高中數(shù)學(xué)函數(shù)值域題的幾種解法

許美琳

一、觀察法

通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

例1.求函數(shù)y=3+[2-3x]的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出[2-3x]的值域。

解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知[2-3x]≥0，

故3+[2-3x]≥3

∴函數(shù)的知域?yàn)閧y∣y≥3｝。

點(diǎn)評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

二、反函數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

例2.求函數(shù)y=（x+1）/（x+2）的值域。

點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

解：函數(shù)y=（x+1）/（x+2）的反函數(shù)為：x=（1-2y）/（y-1），其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù)，故函數(shù)y的值域?yàn)閧y∣y≠1，y∈R｝。

點(diǎn)評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

三、配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可以利用配方法求函數(shù)值域

例3.求函數(shù)y=[-x2+x+2]的值域。

點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成平方數(shù)，利用二次函數(shù)的值求。

解：由-x2+x+2≥0，可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1，2]。此時(shí)-x2+x+2=-（x-1/2）2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤[-x2+x+2]≤3/2，函數(shù)的值域是[0，3/2]

點(diǎn)評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

四、判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù)，可用判別式法求函數(shù)的值域。

例4.求函數(shù)y=（2x2-2x+3）/（x2-x+1）的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

解：將上式化為（y-2）x2-（y-2）x+（y-3）=0（*）

當(dāng)y≠2時(shí)，由Δ=（y-2）2-4（y-2）x+（y-3）≥0，解得：2

當(dāng)y=2時(shí)，方程（*）無解。

∴函數(shù)的值域?yàn)閧2｝。

點(diǎn)評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F（x，y）=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±[cx2+dx+e]的函數(shù)。

指導(dǎo)老師：胡春霞