對一道課后改編習題的深入思考
——不等量異種電荷連線上場強最弱位置的求法

張文杰 武 維 全水聰

(包頭市第九中學 內蒙古 包頭 014010)

1 問題的提出

下面的習題是一道人教版新教材必修第三冊“9.3電場 電場強度”課后習題第7題的改編題目:

【題目】如圖1所示,真空中有兩個異種點電荷,Q1=4Q2,分別固定在x軸的坐標為0和6cm的位置上.一帶正電粒子從1cm處靜止釋放,在僅受電場力作用下沿x軸運動,現研究該粒子從1cm到5cm運動過程,下列說法中正確的是( )

圖1 題圖

A.該粒子速度先增大后減小

B.該粒子加速度先增大后減小

C.該粒子電勢能先減少后增大

D.該粒子在1～2cm的動能變化量大于3～4cm的動能變化量

該題目的正確答案為選項D,要想正確分析求解1～2cm的動能變化量和3～4cm的動能變化量之間的關系,必須分析得出在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強度最弱的點所在位置,對于該問題的分析,學生在做題時出現了以下兩種典型的錯誤.

2 兩種錯誤解法及錯因分析

錯解一：

設在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強度最弱的點坐標為xcm,根據點電荷電場強度的計算公式和電場強度的疊加原理

對上式通分得

令

f(x)=5x2-48x+144

對上式求導可得

f′(x)=10x-48

當f′(x)=0時,解得x=4.8cm.

錯因分析:在求場強最小值的過程中,由于電場強度表達式的分母中x2(6-x)2并不是一個單調函數,因此,對f(x)=5x2-48x+144求導數得到的最小值僅僅是分子的最小值,而不是電場強度E的最小值.

錯解二：

設在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強度最弱的點離Q1的距離為r1,離Q2的距離為r2.

由基本不等式可得

r1=4cmr2=2cm

因此,在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強度最弱的點坐標為4cm.

但在式(1)的應用中

3 正確解法

設在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強度最弱的點離Q1的距離為r.設a=r,b=6-r,則

a+b=6

令

求導可得

F′(a)=-8a-3+λ

F′(b)=-2b-3+λ

F′(λ)=a+b-6

分別令

F′(a)=0 F′(b)=0 F′(λ)=0

可解得

所以當

時,場強有最小值.

圖2 函數圖像

4 總結

通過上述對不等量異種電荷連線上場強最弱位置的錯解分析及其正確解法可見,學生在學習物理時必須合理使用數學知識,并且不能死記硬背,要靈活掌握數學公式、定理的適用條件,同時希望本文給出的用拉格朗日乘數法求極值的方法可以對學生解決類似問題有所幫助.