蠕動泵流量理論計算公式的推導與驗證

摘要：文中介紹了蠕動泵的理論流量計算方法，不包括液體粘度、軟管變形衰減等影響。僅對蠕動泵理論流量計算公式進行推導，與實際流量有一定差異，一般在20 %以內。文中作出一定合理的假設，采用了牛頓-科特斯積分公式近似計算方法得出蠕動泵理論液枕體積，從而計算出理論流量。與實際流量進行了對比，推導的公式準確性較高，可作為相關技術人員設計參考。

關鍵詞：蠕動泵；理論流量；液枕；軟管

The Derivation and Verification of the Theoretical Calculation Formula for the Flow Rate of Peristaltic Pumps

LI Ning

（ Longer Precision Pump Co.， Ltd. ， Baoding 071051， Hebei， China ）

Abstract： This article introduces the theoretical flow calculation method of peristaltic pumps， excluding the effects of liquid viscosity， hose deformation attenuation， etc. Only the theoretical flow calculation formula for peristaltic pumps is derived， which has a certain difference from the actual flow rate， generally within 20%. A certain reasonable assumption was made in the article， and the Newton-Cotes integral approximation method was used to obtain the theoretical liquid pillow volume of the peristaltic pump， thereby calculating the theoretical flow rate. Compared with the actual flow rate， the derived formula has high accuracy and can be used as a reference for relevant technical personnel in design.

Key Words： "Peristaltic pump; Hose; Theoretical flow rate; Liquid pillow

0前言

蠕動泵出現已有70多年的歷史，相對來說是一種比較新型的泵種[1]。因其成本低廉、維護方便[2]，廣泛應用于制藥、化工、造紙、采礦、醫療等行業[2-8]。一般蠕動泵流量計算是根據類比法，找到一個近似的已有蠕動泵的實驗數據作為參考，近似計算新泵的流量。由于基本尺寸參數不一樣，這種方法誤差比較大，有時甚至超過50 %。對于蠕動泵的理論流量計算目前還沒有相應計算公式，文獻9針對蠕動泵的理論流量進行了近似計算，沒有考慮滾輪尺寸、數量等因素，只是給定了一個效率，與實際差異比較大[9]，很難作為設計參考。另外，蠕動泵是一種相對來說比較簡單的流體傳輸機械，用戶甚至可自行設計。因其應用很廣泛，安裝方式多樣，有時并不能從市場上找到合適的成品蠕動泵，需要設計人員自行設計蠕動泵技術參數，如果沒有理論流量計算公式，則很難設計出所需的蠕動技術參數。文中嘗試用積分法計算蠕動泵的理論流量，不考慮流體的粘度、軟管變形衰減等影響。

1 蠕動泵原理及流量計算方法

1.1 蠕動泵原理

蠕動泵是一種正排量泵[7]，其原理很簡單，跟人體吞咽食物、水一個道理。它的工作原理像人體腸道蠕動推動食物流動，因此起名蠕動泵。如圖1所示，當滾輪順時針旋轉時將軟管內的液體擠向排放口，隨著滾輪連續旋轉，蠕動泵吸入口形成真空吸入液體，液體就從蠕動泵入口連續流到了出口。根據蠕動泵的工作原理可知其工作時流量是有脈動的，其排出的液體理論上是一股一股的[10]。每一股稱為一個“液枕”，則蠕動泵流量等于液枕體積與滾輪數量、轉速[9]的乘積。

圖1 " 蠕動泵原理

1.2 蠕動泵流量計算方法

圖2 " "蠕動泵基本參數示意圖

蠕動泵基本參數如圖2所示，與流量有關的尺寸參數包括：

軟管內徑d 即內半徑s=d/2；

軟管壁厚t；

軌道圓半徑R0；

滾輪數量：z；

滾輪分布圓半徑 R1；

滾輪直徑D，半徑r1。

求解流量的基本思路是每轉“液枕”個數z×分鐘轉數n×每個“液枕”體積V0。

即：蠕動泵流量

Q = n * z * V0/1000 " " " " " " " " （1）

n：轉速rpm ；

V0：液枕體積（ul）；

Q：流量 ml/min。

轉速n和液枕個數z是已知的，z就是滾輪數量Z。最難的是求解液枕體積V0，以下討論求解液枕體積V0的方法。

2 蠕動泵流量計算

因蠕動泵的流量影響因素太多，必須作出合理假設來簡化計算。文中推導計算公式作出如下假設：兩滾輪間軟管比較硬，剛性較好，外壁能緊貼軌道圓，軟管內部在2滾輪之間的形狀是一個部分圓環，如圖3實線部分所示。

圖3 " " 兩個相鄰滾輪之間的圓環（未擠壓狀態）

軟管被滾輪擠壓變形后，內部液枕的形狀大致如圖4所示。

圖4 " "兩滾輪之間液枕形狀

由圖2可知，兩個滾輪之間的液枕可以看作是兩個滾輪之間的圓環體積V1（見圖3）減去兩個滾輪擠占部分e剩下的體積（見圖4）。即：

V0 = V1 － 2*e " " " " " " " " （2）

e：滾輪擠占全體積的一半（因為滾輪擠占形狀是對稱的，所以只需求一半擠占體積）。

V1容易求得：圓環中心線長度L×軟管內截面面積A即可。

V1=L*A " " " " " " " " " " " " " "（3）

L：圓環中心線弧長。

A：軟管內截面面積 "。

已知圓環中心線就是軟管中心線的弧長，則圓環體積V1=弧長*軟管內截面積弧長 。

（4）

α為兩滾輪之間的夾角（單位為：弧度）。

z為滾輪數 " " " " " " " " （5）

R2：軟管中心線半徑mm。

現在求軟管中心線的半徑R2。

蠕動泵工作時，軟管被滾輪擠壓至緊貼軌道圓，所以中心線半徑即為軌道圓半徑R0減輕軟管外徑的一半。即：

（6）

由式（2）～式（5）可得：

（7）

其中 d：軟管內徑；V1：兩滾輪中間圓環段體積。

滾輪擠占圓半徑r2=滾輪半徑＋壁厚。

（8）

軟管中心到滾輪中心距離g等于軟管中心半徑減滾輪分布半徑，如圖2所示。

g = R2 － R1 " " " " " " " " " " " "（9）

式（7）只求得未減去滾輪擠占體積e的軟管內部液枕體積，現求滾輪擠占全體積的一半：e。

滾輪擠占體積一半的形狀如圖5所示。

因為軟管分布圓半徑R2相對于軟管內徑d來說比較大，而且滾輪擠占部分體積比較小，可近似將擠占部分的軟管看成圓柱體如圖6所示，此時誤差是很小的。

現在用近似曲頂圓柱法求解該滾輪擠占體積的一半e。

現推導該曲頂圓柱體的體積計算公式。

如圖6所示：軟管內半徑為s，滾輪擠占圓半徑設為r2，軟管中心到滾輪中心距離設為g，以滾輪中心為原點O，水平方向為X軸，豎直方向為Y軸，建立直角坐標系。曲頂圓柱體積為e。

因為曲頂圓柱的頂為滾輪擠占圓，所以只需要求得圓柱底的任意截面微面積δA，再乘以高y，再對X軸積分，即可得到曲頂圓柱的體積。

這個圓即是軟管內徑，注意到原點O左邊為負，右邊為正。根據勾股定理可知微截面的長為：

微截面高為dx。

則任意微截面面積可表示為：

δA = " " " " " "（10）

任意微體積高：

（11）

。

則曲頂圓柱體積：

（12）

式（12）中：

s：軟管內半徑；

r2：滾輪擠占圓半徑；

g：軟管中心到滾輪中心距離。

直接求解上述定積分是很困難的，積分帶2個根號相乘，無法使用換元積分法和分部積分法求得此定積分[11]。原函數不是初等函數，因本身就是近似計算，可采用牛頓—科特斯公式計算，當n取2時就是辛普森公式也就是梯形公式，n越大精度就越高，但公式越復雜[12]。為了保證一定的計算精度而且不至于公式太復雜，現用n＝4 時，牛頓—科特斯公式計算。

牛頓—科特斯公式如下：

（13）

由式（12）可知：

積分下限a =

上限b =

b －a = 2s

階差

則：

由式（13）得：

將以上結果代入式（13）：

（14）

為了驗證式14的正確性取s = 2；r2 = 3.5；g = 1（單位mm）代入得：

這個值用SolidWorks建模得到的體積為41.1 mm3，如圖5所示，計算精度93.8 %。因為是求解擠占體積的一半，占整個液枕體積比較小，這樣的精度已經可以滿足要求，再高階的公式形式又過于復雜，不利于計算，而且本身就是近似計算，有一定誤差可以接受。

故式（14）可作為求解滾輪擠占體積一半e的公式。

則由式（2）可知：

液枕體積V0 = V1－2e

代入式（7）、式（14），

得蠕動泵液枕體積：

（15）

式（15）中：

d：軟管內徑，s = d/2；

R2：軟管中心線半徑（式6）；

z：滾輪數量；

g：軟管中心線到滾輪中心距離（g = R2 －R1）；

r2：滾輪擠占圓半徑。

將s = d/2代入式（15）得蠕動泵液枕體積計算公式：

（16）

驗證式（16），試算：d = 4；z = 8；t =1 "R0 = 20；R1=16；D = 5（單位mm）的液枕體積V0。

解：

軟管中心線半徑由式（6）可得：

R2 = R0 －（d + 2 * t）/2 = 17 mm

軟管中心線到滾輪中心距離由式（9）得：

g = R2 － R1 = 17－16= 1 mm

滾輪擠占半徑由式（8）得：

r2 = D/2 + t = 3.5 mm

將以上數值代入到式（16）得：

使用SolidWorks建模可知該體積為85.605，誤差為5.9 %，因為建模本身與蠕動泵實際液枕誤差就比較大，這個精度已經很高了。這個公式適合管比較硬，在泵頭內管子不會被拉直，管子始終緊貼軌道的情況。

3 公式驗證

上文推導的式（16）是否準確可以采用保定蘭格恒流泵有限公司現有蠕動泵的技術參數來驗證，蠕動泵的流量和各尺寸參數都是已知的。

式（16）可以利用Excel表格進行計算，由于篇幅有限，文中只給出計算結果和實際平均流量進行對比。需要說明的是給出的實際流量只是大概平均值，因為蠕動泵的流量影響因素很多，包括但不限于軟管內外徑誤差、泵制造誤差、出入口管路影響、液體粘度影響等[13]。式（16）只是計算了蠕動泵的理論液枕體積，通過式（16）計算出液枕體積V0，再代入到式（1）即可計算任意轉速下的流量值。一般通用蠕動泵一款泵可以適用多種規格軟管，選取10組泵和軟管組合的參數進行對比如表1所示。

以下數據是水的測試數據，轉速均為600 rpm，準確度定義為：計算流量/實際流量*100%，計算均采用Excel表格進行。

通過對比計算流量和實際流量可知，式（16）的計算值與實際值比較接近。說明該數學模型建立的比較準確，能比較準確地描述蠕動泵的液枕形狀和體積，與文獻9近似理論計算方法有本質區別。之所以有的誤差比較大，有的比較小是因為影響蠕動泵流量因素太多，包括液體粘度、密度、軟管硬度、溫度等，以及出口壓力、入口吸程等，無法通過理論計算獲得精確流量值。式（16）的意義在于可以通過計算理論流量，在設計之初就可以預測實際流量，通過快速改變蠕動泵各個尺寸參數獲得最優設計，而不需要做過多的物理樣機，可大大縮短設計時間，降低設計開發成本。

4 結語

文中通過合理假設并建立數學模型，推導出蠕動泵的“液枕”體積的計算公式。通過對比實際流量，該計算公式精確度比較高，可作為相關設計人員的設計理論參考。然而該公式是建立在一定假設基礎上的，它假設管子比較硬，在泵內會緊貼壓軌，不會被摩擦力拉直，兩端也沒有特意拉緊的情況。對于管子比較軟，兩端拉得比較緊的情況可能并不適用，今后還需要建立新的數學模型解決其它情況。綜上，蠕動泵的理論流量計算是很難得出精確數值，需要綜合考慮多種影響因素。

參考文獻

[1]張萬成.蠕動泵及其應用[J].化工自動化及儀表，

1986（06）：69-71.

[2]Group P E C .Peristaltic Pumps Require Minimal

Maintenance[J].Chemical Engineering Progress，

2005，101（10）：17.

[3]劉顯軍.蠕動泵的結構原理及其應用[J].流體機械，

1998，（12）：38-40.

[4]孫茜英.蠕動泵的應用[J].護士進修雜志， 1988，（08）：35.

[5]高慧瑩，劉濤，孫振杰.蠕動泵原理及在化學機械

拋光過程中的應用[J].電子工業專用設備，2010，

39（09）：48-51.

[6]New range of peristaltic pumps[J].Australian

Mining，2001，93（10）：42.

[7]Peristaltic pumps show their advantages in the

food and drink industry[J].World Pumps，2001，

2001（417）：16-17.

[8]Wastewater application for peristaltic pump[J].

World Pumps，2002，2002（431）：10-10.

[9]王道臣，陳志軍，韓玉明，李建冬.蠕動泵流量的理論

計算與試驗驗證[J].化工自動化及儀表，2015，42（02）.

[10]李寧，袁航.蠕動泵脈動產生原因及抑制方法[J].

質量技術監督研究，2020（01）：26-30.

[11]李慧平，丁萬龍，趙建麗，等.高等數學[M].

北京師范大學出版社：2022，09.165.

[12]鄭繼明，朱偉，劉平，張清華.數值計算方法[M].

重慶大學出版社：2019，08.78.

[13]李寧.蠕動泵灌裝誤差成因分析及其評定方法[J].

市場監管與質量技術研究，2023，（01）：30-34