一種奇異值分解與子空間加權聯合的改進MUSIC 算法*

石依山，尚 尚，喬鐵柱，劉 強，祝 健

（江蘇科技大學海洋學院，江蘇 鎮江 212003）

0 引言

作為雷達信號處理的重要分支，波達方向（DOA）估計在近年得到了迅速的發展［1］，并廣泛應用于軍事、醫學、通信等領域［2-3］。近些年來，超分辨算法逐漸成為主流，其中，最廣為人知的是Schmidt 等人在1979 年提出的多重信號分類（MUSIC）算法［4］。

MUSIC 算法的提出推動了超分辨算法的高速發展。在實際應用中，由于通信環境錯綜復雜，經常存在接收端收到的噪聲幅度較大導致信噪比較低或者快拍數不足的情況，此時傳統算法的分辨率會有所降低。當存在2 個到達角相近的信源時，兩者的譜峰會逐漸相互融合，以至于無法分辨出2 個目標的來波方向［5］。一些學者針對這一問題進行了改進。文獻［6］通過對傳統算法中的譜函數求導二次之后能在原始波達方向上生成負峰值的特點，利用搜索二階導數的最小值確定來波方向，而當原譜函數圖像并不具有準確的凹凸性時，算法的性能失效。文獻［7］將智能優化算法與DOA 估計算法相結合，在可以估計到多個目標的同時降低了搜索時間，但對鄰近目標的分辨率不高。文獻［8-9］將優化的神經網絡運用到DOA 估計中，具有很高的估計精度，但實時性有所欠缺。

本文針對低信噪比、小快拍數情況下傳統MUSIC 算法估計性能失效這一問題，提出了一種將最大利用互協方差信息構建矩陣并進行奇異值分解和對改進的子空間進行加權處理相結合的改進MUSIC 算法。相比于常規DOA 估計算法，該算法在基本不提升計算復雜度的基礎上，在低信噪比以及小快拍數的條件下對靠近的目標具有較高的分辨概率，在陣元數較少的情況下相較于傳統算法分辨概率也有很大提升，具有較高的現實應用價值。

1 陣列信號與經典MUSIC 算法

1.1 一般陣列數學模型

設接收陣列由N個陣元組成，其陣元間距為d，有M(M

式中，A（θ）為N×M維接收陣列流形：

式中，a(θi)為第i個信號的方向矢量：

M個入射信號的接收矢量為：

N個陣元接收到的高斯白噪聲矩陣為：

式中，ni(t)為第i個陣元接收到的噪聲，其方差為。

1.2 經典MUSIC 算法

傳統MUSIC 算法根據N個接收信號X(t)計算得到協方差矩陣，并將其劃分成2 個空間：

在理想條件下，信號子空間與噪聲子空間相互正交，即信號子空間中的導向矢量與噪聲子空間正交，則有下式成立：

由上述的正交關系，可以得到MUSIC 算法的空間譜函數：

2 改進MUSIC 算法

本文提出一種奇異值分解與子空間加權聯合的改進MUSIC 算法，該算法分為2 個部分，第一部分對接收信號進行處理，最大程度利用互相關信息構建新的矩陣并利用奇異值分解得到信號子空間和噪聲子空間；第二部分充分利用信號特征值和噪聲特征值中所包含的信息，分別對信號子空間和噪聲子空間進行改進，最終得到一種分辨率高且抗干擾能力強的空間譜估計算法。

2.1 奇異值分解方法

本部分對接收數據矩陣進行處理，并提出了最大程度利用互協方差矩陣的信息構建新的協方差矩陣的方法，用以增強改進算法對噪聲的抗干擾性，進而提升算法的分辨率。

首先，對接收信號進行如下處理：

式中，Y(t)為處理后的接收信號，X*(t)為X(t)的復共軛矩陣，Z為交換矩陣，其副對角線為1，其他元素均為0，ZHZ=1；

計算X(t)、Y(t)的自相關函數以及兩者的互相關函數如下：

為了充分利用互相關信息，這里借鑒前后向平滑（FBSS）技術構建新的矩陣：

如此構成新的矩陣，充分包含了接收信號的自相關信息和互相關信息，對其進行分解得到的子空間受噪聲的破壞更小，更加貼合真實值。

2.2 改進的子空間加權算法

式中，vi(i=1，2，…，N)為分解得到的特征向量，它們組成了信號子空間與噪聲子空間。

其中信號子空間為：

噪聲子空間為：

2.2.1 噪聲子空間加權

考慮到噪聲特征值未被完全利用這一問題，在信息論準則能正確估計出信源個數的前提下，從大量實驗中，可以得到噪聲特征值的最大值與最小值之比ξ應滿足1<ξ≤2 這一特點［10］，這里取ξ=2。由于信噪比降低和快拍數的不足，噪聲特征值波動較大，現對噪聲子空間做如下改進：

1）構建噪聲子空間加權系數：

式中，λi為奇異值分解得到的噪聲特征值，α為校正系數。

2）取得噪聲特征值的最大值λK+1和最小值λM，若λK+1/λM<2，則校正系數α為0。

否 則 將=λK+1/(λK+1+α) 和=λM/(λM+α)替換式（24）中的λK+1和λM，求出滿足不等式的校正系數α。

3）得到校正系數α后，噪聲子空間就可以改進為：

式中，vK+1，vK+2，…，vM為噪聲特征值對應的特征向量，為改進后的噪聲特征值。

如此改進的原理是：將噪聲子空間的特征向量進行噪聲特征值加權處理，提高了噪聲特征值中所含信息量的利用率，并且在噪聲特征值被惡劣信號環境所破壞的情況下，也可以通過校正值α約束破壞程度，同時α對信號特征值沒有影響，從而確保信源估計不受影響。

于是有：

進而可以得到新的空間譜函數如下：

2.2.2 信號子空間加權

通過文獻［11］得知，在信噪比較低、快拍數不足的條件下，由分解接收矩陣獲得的信號子空間所受信噪比起伏的干擾相對較小。傳統的MUSIC 算法中，信號子空間信息未被利用，這里引入加權信號子空間投影（WSP）算法，該方法對通過特征值分解得到的信號特征值進行取倒數處理，作為信號子空間的加權系數：

將式（24）與式（25）結合，可以有效減少噪聲對算法的干擾。

最終，改進后的算法空間譜函數為：

通過對式（26）進行譜峰搜索，即可在對應目標方向位置獲得對應譜峰。

3 仿真及分析

為了分析本文提出的改進算法分辨性能，采用實際應用中常見的由8 個陣元組成的均勻線陣進行仿真實驗。仿真實驗中，陣元間距d=λi/2，接收到的噪聲為0 均值的高斯白噪聲。

3.1 驗證算法的分辨能力

假設2 個遠場窄帶信號，分別從2°和-2°的方向射向接收陣列，選取經典MUSIC 算法、MMUSIC 算法［12］和本文的改進算法進行比較。在信噪比SNR=0 dB、快拍數等于1 024 時，3 種算法對鄰近目標的分辨能力如圖1 所示。當信噪比SNR=10 dB、快拍數為112 時，3 種算法對鄰近目標的分辨能力如圖2 所示。信噪比SNR=0 dB、快拍數等于112 的條件下，3 種算法對鄰近目標的分辨能力如圖3 所示。

圖1 信噪比為0 dB 時的DOA 估計結果

圖2 快拍數為112 時的DOA 估計結果

圖3 信噪比為0 dB 且快拍數為112 時的估計結果

由圖1-2 可以看出，無論是低信噪比還是快拍數不足的非理想條件下，傳統MUSIC 算法與MMUSIC算法都無法對鄰近目標進行分辨，本文的改進算法在2 個方向之間出現明顯的凹陷，成功分辨了兩相鄰目標。由圖3 可以看出，經典MUSIC 算法以及MMUSIC 算法在非理想條件下，來波方向處2 個目標的譜峰已經融合，完全喪失了分辨能力，而本文的改進算法仍可以分辨2 個目標，證明了該算法在強干擾且快拍數不足的條件下仍然具有對相鄰目標的分辨性能。

3.2 低信噪對分辨性能的影響

在現實應用場景中，由于噪聲的干擾，接收信號的信噪比不夠理想，進而導致DOA 估計算法的分辨性能受到影響。假設2 個遠場窄帶信號，分別從2°和-3°的方向射向接收陣列，快拍數為112，信噪比從-4 dB 到8 dB 以每次2 dB 增長，將本文的改進算法與經典MUSIC 算法相對比，進行200 次Monte Carlo 實驗，得到的分辨概率結果如圖4 所示，具體數值如表1所示。

表1 信噪比變化時的分辨概率

圖4 不同信噪比下改進算法和傳統MUSIC 算法的分辨概率比較

如圖4 所示，在信噪比較低的條件下，傳統MUSIC 算法完全喪失分辨性能，伴隨信噪比的提升，本文改進算法的分辨概率迅速增加，分辨性能遠高于傳統算法，在信噪比為2 dB 時，傳統MUSIC 算法還無法分辨目標，而改進算法仍然對目標有較高的分辨率。

3.3 快拍數對分辨性能的影響

在現實應用場景中，常會出現采樣次數不足、快拍數較小的情況。假設2 個遠場窄帶信號，分別從2°和-3°的方向射向接收陣列，信噪比為10 dB，快拍數從16 到112 每次以16 為間隔進行增長，將本文的改進算法與傳統MUSIC 算法相對比，進行200 次Monte Carlo 實驗，得到的分辨概率結果如圖5 所示，具體數值如表2 所示。

表2 快拍數變化時的分辨概率

圖5 不同快拍數下改進算法和傳統MUSIC 算法的分辨概率比較

由圖5 可以看出，伴隨快拍數的增大，DOA 估計算法的分辨概率也隨之提高。由表2 可得，傳統MUSIC 算法在快拍數為96 時具有92%的分辨率，而本文的改進算法在快拍數為48 時，其分辨率可達到90%，改進的算法相較于經典MUSIC 算法的快拍門限降低了48。

3.4 陣元數對分辨性能的影響

作為陣列信號處理的基本組成單元，陣元數量對DOA 估計的結果起到決定性作用，它決定了陣列的接收能力和靈敏度。假設2 個遠場窄帶信號，分別從2°和-3°的方向射向接收陣列，信噪比為5 dB，快拍數為100，陣元數從4 到10 依次增長，將本文的改進算法與傳統MUSIC 算法相對比，進行200 次Monte Carlo實驗，得到的分辨概率結果如圖6 所示，具體數值如表3 所示。

表3 陣元數變化時的分辨概率

圖6 不同陣元數下改進算法和傳統MUSIC 算法的分辨概率比較

由圖6 和表3 可以看出，陣元的數量對算法分辨率起著重要影響。陣元數由8 變為9 時，經典MUSIC算法的分辨率發生了跳躍式的提升，而改進算法在陣元數由4 變為5 時分辨率就取得了巨大提升，并在6 陣元時已經具備較高的分辨概率。

4 結束語

為了有效克服在低信噪比和小快拍數等的作用下，傳統MUSIC 算法分辨率急劇下降的問題，本文給出了一種基于改進的協方差矩陣實現奇異值分解，并對子空間進行了加權的優化MUSIC 算法。該算法充分利用了接收信號的互協方差信息，構建新的協方差矩陣，并通過奇異值分解得到修正后的特征值和特征向量空間，然后通過判斷噪聲特征值中最大值與最小值之比計算對應的加權系數，并對噪聲子空間進行改進；隨后引用信號子空間加權算法提高對非目標方向處噪聲的抑制能力。仿真結果表明，該算法在傳統MUSIC 算法和MMUSIC 算法完全失效的情況下，依然可以分辨出-2°和2°兩個相鄰目標，具有較高的分辨性能；在低信噪比、快拍數較小以及以及陣元數變化的條件下，相較于傳統MUSIC 算法，本文算法在分辨率上有很大提升。■