細聚丙烯纖維混凝土介觀離散力學模型及其I 型斷裂強度負效應機理

沈 雷，吳 杰，鄧通發，曹茂森，徐 磊，李田雨

(1.河海大學水利水電學院，江蘇，南京 210024；2.江西理工大學環境巖土與工程災害控制重點實驗室，江西，贛州 341000；3.河海大學工程力學系，江蘇，南京 210024；4.滁州學院安徽省橋梁結構數據診斷與智慧運維國際聯合研究中心，滁州 239099)

細聚丙烯纖維混凝土(PFRC)在土木工程中運用廣泛。細聚丙烯纖維能夠預防、減少澆筑期裂縫的萌發與擴展。在混凝土抗火方面，細聚丙烯纖維的添加能夠有效抑制孔隙壓力的形成，防止高溫爆裂現象發生。然而，在介觀尺度上(介于宏觀與細觀之間)，細纖維混凝土力學性能數值研究存在困難。

在模擬方法方面，纖維混凝土力學模型可分為宏觀均質化[1-4]，細觀計算[5-6]以及介于前兩者之間的獨立網格法[7]。獨立網格法的基本思想是，混凝土基體離散過程與纖維分布相互獨立，依據空間關系確定纖維連接的基體單元，當基體出現開裂時橋接作用力計入單元總力。此類方法既消除了纖維對基體離散過程的困擾，又能夠模擬各向異性纖維的力學作用，其中混凝土基體的方法有傳統有限元[7-8]、無網格法[9]以及本文所用的離散格構模型[10-11]等。然而，對于直徑≤100 μm 的細纖維，由于細纖維數量過多，現有模型在刻畫數量過多的纖維橋接力以及纖維拔出、斷裂過程中需要巨大計算成本。

在物理現象方面，細與粗聚丙烯纖維對混凝土宏觀力學性能的作用差異甚大，粗纖維能夠顯著提升抗彎荷載峰值而細纖維的作用并不明顯[12]。諸多試驗發現，細聚丙烯纖維的添加會導致混凝土抗拉和抗壓強度降低[13-14]。細聚丙烯纖維體積含量在0%～0.3%時，混凝土劈拉強度呈現先增后減的趨勢[15]。在纖維體積含量為1%和2%時，三點彎峰值荷載分別下降7.3%和36.0%[16]?？梢?，細聚丙烯纖維對材料結構以及力學性能的作用并不是單純的提升作用，其作用機理尚不明晰。

針對現有數值方法的困難和物理認知的不足，本文在鋼纖維混凝土力學本構[11,17]的基礎上，提出細纖維直徑等效概念，并對本構做相應改進，以實現細纖維(直徑≤100 μm)混凝土力學行為的模擬，并揭示細聚丙烯纖維含量對混凝土宏觀I 型斷裂強度的影響。

1 細纖維加強混凝土力學模型

1.1 離散過程

Lattice Discrete Particle Model (LDPM)是介觀尺度混凝土離散力學模型，旨在不單獨劃分骨料和砂漿單元的情況下模擬混凝土非均質材料的破壞行為。假設骨料為球狀，在試件內部隨機投放骨料，依據配合比確定最大和最小骨料直徑(分別為da和d0)，尺寸分布滿足Fuller 曲線分布，試件表面投放無體積節點。離散化過程見圖1。利用試件表面點和內部骨料球心生成四面體網格，四面體單元的邊即為格構單元(Lattice)。取一個四面體單元，有骨料球心Pi和單元中心點T，面中心點Fk以及邊中心點Eij為頂點(i,j,k=1,2,3,4 且i≠j≠k)，可在四面體單元中生成12 個三角形潛在開裂面(Facet)。每個Facet 局部坐標系法向單位向量n和切向單位向量m和l。形成由Facet 包裹的多面體胞元(Cell)系統，每個胞元含有一個骨料和周圍砂漿。

圖1 纖維加強混凝土離散化過程Fig.1 Discretize process of fiber reinforced concrete

1.2 混凝土基體本構

以相鄰骨料Pi和Pj之間的潛在開裂面(Facet)為例，如圖1。Facet 上應變定義為：

式中：eN為法向應變分量；eM和eL分別為相互正交的切向應變分量； [[u]]為Facet 上的位移間斷；l為骨料球心間距；n、m和l分別為相互正交的法向、切向單位向量。

在Facet 上定義法向和切向應力，其彈性的力學響應定義為：

式中：tN為法向應力分量；tM和tL為切向應變分量；相應的EN=E0和ET=αE0分別為法向和切向彈性模量，其中E0=E/(1-2ν)為等效彈性模量；α=(1-4ν)/(1+ν) 為法向和切向的耦合系數，E為彈性模量，ν為泊松比，通?；炷?α =0.25。

式中：rst=σs/σt為介觀剪切強度 σs和介觀拉伸強度 σt的比值，須注意模型中的介觀強度由校正計算確定；Df表征纖維摻加引起的基體強度上升，隨著纖維含量(Vf)增加，纖維界面吸附水分導致局部水灰比降低并且孔隙結構改善[18]，砂漿強度隨之增加：

應力峰值后的軟化階段，等效軟化模量采用指數函數形式，H0(ω)=Ht(2ω/π)nt，Ht為軟化模量，nt=0.2為軟化指數。純拉伸應力狀態下，H0(π/2)=Ht=2E0/(lt/l-1) ，其 中：為拉伸特征長度；Gt為脆性斷裂能。純剪切情況下，有H0(0)=0。更多關于高圍壓狀態下的材料密實和孔隙塌陷行為以及壓剪狀態下的內摩擦行為，請見文獻[17]。

Facet 總開裂寬度定義為δ =δNn+δLl+δMm，其中δN=l(eN-tN/EN) 為法向開裂寬度，δL=l(eLtL/EL) 和δM=l(eM-tM/EM)為切向開裂寬度。當混凝土基體發生開裂時，纖維將阻礙縫面間的擴展，在LDPM 中體現為在潛在開裂面(Facet)上的橋接作用力(crack-bringing force)。Facet 的總應力張量則由混凝土基體應力張量(t)和所有相交纖維的橋接總力組成：

式中，Ak為Facet 的面積。當Facet處于壓縮狀態或開裂寬度為0時，纖維對Facet無應力貢獻，Pf≈0；當 δ>0 ，利用開裂寬度計算橋接作用力Pf(δ)。模型中，纖維的加入引入橋接力，同時也減少了水泥基體的粘結面積，當纖維彈?；驈姸鹊陀谒嗷w時，纖維含量的增加會引起混凝土宏觀強度的降低，此為負作用機理。

最終，每個由Facet 構成的多面體胞元(Cell)滿足力平衡和動量守恒，建立控制方程：

式中： FI為CellI周圍的Facet 集合；矢量c為骨料球心指向Facet 的距離；VI為CellI的體積；b為集合 FI中Facet 上的外力集合。

1.3 纖維-基體相互作用

本文以模型計算極限為依據，劃分直徑≤100 μm為細纖維。而LDPM 的Facet 為介觀尺度(>1000 μm)，因此在細纖維和基體力學模型之間存在尺度上的失配。具體反映為，體積含量為0.2%的150 mm×150 mm×150 mm 試件內含有細聚丙烯纖維(df=50 μm，Lf=12 mm)約22.5 萬根，可見足尺寸構件模擬的計算成本極高。因此，本節在SCHAUFFERT等[11]、SHEN 等[17]、馮君等[19]工作基礎上引入纖維直徑等效系數rf=/df≥1，在不影響模型精度的同時降低纖維投放數量(=Nf/rf2)，以提升模型計算效率，使其能夠模擬細纖維(df≤100 μm)加強混凝土力學行為。

假設纖維垂直于裂縫面(圖2)，纖維從混凝土基體中拔出主要分為如下階段：第一階段，纖維與基體膠結綁定，當基體內裂縫萌發，纖維阻礙裂縫面張開而受力，纖維與基體膠結面產生剪切應力；第二階段，隨著荷載的增大，纖維和基體開始脫粘，此時為局部綁定狀態，纖維并未與基體發生較大滑移，纖維和基體間的綁定能(Gd)抵消纖維橋接力做功；第三階段，當纖維和基體完全脫粘，纖維被橋接力牽引從砂漿中拔出，在拔出過程中纖維與基體壁面發生摩擦(初始摩擦力τf0)；最終，纖維從基體中被完全拔出，在基體中形成一個管狀裂縫。

圖2 纖維垂直拔出示意圖Fig.2 Diagram of pull-out behavior of vertical fiber

上述纖維拔出的不同階段可表現為橋接力隨纖維滑移(ν)變化。纖維滑移值達到臨界值(νd)時，認為纖維與基體完全脫離(第三階段)，該臨界值定義為：

在纖維脫粘的過程中(ν<νd)，橋接力做功可分解為纖維與基體綁定能以及纖維與基體摩擦力做功：

當纖維與砂漿完全脫粘(ν>νd)，纖維逐漸被拔出，與管道壁面發生摩擦：

圖3 傾斜纖維拔出示意圖Fig.3 Illustration of pull-out behavior of slant fiber

上述纖維橋接作用力存在的前提是纖維沒有發生斷裂。因此，須比較纖維橋接力與纖維極限承載力。當滿足式(14)時，認為纖維為斷裂。

式中：krup為材料參數； σuf為纖維拉伸強度。

2 試驗與模擬概況

為校正和驗證所提模型，本文開展纖維體積含量分別為0%、0.1%和0.2%細聚丙烯纖維加強混凝土的預制裂縫三點彎曲梁和立方體單軸壓縮實驗，配比和編號見表1。原材料為：42.5 級普通硅酸鹽水泥；細骨料為細度模數為2.7～3 的天然河砂；粗骨料為粒徑3 mm～20 mm 的連續級配碎石；普通自來水；聚羧酸減水劑；細聚丙烯纖維長度為12 mm，平均直徑為50 μm。立方體單軸壓縮和三點彎曲梁試件尺寸分別為150 mm×150 mm×150 mm和100 mm×100 mm×400 mm，梁預制裂縫深度40 mm，寬度2 mm。常溫澆筑，靜置24 h 后脫模，標準養護28 d。

表1 混凝土配比 /(kg·m-3)Table 1 Concrete mixture

圖4 為試驗裝置示意圖。立方體單軸壓縮試驗采用全自動恒應力壓力試驗機，最大試驗力為2000 kN，加載速率為0.3 MPa/s，試件與試驗機壓板之間無潤滑處理。三點彎曲梁試驗采用電液伺服試驗機，最大試驗力為500 kN，跨中位移加載速率為0.3 mm/min。試驗過程中，立方體應變、三點彎跨中縫口張開寬度(CMOD)等信息采用由Imetrum 公司提供的視頻應變儀。

圖4 物理試驗與數值模擬示意圖 /mmFig.4 Illustrations for experiments and simulations

模擬中采用的數值試件尺寸、骨料尺寸、纖維尺寸和邊界條件均與物理試驗一致，如圖4 所示。計算參數由試驗數據校正確定，見表2。立方體數值模擬中，上下剛體與混凝土接觸面采用高摩擦系數(μ=0.015+0.1285/s[17])，其中s為接觸面節點滑移。三點彎曲梁試驗中，為提升計算效率，除跨中200 mm 以外部分采用線彈性有限元計算，其彈模由立方體抗壓試驗結果確定。

表2 介觀力學參數Table 2 Mesoscopic mechanical parameters

3 計算結果

3.1 模型的校準與驗證

第一步，校準素混凝土模型參數，見表2 左側。通過比較三點彎曲梁跨中荷載峰值以及軟化段曲線與試驗測量數據，確定混凝土介觀抗拉強度、特征長度和脆性能釋放速率，通過比較立方體單軸壓縮宏觀彈性模量和抗壓強度與試驗測量數據，確定混凝土介觀彈性模量和剪切強度。圖5和圖6 分別比較了PFRC 三點彎曲梁和立方體軸壓試驗和數值結果。圖5(a)和圖6(a)分別為混凝土基體(PFRC0)三點彎曲梁跨中荷載和CMOD 關系曲線和立方體單軸壓縮應力-應變曲線，模擬結果與試驗宏觀力學響應吻合。

圖5 三點彎曲梁試驗與數值模擬Fig.5 Simulations of three-point bending tests

圖6 單軸壓縮試驗與數值模擬Fig.6 Simulations of uniaxial compression tests

第二步，校準纖維-基體模型參數，見表2 右側。通過比較三點彎曲梁跨中荷載峰值以及軟化段曲線與試驗測量數據，確定纖維初始摩擦力。由圖5(b)可見，PFRC1 三點彎曲梁跨中荷載關于CMOD 的模擬曲線與試驗數據吻合較好。

第三步，驗證模型準確性。使用表2 參數，預測PFRC2 的三點彎曲梁跨中荷載與CMOD 曲線和立方體單軸壓縮應力-應變曲線。如圖5(c)所示，無論是荷載峰值還是軟化段下降規律均與試驗測量結果較為吻合。圖5(d)為PFRC2 CMOD=0.15 mm時開裂寬度云圖以及裂縫擴展路徑，與試驗結果吻合。試驗過程觀察發現，斷裂面少見混凝土基體碎屑，纖維多見斷裂，少見拔出。圖6(b)和圖6(c)分別為模型預測的PFRC1 和PFRC2 的立方體單軸壓縮應力-應變曲線，無論是壓縮強度還是宏觀彈性模量均與試驗測量結果吻合。圖6(d)為PFRC2單軸壓縮應變為0.01 時開裂寬度分布云圖，以及對應試驗中試件的破壞形態。

3.2 纖維直徑等效系數的驗證

理論上，當纖維拔出角度與基體相對位置保持不變時，上述等效方法嚴格成立。但在實際情況中，混凝土數值試件內骨料和纖維均隨機分布，離散后潛在開裂面(Facet)與纖維拔出角度隨機，上述等效方法不嚴格成立?；诖眢w積單元體的思想，當纖維數量高于某一個數量級時，隨機分布且各向異性纖維橋接作用力對混凝土宏觀力學性能的作用是近似的，即統計學層面的等效。因此，本節首先對等效方法的正確性和相關限制條件進行研究和討論。

以df=0.1 mm，Lf=12 mm，Vf=0.2%為例，rf分別取1、2、5、10、20 和40，其余計算參數見表2。采用完全相同的混凝土數值試件和模擬參數，僅將纖維方向隨機生成。如圖7 為rf=1、10和20 斷裂區域纖維分布，隨著rf逐漸增大，纖維數量減少。在rf≤10 時，跨中荷載與CMOD 曲線基本重合，等效方法成立。而在rf>10 時，跨中荷載與CMOD 曲線在峰值處分離，并在軟化段出現顯著偏差，說明此時rf過大，纖維數量無法保證統計學層面的等效結果?？梢?，rf=10 為一個合理數值，此時纖維數量可減少100 倍。rf取10 可在保證計算結果與實際相同的情況下，大幅提升計算效率，為結構層面的模擬創造了可能性。

圖7 纖維等效系數驗證Fig.7 Validations of equivalent coefficient of fiber diameter

3.3 纖維含量的影響

本文以及前人的試驗結果均表明，細纖維含量增加會引起混凝土的I 型斷裂強度先升后降現象，而此前模型[8,11,17]均無法刻畫該現象。對此，模型在式(6)中引入細纖維親水導致局部水灰比提升引起的基體強度上升，式(7)引入纖維夾雜引起的對Facet 基體有效粘結面積的減小，即Facet 面積 (Ak)分為多根纖維的總面積和混凝土膠結面積。細纖維添加導致混凝土材料結構發生改變，相應地對宏觀力學行為造成兩種截然不同的影響：其一是正效應，即局部基體水灰比增加引起的強度增加和纖維橋接力作用；其二是負效應，即隨著纖維含量的增加，Facet 中混凝土粘結面積減少，導致力學性能下降。鋼纖維的添加對混凝土抗拉強度有顯著提升[17]，說明正效應占據主導地位。

圖8 為三點彎跨中荷載峰值隨Vf的變化規律。其中，采用本文表2 介觀參數時(τ0=0.01 MPa)，Vf的增加無法提升混凝土抗拉性能。當τ0=0.1 MPa和τ0=0.5 MPa 時，混凝土在Vf分別為0.1%和0.2%處發生正、負效應主導地位轉換?？梢?，隨著纖維與基體初始摩擦力(τ0)的提升，從I 型斷裂強度的角度，細纖維的最佳體積含量也隨之增加。

圖8 纖維含量與荷載峰值關系Fig.8 Relation between fiber dosage and load peak

圖8 比較了模型預測結果與和實驗結果。本文實驗結果表明：細聚丙烯纖維體積含量為0.1%和0.2%時，添加纖維導致試件三點彎跨中荷載峰值下降，說明負效應占據主導地位。GUO 等[15]試驗結果表面，混凝土的劈拉強度隨纖維含量(Vf=0.12%、0.17%和0.22%)呈現先增后減的趨勢，相對變化值為+3.3%、+1.7%和-13.3%。BENCARDINO等[16]測得三點彎曲梁峰值荷載隨纖維含量(Vf=1%和2%)增加而分別變化-7.3%和-36.5%。

4 結論

本文通過定義纖維等效系數(rf)，提出細聚丙烯纖維(直徑≤100 μm)介觀離散力學模型，能夠模擬纖維隨機分布、纖維含量、纖維長度的宏觀力學性能的影響，并闡明I 型斷裂強度隨纖維含量先增后減的力學機理。研究結果表明：

(1) 纖維數量隨rf增大而呈平方倍減少，計算效率顯著上升。但由于纖維分布的隨機性和混凝土基體的非均質性，rf過大導致計算精度降低，建議取rf≤10。

(2) 細PP 纖維微親水性提升基體局部水灰比為強度正效應，纖維橋接力強度貢獻低于砂漿的強度負效應。當纖維微量添加時，細PP 纖維微親水性提升基體局部水灰比，使基體強度上升，此時正效應高于負效應；隨著纖維含量增加，由于纖維橋接力貢獻無法補償相應面積基體強度，強度隨負效應持續增長而呈減小趨勢。