中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題常見題型及解題策略

曹瑾

【摘要】中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題常見題型有求解二次函數(shù)解析問題、動點問題、交點問題、中點問題、三角形和四邊形的存在性及面積問題、線段長度或圖形面積的最值問題等類型.要想有效解決此類問題，需要掌握解題規(guī)律，綜合運用多方面的知識、多種數(shù)學思想方法，才能提高解題效率.

【關鍵詞】中考數(shù)學；二次函數(shù)；解題策略

二次函數(shù)是初中數(shù)學教學的重點和難點內(nèi)容，也是每年各地中考常見壓軸大題的主要考查內(nèi)容.基于二次函數(shù)的壓軸大題具有題型多、考查內(nèi)容廣、綜合性強、難度大的特點，許多學生在解決此類問題時，經(jīng)常存在畏難情緒，或者不知如何快速有效地解決此類問題.為了幫助學生有效地解決二次函數(shù)壓軸題，教師應加強中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題常見題型及解題策略總結，以提高學生的數(shù)學解題能力.

1? 解析式問題

二次函數(shù)壓軸題第一小問一般都是求函數(shù)解析式，如果該問解決不好，后面的問題將無法解決，該問題是解決壓軸題的基礎.求解函數(shù)解析式時，通常遵循以下步驟：①設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）；②把已知點的坐標代入解析式中；③解方程或方程組求出未知字母的值；④把所求得的字母的值代入解析式中，即可求得二次函數(shù)的解析式.

例1? 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸交于A－1，0、B（3，0）兩點，函數(shù)圖象的頂點D關于x軸的對稱點是D1點，如圖1所示.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如果直線AD1與函數(shù)圖象交于C點，求△ABC的面積；

（3）判斷是否存在過A、B兩點的二次函數(shù)，函數(shù)頂點E關于x軸的對稱點是E1點，并且四邊形AEBE1為正方形？如果存在，求此二次函數(shù)解析式，如果不存在，說明原因.

解析? （1）把A、B兩點數(shù)值代入解析式中解方程組，可得b=－2，c=-3，可求得二次函數(shù)的解析式為y=x2－2x-3.

（2）把二次函數(shù)解析式化成頂點式y(tǒng)=（x－1）2－4，可求出頂點D1，－4和對稱點D11，4.

假設直線AD1的解析式為y=kx+b，把A、D1兩點坐標數(shù)值代入解析式，可求出k=2，b=2，

所以直線AD1的解析式為y=2x+2.

將直線解析式與二次函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，可求出C（5，12），

所以S△ABC=12×4×12=24.

（3）假設存在這樣的二次函數(shù)，

因為E點是函數(shù)頂點，E1點是其對稱點，而且四邊形AEBE1為正方形，又已知A、B兩點坐標，

所以根據(jù)正方形的圖形性質，很容易求出E1，－2、E11，2，

或者E1，2、E11，－2.

①如果頂點是E1，－2，根據(jù)二次函數(shù)頂點式可得出y=a（x－1）2－2，再把A點坐標代入其中可求出a=12，

所以二次函數(shù)解析式為y=12（x－1）2－2.

②如果頂點是E1，2，可假設二次函數(shù)解析式為y=a（x－1）2+2，再把A點坐標代入其中可求出a=－12，

所以二次函數(shù)解析式為y=－12（x－1）2+2.

由此可判斷存在一個二次函數(shù)使四邊形AEBE1為正方形，

該二次函數(shù)解析式是y=12（x－1）2－2或y=－12（x－1）2+2.

小結? 該題既是求二次函數(shù)解析式的題目，又是一個二次函數(shù)的綜合性題目，還涉及求三角形面積問題.解題過程中運用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱性質、正方形圖形性質解題，運用到了數(shù)形結合思想方法、分類討論思想方法等，其中求二次函數(shù)解析式是解題基礎.

2? 動點問題

二次函數(shù)的動點問題也是中考數(shù)學常見的壓軸大題，該類型的題目主要分為x軸上的動點、對稱軸上的動點、二次函數(shù)圖象上的動點三種類型.在解決該類型題目時，應首先假設動點坐標，根據(jù)題目已知條件（包括隱含條件）列出相應的等式進行求解.在求解中要注意進行分類討論，并考慮每種情況的合理性，就能求出符合題意要求的動點坐標.

例2? 如圖2所示，二次函數(shù)y=x2+bx和直線y=2x+4相交于Aa，8、B兩點，P點是二次函數(shù)上的動點并且位于A、B兩點之間，過P點分別作兩坐標軸的平行線與直線AB相交于C、D兩點.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如果C點是直線AB的中點，求PC的長度；

（3）以PC、PD兩邊構建長方形PCED，并假設Am，n，求 m，n之間的關系.

解析? （1）把Aa，8代入到直線解析式中，可求出a=2.

所以A2，8，再把A點坐標代入二次函數(shù)解析式中可得b=2，

二次函數(shù)解析式是y=x2+2x.

（2）把二次函數(shù)解析式與直線解析式聯(lián)立方程組，可容易求出B（－2，0），根據(jù)線段的中點公式可求出C（0，4），

因為動點P在二次函數(shù)圖象上且與C點縱坐標相同，

所以P（? 5－1，4），可求出線段PC=? 5－1.

（3）因為PCED是長方形，

根據(jù)其性質可求出C（m，2m+4），

D（n－42，n），P（? 2m+5－1，m+4），

根據(jù)ED=CP，

可得出n－42－m=? 2m+5－1－4，

所以8m=n2－4n－16.

小結? 本題是二次函數(shù)圖象上的動點問題，也涉及一次函數(shù)、四邊形問題、交點問題、中點問題等，在求解中仍然利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，再利用方程組求直線與二次函數(shù)的交點，根據(jù)中點公式求中點，利用直角坐標系求線段長度，利用長方形性質求其坐標點，通過列等式使使問題解決.

3? 定值和最值問題

定值問題主要是二次函數(shù)與直線滿足一定條件時，求線段長度的和、差等問題.最值問題主要是求線段的長度、面積的最大或最小值問題.在解決此類定值或最值問題問題時，常用割補法和鉛錘法求出有關圖形的面積，再將其變形與二次函數(shù)解析式相聯(lián)系，根據(jù)二次函數(shù)自變量的取值范圍來求其最大值或最小值.

例3? 如圖3所示，二次函數(shù)與坐標軸相交于A－1，0、B4，0、C（0，－4）三點，點M是直線BC下方拋物線上的一個動點.

（1）求該二次函數(shù)解析式.

（2）判斷是否存在一個動點M，使△MOC是以OC為底邊的等腰三角形？如果存在，求出動點M的坐標；如果不存在，說明理由.

（3）當動點M移動到什么位置時，△MBC面積最大，求M點坐標和△MBC的最大面積.

解析? （1）假設二次函數(shù)的解析式為

y=ax2+bx+c（a≠0），

把A、B、C三點坐標代入其中解方程組可求出a=1，b=－3，c=－4，

所以二次函數(shù)的解析式是y=x2－3x－4.

（2）M點存在.

理由如下：在圖3中，作OC的垂直平分線MD點D在OC上，M點位于BC直線下方拋物線上，

所以M點滿足題目條件（三角形存在性問題）.

因為△MOC是等腰三角形，

所以MO=MC，容易求出D（0，－2），M點縱坐標是-2，

代入二次函數(shù)中得x2－3x－4=－2，

可求得橫坐標是x1=3+? 172，x2=3－? 172，

因為M點在第四象限，x>0，

所以M點坐標是（3+? 172，－2）.

（3）因為M點在二次函數(shù)圖象上移動，可假設Mm，m2－3m－4，過M點作x軸的垂線交于G點，與BC交于H點.根據(jù)B、C兩點坐標，

可求出直線BC的解析式是y=x－4.

所以H點坐標是m，m－4，

MH=m－4－m2－3m－4=－m2+4m.

所以S△MBC=S△CMH+S△BMH

=12OG×MH+BG×MH

=－2m－22+8，

可看出△MBC的面積是關于m的二次函數(shù)，當m=2，△MBC的面積有最大值8，此時可得出M點坐標是2，－6.

小結? 本題利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再利用等腰三角形的性質等，把所求三角形的面積與二次函數(shù)相聯(lián)系，求出二次函數(shù)的最大值，即可求出三角形面積的最大值.在該題解題中除了利用數(shù)形結合思想方法，還運用了轉化思想方法，使二次函數(shù)壓軸問題變得容易解決.

4? 結語

總之，以二次函數(shù)為基礎的綜合性題目是中考數(shù)學常見的壓軸大題，要想有效解決此類題目，需要綜合運用二次函數(shù)、一次函數(shù)、平面幾何等數(shù)學知識，同時也要靈活運用數(shù)學結合思想方法、轉化思想方法、分類討論思想方法等，而且還要掌握二次函數(shù)壓軸題的解題方法策略，才能有效提高解題效率.

參考文獻：

［1］李瓊.初中數(shù)學壓軸題的教學實踐研究［D］.重慶：西南大學，2021.

［2］王瑞芳.中考數(shù)學二次函數(shù)的壓軸題解題探究［J］.成長，2020（06）：19-21.