一種改進的非協作MSK 信號參數聯合估計算法

郭 輝，費曰振，谷加臣，閆博文，李卓宇

（中國人民解放軍63889 部隊，河南 孟州 454750）

0 引言

最小頻移鍵控（MSK）是一種以改變波載頻率來傳輸信息的調制技術，即特殊的連續相位的頻移鍵控。MSK 調制方式具有較高的功率利用率和頻譜利用率［1］，廣泛應用于軍事通信領域，如被應用于美國國家航天局的高級通信技術衛星系統和美軍的Link16數據鏈等通信系統中［2］。調制參數的復雜性及較高的頻譜利用率，給電子對抗偵察分析及情報獲取帶來困難。

MSK 信號參數估計主要包括載頻、符號周期和調制指數參數估計［3］，目前基于信號循環平穩性［4］的載頻、符號周期和調制指數的聯合估計算法［5-6］等較為成熟。但其算法的抗噪聲性能不強，算法較復雜，運算量較大。針對這些局限，本文提出一種改進的聯合估計算法，采取功率譜法來估計載頻，可以有效地抑制噪聲的影響，提高參數估計的精度；同時改變算法搜索方式，降低搜索次數，從而降低運算量。改進的聯合估計算法可以在低信噪比條件下快速對載頻、符號周期和調制指數進行參數估計。

1 MSK 信號模型

MSK 信號為成形脈沖為矩形的連續相位調制（CPM）信號，CPM 信號的表達式通常為：

式中，符號周期為Ts，信號的能量為E，通常情況下假設（2E/Ts）1/2=1，fs為載波頻率，?(t)表達式為：

一般取調制階數M=2l，l=1，2，…；表達式中，hk為調制指數，ak為調制的信息序列，q(t)為調制信號的相位響應脈沖。

q(t)一般表示為：

式中，g(t)為頻率成形脈沖，LREC（矩形脈沖）的表達式為：

當M=2，h=0.5，L=1 時，采用矩形脈沖，對應常見的MSK 調制［7］。MSK 調制作為CPM 調制中的典型調制方式，在實際應用中十分廣泛。矩形成形脈沖幅度不變，其對應的相位響應脈沖均勻變化。

矩形調制脈沖形狀如圖1 所示。

圖1 矩形脈沖

其相位變化為：

因此相位狀態為：

受矩形脈沖的形狀限制，MSK 調制的相位改變會出現曲線折斷的情況。由矩形脈沖的相位變化圖可得，每個碼元相位變化 π/2，圖2 為信號的相位改變網格圖。

圖2 MSK 調制相位改變網格

2 改進的參數聯合估計算法

針對聯合估計算法抗噪聲性能不足、運算量大等局限，提出一種改進的聯合估計算法。由于聯合估計算法對剩余頻偏有一定的要求，越小越好，因此載頻粗估計算法較為重要。因此在原有聯合估計算法的基礎上，采取burg 現代譜算法，對載頻進行粗估計；同時采取遞進式搜索方式，在保證精度的同時，大大降低運算量。

2.1 算法原理

1） burg 現代譜載頻估計算法

原載頻估計方法為瞬時頻率估計，誤差較大，較為敏感，受噪聲影響大。因此可以用功率譜法來估計載頻，可以有效地抑制噪聲的影響，提高參數估計的精度。burg 現代譜算法具體步驟如下：

根據前向和后向誤差均方差之和最小來求取km，m階的預測公式如下：

可得km的公式如下所示：

針對平穩隨機過程，可將式（10）轉換為：

Levinson 關系式如下：

而AR 模型的第m+1 個參數G為：

預測誤差功率的遞推關系式，如下所示：

完成以上遞推關系需要知道誤差功率的初始值，如下：

經過以上步驟即可得出信號的功率譜密度：

搜索信號功率譜密度峰值對信號載頻進行粗估計，從而降低載頻粗估計的誤差。

2） 聯合估計

下面考慮剩余載頻fe、符號率Ts和調制指數h的聯合估計問題。

為了后續分析方便，定義：

2 個區間：Ig?(0，2g0) 和Iα?(-3/(2Ts)+g0fe，3/(2Ts)+g0fe)，則由CPM 信號s(t)的循環平穩性易知，對于(g，α)∈Ig×Iα?，當且僅當g=g0，α=±1/(2Ts)+g0fe時：

則可以利用CPM 信號的循環平穩性對采樣后的信號r[k]建立代價函數：

因此，定義搜索區間：

則fe、Ts和h的估計就可以通過對如下的代價函數進行三維搜索：

找出其最大值對應的g0、α0和β0：

則通過這三個值可以得到估計值：

3） 遞進式搜索

原聯合估計算法為達到較高的參數估計精度，需要使用較小的搜索間隔，每次搜索需要對所有的數據進行相關運算，所以算法的運算量比較大。因此為滿足參數快速估計的需要，對代價函數的搜索進行改進，采取遞進式搜索，降低運算量。

假設需要達到的精度為ε，則可以在整個搜索區間內進行較大間隔的搜索，確定包含峰值的一個較小的搜索區間，之后減小搜索間隔，滿足精度的要求。具體步驟如下所示：

首先根據代價函數，對搜索區間進行粗搜索，粗搜索間隔為：

經過粗搜索后，假設代價函數最大值位置為fmax1，則縮小后的的搜索區間為：

以fmax1為中心，向前擴展一個粗搜索間隔εc，向后擴展一個粗搜索間隔εc，得到細搜索區間。之后在該區間內以要求的精度ε為搜索間隔進行搜索。

利用此方法可大大降低算法的運算量，可以達到信號參數快速估計。假設整個區間長度為d，相比原算法降低的運算量比例為：

上面只進行了2 次搜索，根據以上原理可以將搜索次數擴展為n次，將大大降低算法的運算量，同時滿足精度的要求，達到參數的快速估計。

2.2 算法估計流程

圖3 為上述聯合估計算法的流程圖。

圖3 聯合估計算法框圖

首先通過burg 現代譜算法對信號進行載波粗估計，之后對信號進行消除載頻處理。根據已知的信號情況，對搜索的參數區間范圍進行限定和縮小。然后在搜索范圍內，通過遞進式搜索方式搜索代價函數的最大值，并提取出來，根據搜索的結果和聯合估計的算法來估計信號剩余頻偏和碼元速率。

搜索代價函數的極大值，首先確定g的值，之后根據代價函數最大值的位置求得估計的參數，具體流程如下：

1）求JN(g，α，β)=|ξN(g，α)|2+|ξN(g，β)|2關于g的最大值max {JN(g，α，β)}；

2） 求 |ξN(g，α)|2中 關 于α的 最 大 值max {|ξN(g，α)|2}；

3） 求 |ξN(g，β)|2中 關 于β的 最 大 值max {|ξN(g，β)|2}。

完成以上步驟后，記錄下對應的α、β、g的值，利用這些值根據式子計算出待估計參數的值h?、T?s、f?c。

通過上述聯合估計算法的描述，該算法可以有效地一次性地估計出信號的載頻、碼元速率和調制指數。

3 算法仿真及性能分析

3.1 算法仿真

接下來對仿真信號進行參數估計，來驗證算法的可行性。下面主要將代價函數的三維搜索轉換為2 個階段的3 次簡單搜索。

仿真參數：不考慮噪聲的影響，采樣率fs=1 MHz，調制指數h=0.5，載頻fc=100 kHz，每個碼元的采樣個數為25，碼元速率為40 kHz。首先針對調制指數進行代價函數搜索，調制指數的代價函數圖如圖4 所示。

圖4 不同調制指數的代價函數圖

調制指數的取值為：

由于一些常用的調制指數不一定是有理數，針對調制指數的取值不采用均勻取值法。因此為降低調制指數搜索的運算量和提高調制指數估計的準確度，主要考慮常見的調制指數，搜索其代價函數。由圖4可得，當調制指數為0.5 時，代價函數的值最大，與信號原始調制參數相符。

之后選取代價函數最大時的調制指數，然后根據其余2 個參數的范圍進行搜索，調制指數的代價函數圖如圖5 所示。

圖5 代價函數隨參數變化圖

由圖5 可得，代價函數在正值和負值范圍內分別有一個最大值點，通過搜索得到峰值的參數信息，得出α、β的值，通過式（22）計算出信號載頻為100 kHz 和碼元速率為40 kHz，通過以上仿真過程，改進的聯合估計算法可以有效估計載頻、碼元速率和調制指數。

3.2 性能分析

1） 載頻估計算性能分析

接下來探究不同信噪比下burg 現代譜算法和瞬時頻率估計算法對于載頻估計的誤差。仿真參數為：SNR 為-10～20 dB，碼元個數300 個，采樣率fs=1 MHz，調制指數h=0.5，載頻fc=100 kHz，每個碼元的采樣個數為25，碼元速率為40 kHz。通過仿真實驗，由圖6 可得，burg 現代譜算法可以很好地對載頻進行估計，當信噪比小于9 dB 時，burg 現代譜估計的誤差遠小于瞬時頻率估計的誤差，同時當信噪比逐漸減小時，burg 現代譜算法估計的誤差基本不變，展現出較強的抗噪聲性能，且滿足聯合估計算法對于粗估計誤差的要求。

圖6 2 種載頻估計算法誤差隨信噪比變化圖

2） 改進后的算法整體性能分析

改變載頻粗估計的算法，使用burg 頻譜法減小參數估計的誤差，同時采用粗搜索和細搜索方式，接下來做以下仿真實驗：

仿真參數：SNR為-10～20 dB，碼元個數300個，采樣率fs=1 MHz，調制指數h=0.5，載頻fc=100 kHz，每個碼元的采樣個數為25，碼元速率為40 kHz。

如圖7 所示，當信噪比較小時信號誤差相比于粗估計采用瞬時頻率法時顯著減小。同時在載頻估計基本準確的情況下，載頻估計的抗噪聲性能顯著提高，對信噪比要求降低了8 dB。

圖7 載頻估計誤差隨信噪比變化圖

如圖8 所示， 當信噪比較小時信號誤差相比于粗估計采用瞬時頻率法時顯著減小。同時在碼元速率估計基本準確的情況下，碼元速率估計的抗噪聲性能顯著提高，對信噪比要求降低了8 dB。

圖8 碼元速率估計誤差隨信噪比變化圖

在保證精確度的情況下采用遞進式搜索，粗搜索采用原有精度的0.1 進行估計，細搜索采用原有的精度估計。圖9 為仿真結果。

圖9 2 種搜索方式的搜索時間

通過計算，原始搜索方式進行一次參數估計的平均時間約為0.18 s，改進后進行一次參數估計的平均時間約為0.033 8 s，整個運算時間節省了80%左右，可以顯著看出參數估計的運算量顯著減少，有利于參數的快速估計。

綜上所述，改進后的聯合估計算法在信噪比較小時，參數估計的誤差顯著降低，同時抗噪聲性能顯著提高。通過采用遞進式搜索顯著降低算法的運算量，達到快速估計的目的。

4 結束語

本文通過研究MSK 信號的符號周期、調制指數和載波頻率等參數的估計算法，針對聯合估計算法的局限性，提出一種改進的MSK 參數聯合估計算法。該算法可以在低信噪比條件下快速進行參數估計，為通信偵察對抗和情報獲取提供技術支撐，對電子對抗偵察具有重要意義。■