘；在非選擇題部分，以簡述類的綜合題為主，且設置的題組間存在密切聯系，但試題難度較小、答案單一，只能簡單反映考生思維.

綜合而言，新課標卷和文憑卷在試題結構上有以下三點差異.一是題型、題量不同：新課標卷包括單選題、多選題、填空題和解答題，題量較少；文憑卷包括單選題和簡答題，題量較多.二是單題分值差異較大：新課標卷選擇題的單題分值高達5分，文憑卷單題分值為1分，故以新課標卷考查學生，學生的總得分受單個選擇題作答情況的影響較大.三是可用工具不同：新課標卷既不允許考生使用計算器，也不允許考生查閱數據手冊，但往往會對數據進行特殊的設計；文憑卷允許考生使用計算器和查閱數據手冊，并提供相關的數學運算公式，在題目的設置上可以專注于數學本身，更傾向于直接使用真實的理論數據.

（二）試題特征比較分析

相比于試題結構，試題特征更能反映一套試卷的內核，也更具有借鑒性.因此，筆者從知識內容、認知水平、情境類型、情境呈現方式四個維度對新課標卷和文憑卷進行比較分析.

1.知識內容維度

“一核四層四翼”的高考評價體系是高考試題質量的評價依據，其將高考考查內容凝練為核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識［1］.必備知識是形成學科素養、關鍵能力和核心價值的基礎，而數學學科必備知識又可凝練為數與代數、函數、圖形與幾何、概率與統計、綜合實踐五條主線.從這五條主線出發，筆者對新課標卷與文憑卷進行比較，有關知識內容維度的考查分值占比如圖2所示.

圖2 新課標卷與文憑卷知識內容維度分值占比比較

由圖2 可知，在知識內容維度上，新課標卷是函數＞圖形與幾何＞數與代數＞概率與統計＞綜合實踐，文憑卷是函數＞圖形與幾何＞數與代數＞綜合實踐＞概率與統計.總體而言，在概率與統計、綜合實踐部分，新課標卷側重前者，文憑卷側重后者，其他方面二者的側重點基本一致.為深入探析，下面以具體試題為例說明.

例1（DSE-20）如圖3 所示（注：試題中圖序均為編者加），已知正方形ABCD，正五邊形ADEFG，正六邊形AGHIJK，求∠ABK.

圖3

【評析】這道題考查學生幾何板塊的知識，可從正多邊形內角和、外角和角度切入分析.在考查幾何問題時，相比于新課標卷，其最直觀的區別為圖形簡單、題目簡潔，但在考查上依舊能做到面面俱到.

對具體知識內容的考查側重點，新課標卷和文憑卷也有不同.以“函數”板塊為例，其不同如下：新課標卷側重于冪函數、指數函數、對數函數等單個板塊函數的應用，通過試題剖析各類問題，考查學生對函數公式、性質及相關推導的理解與應用，從而達到促進學生數學運算、數學思維、推理能力的目的；文憑卷更強調“函數”板塊和“圖形與幾何”板塊之間的聯系，通過對日常熟悉的圖形加以剖析，引出相關函數，進而考查函數的相關知識，其考查題量占比多達30%，說明命題者有意引導學生關注二者之間的聯系.

2.認知水平維度

筆者結合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課程標準》”）和香港高考數學考試說明中的相關要求，以及部分學者的研究，將認知水平由低到高分為記憶、理解、運用、分析四個層次［2］.從這四個層次出發，筆者對新課標卷與文憑卷進行比較，有關認知水平的考查分值占比如圖4所示.

圖4 新課標卷與文憑卷認知水平維度分值占比比較

由圖4 可知，在認知水平維度上，新課標卷是運用＞理解＞分析＞記憶，文憑卷是分析＞運用＞理解＞記憶.從分值占比情況看，兩套試卷在記憶、運用兩個層次差別明顯，新課標卷極其重視運用的考查，極不重視記憶的考查，而文憑卷在各個層次的考查分布平均.為深入探析，下面以具體試題為例說明.

例2（DSE-18）已知幾何數列（等比數列）α、7、β，且1＜α＜β.

（1）使用log7β表示log7α.

（2）如果logβα、log7β、logαβ是等差數列，求其公差.

【評析】這道題考查學生分析的認知水平，在理解、掌握數列知識的前提下，要求學生進行變化，分析等比、等差數列的相關屬性，從而求解.學生需要具有較強的推理能力.由于試題的考查是層層遞進的，學生還需要在記憶、理解和應用水平達到很好的發展后才能求解該題.

綜合來看，二者在認知水平上存在差異的內在原因是對學生的認知要求不同.從整體上來看：新課標卷注重考查學生運用所學知識解決實際問題的能力，而不僅僅是對知識本身的理解和掌握；文憑卷則不同，不僅各認知水平層次占比均勻，部分試題還要求學生將所學的知識進行遠遷移，以解決情境陌生、綜合性強的復雜問題，這表明文憑卷更注重考查學生對所學知識本身的理解、掌握和全面應用.

3.情境類型維度

教育學領域的情境主要可以分為兩大類：第一類是教學/課堂情境，通常是指教師在教學活動中所創設的情境；第二類是問題/試題情境，通常是指在教育測量的問項中所出現的情境.《課程標準》指出，問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體.情境可分為數學情境、現實情境、科學情境三個類型.從這三個類型出發，筆者對新課標卷與文憑卷進行比較，有關情境類型的考查分值占比如圖5所示.

圖5 新課標卷與文憑卷情境類型維度分值占比比較

分析圖5 可知，在情境類型維度上，二者都是數學情境＞現實情境＞科學情境，且數學情境的占比均在80%以上，遠大于另兩類情境，但不同的是，新課標卷未涉及科學情境.為深入探析，下面以具體試題為例說明.

例3（DSE-9）下面的莖葉圖（如圖6所示）顯示了一組工人在一周內工作時間的分布，分布區間為27.

圖6

（1）求上述分布的中位數及眾數.

（2）若從這群人中隨機挑選一名工人，求所選出的工人工作時間超過眾數的概率.

【評析】這道題考查學生“概率”板塊的知識，通過對莖葉圖的解讀，還原數據，進而分析中位數、眾數并求解概率.該題以工人工作時間為背景，符合學生的認知水平，屬于現實情境的考查.把工作時間放到現實情境中考查，可使學生在解決問題的同時，加深對生活環境的理解.

4.情境呈現方式維度

高考試題要合理創設情境，設置新穎的呈現方式，促使學生主動思考，發現新問題、找到新規律、得出新結論.筆者參考陳志輝的劃分標準，將情境呈現方式分為純字母數字、故事或情節、圖形或表格、故事與圖表結合四種形式［3］.從這四種形式出發，筆者對新課標卷與文憑卷進行比較，有關情境呈現方式的考查分值占比如圖7所示.

圖7 新課標卷與文憑卷情境呈現方式維度分值占比比較

分析圖7 可知，在情境呈現方式維度上，二者都是純字母數字＞故事或情節＞圖形或表格＞故事與圖表結合，側重點一致.在分值占比上，新課標卷集中于純字母數字，其是占比最低的故事與圖表結合的二十多倍，文憑卷分布較均衡，兩端最值差略大于六倍.為深入探析，下面以具體試題為例說明.

例4（DSE-29）下圖（如圖8 所示）顯示了一些工程師一年培訓小時數的分布，找出分布上的四分位數.

圖8

【評析】這道題以“圖形+故事”兩個角度的情境結合展開，融合了工程師工作時間，并給出相關圖像，十分順暢地引入數學問題.學生需要將題目情境與從圖像獲取的信息相結合，然后才能求解出問題答案.

綜合而言，二者在情境的呈現方式上有如下不同：新課標卷中描述性文字較少，大多數題目聚焦數學本身；文憑卷擅長將情境、試題與圖像結合，達到“境—題—像”三位一體，從而幫助學生從整體上探索問題.

二、基于試題精準分析的命題啟示

（一）允許使用數學工具，落實“因題設問”

一個好題目的關鍵就是要明確測量的目標，達到測量的預期結果，不應該受到工具及外在客觀因素的限制.相較于文憑卷試題的設計和可用工具的配套，內地高考試題在一定程度上受限于外部因素影響，沒有真正落實“因題設問”［4］.在數學工具的使用上，《課程標準》把“注重信息技術與數學課程的整合”作為高中課程的基本理念之一，并指出要“盡可能使用科學型計算器、各種數學教育技術平臺，加強數學教學與信息技術的結合”.因此，高考命題可以考慮允許學生配套使用數學工具，確保試題編制摒棄固化思維，不受客觀因素的限制，真正“發光發熱”，落實“因題設問”.

（二）倡導知識融合，加強內容橫縱聯系

數學是一門綜合性學科，數學問題大多橫跨多個領域，高中數學知識體系涉及面廣、聯系頗多.在橫向方面，它要求學生能做到從單個知識點出發，通過發散思維聯系其他內容，形成相關的知識網絡.在縱向方面，它要求學生能以某個知識點為主干，串聯一系列相關知識，實現對知識理解的由淺入深.文憑卷比較好地體現了知識融合，其命題通過加強各板塊知識間橫向的聯系，考查學生的發散思維與一題多解能力.同時，文憑卷每年有一定比例的題目屬于中考衍生題，它通過這種方式將數學各板塊縱向的知識連接起來，考查學生層層遞進的思維體系.內地高考數學試題的命制可借鑒文憑卷的做法，注重融合學科知識，平衡好知識的廣度與深度問題.

（三）均衡思維難度，培養學生的遷移意識

數學思維指用數學思考問題和解決問題的思維活動形式，其實質為人腦對客觀現實的概括和間接反映，屬于人腦的基本活動形式［5］.在認知水平與學科能力上，與新課標卷呈現出“知識面窄但思維難度較大”的特點不同，文憑卷呈現出“知識面寬但思維難度較小”的特點，重在考查學生對所學知識的理解和掌握，即直接運用所學知識解決熟悉情境下的問題的能力.此外，文憑卷還有很大比例的主觀題，讓學生設計方案、陳述自己的觀點等，著重考查學生對所學知識的遷移和應用.內地高考數學試題的命制可借鑒文憑卷的做法，均衡思維難度，進而引導學生自主發生正向遷移.

（四）關注時事熱點，優化命題表征方式

數學的一大特點是具有極強的抽象性，因此高考試題中需要使用一定數量的數學情境來考查學生的數學抽象能力.但是，數學建模和數據分析等核心素養的培育和考查需要在具體的實踐活動中加以落實，因此還需要相當數量的真實世界情境試題.文憑卷試題情境最顯著的特點即情境生活化，這種生活化體現在“工人的工作時長”“學生課堂”等具體的生活場景中.通過生活化的情境將數學知識與生活聯結，能使數學試題更“接地氣”，同時能在一定程度上考查學生融合生活經驗和學科思維來解決數學問題的能力［6］.內地高考數學試題的命制可借鑒文憑卷的做法，優化高考命題的表征方式，關注時事熱點，設置生活化的情境，使不同類型的情境與試題內容相輔相成，將“考試”與“育人”有機融合.