基于切口梁彎曲響應的UHPC 受拉性能反演分析

郭義慶，王俊顏

(1.同濟大學先進土木工程材料教育部重點實驗室，上海 201804；2.同濟大學建筑工程系，上海 200092)

超高性能混凝土(UHPC)是根據顆粒最緊密堆積、水膠比小于0.25 和纖維增強等原則進行設計的具有超高強度、高韌性、高耐久性能以及良好施工性能等特點的水泥基復合材料[1-2]。作為過去30 年中最具創新性的水泥基工程材料，UHPC已廣泛用于重載、大跨、抗震、抗爆等結構[3-4]。為充分發揮材料的性能優勢，與普通混凝土結構不同，UHPC 結構在進行設計時通常需考慮其抗拉性能。因此，UHPC 受拉性能是大多數學者研究的重點之一。UHPC 受拉性能按軸拉應力-變形曲線的形狀進行分類時，可分為應變硬化和應變軟化兩類，其中拉伸應變軟化UHPC 根據彎拉試驗得到的荷載-撓度曲線的形狀又可分為撓度強化和撓度軟化兩類彎拉特性[5]。目前，測試UHPC 受拉性能的試驗方法主要有單軸拉伸試驗和彎曲拉伸試驗。單軸拉伸試驗能夠準確反映材料的抗拉強度，可直接獲得UHPC 的拉伸性能，但需要特殊的試驗裝置和試件形狀，門檻較高且耗時耗力，如筆者課題組研制的UHPC 軸拉測試系統[1]，經過近六千根試件的測試表明：采用該測試系統可較為容易獲得應變硬化UHPC 的軸拉應力-應變曲線，而對于應變軟化UHPC，若操作經驗不足，測試時易出現偏心受拉和標距外斷裂現象。因此，UHPC 軸拉測試多用于試驗研究，而在實際工程中的材料性能檢測時較少采用[1]。彎曲拉伸試驗由于測試設備簡單、可操作性強、結果穩定，是一種被廣泛采用的UHPC 拉伸性能間接測試方法。但由于彎曲試驗獲得的彎曲拉伸響應并不能直接反映材料本身的受拉性能，因此需要對實測結果進行進一步的反演分析。

國內外學者對UHPC 的拉伸性能反演分析方法開展了研究[6-13]。反演分析方法主要分為逐步迭代分析法和簡化分析法。逐步迭代法無需依賴于材料的拉伸應力-變形關系，而是利用每一個荷載步下撓度-曲率、曲率-應變關系及截面的平衡條件，進行反復增量迭代以接近實測響應，從而得到最大受拉單元的真實拉伸應力-應變關系[6-7]。張哲等[6]考慮剪切變形和曲率分布的非線性，提出了二次反演分析法，但迭代過程受實測結果的波動影響較大，而且該方法只能得到UHPC 應力軟化前的應力-應變關系。由于逐步迭代法計算過程復雜，而且計算結果呈現局部振蕩現象，需要二次處理才能用于材料指標分析，不適用于UHPC材料的工程現場的快速檢測需求。簡化分析法首先需要假定材料的拉伸應力-變形曲線的大致形狀及特征點。然后，通過力學分析得到彎曲響應，如荷載-撓度曲線、荷載-切口水平張開位移(CMOD)曲線、彎矩-曲率關系等。最后，將計算得到的響應與實測結果進行誤差分析，進而逐步修正特征點參數，從而獲得完整的拉伸應力-變形關系[8-10]。簡化分析法的準確性依賴于特征點的數量以及計算模型的合理性。法國UHPC 材料標準NF P18-470[11]采用簡化分析法通過假設的受拉應力-縫寬曲線建立截面分析過程，再根據平衡條件反復迭代以修正假定曲線的誤差。但迭代過程受實測結果的波動影響較大，可能會導致結果不收斂，因此需要預先對實測結果進行降噪處理。瑞士UHPC結構設計標準SIA 2052[12]采用基于荷載-撓度響應的簡化反演分析法，但其截面受拉區內的拉應力呈均勻分布的假設會導致預測的抗拉強度偏高。?STERGAARD 等[13]考慮拉伸應變硬化和裂紋局部化影響，采用塑性鉸模型建立了基于梁彎曲響應的混凝土拉伸性能簡化反演分析方法，但由于裂紋開展的隨機性，需觀察每個試件裂紋局部化的位置。

為了更加快速、簡便、準確地獲取UHPC 材料的拉伸性能，本文提出了一種基于荷載-CMOD響應的UHPC 拉伸性能簡化反演分析方法。首先，通過應變-裂縫寬度轉換關系，提出一種可描述應變硬化或軟化特征的多折線受拉應力-應變關系，在此基礎上建立了一種考慮裂紋局部化的非線性鉸模型，并通過截面分析推導出彎矩-CMOD 關系公式，將其與切口梁彎曲試驗得到的彎矩-CMOD響應進行誤差分析，逐步修正特征點參數，從而得到完整的UHPC 受拉應力-縫寬曲線。然后，利用帶切口的軸拉試驗結果驗證了模型分析結果的準確性。最后，研究了特征長度和特征點數量對模型分析預測結果的影響規律。

1 非線性鉸模型

1.1 非線性鉸模型概述

為使測試結果更加穩定，法國UHPC 標準NF P18-470[11]和國際結構混凝土聯合會的Model Code 2010 規范[14]中的彎拉測試都采用帶切口的小梁試件。假設UHPC 小梁的切口深度為a、跨中截面高度為h、寬度為b，如圖1(a)所示，在四點彎曲作用下，由于切口上方橫截面的開裂彎矩明顯小于無切口截面，因此在切口上方會首先出現裂縫。隨著荷載的增加，裂縫沿橫截面高度不斷擴展，寬度也進一步增大。根據圣維南原理，裂縫周圍區域的應力場會受到擾動，橫截面曲率在此區域內呈二次拋物線對稱分布特征[15]，而小梁在擾動區域外仍符合鐵木辛柯梁理論，兩部分在擾動區域的邊界處滿足轉角的相容性。此區域稱為塑性鉸區域，區域寬度S為特征長度，如圖1(b)所示。為簡化分析，在塑性鉸區域內引入以下假設：

圖1 帶切口的非線性鉸模型示意圖Fig.1 A schematic of the notched nonlinear hinge model

1) 計算時假定塑性鉸區域的特征長度S保持不變；

2) 假設切口梁在開裂后僅在切口上方截面處出現一條豎向裂縫；

3) 假定塑性鉸區域始終處于純彎段內，受壓區UHPC 始終處于線彈性狀態，且受拉和受壓彈性模量相同。

基于以上假設，雖然裂縫處UHPC 的應變沿截面高度已不符合線性分布特征，但在整個塑性鉸區域內的橫截面各點的平均正應變仍可以視為沿截面高度呈線性分布[16]。UHPC 基體開裂后，由于纖維的橋接作用，受拉區的拉應力仍可通過裂縫進行傳遞。取裂縫寬度為wi處的微元進行受力分析，如圖2 所示，則微元體的平均拉應變可表示為：

圖2 含裂縫微元受力分析Fig.2 The stress analysis of differential element with crack

式中：E為UHPC 基體的彈性模量；σi為微元受到的拉應力。

如圖3 所示，利用式(1)可將應力-縫寬曲線上的任一特征點(σi,wi)進行橫坐標變換，從而得到應力-應變曲線上的對應點(σi,wi)。當所有特征點進行橫坐標變換后，即可將假定的UHPC 受拉應力-縫寬曲線轉換為應力-應變曲線。通過采用多折線模型和特征點的調控，可描述UHPC 的受拉應變硬化或應變軟化特征，其數學表達為：

圖3 UHPC 多折線受拉應力-變形關系模型Fig.3 A segmented tensile stress-strain relationship model

1.2 基于非線性鉸模型的截面分析

如圖4 所示，采用假定的UHPC 受拉應力-應變關系，建立塑性鉸區域內裂縫截面分析過程，則截面的軸力和彎矩平衡方程為：

圖4 塑性鉸區域橫截面各點平均應變及應力分布Fig.4 Linear distribution of strain along the depth and the corresponding stress distribution

式中：Nc、Mc、yc分別為受壓單元的合力、合力對中性軸的矩以及對應的力臂；Ni、Mi、yi分別為受拉區第i個單元的合力、合力對中性軸的矩以及對應的力臂；M為外力矩。

根據截面平均應變沿高度呈線性分布的假定，橫截面各點至中性軸的相對距離為：

式中：εc、εi和εn分別為橫截面受壓區最外側、受拉區第i個單元外側和受拉區邊緣的平均正應變；αn為相對受拉區高度。

同樣，如圖4 所示，各單元的高度hi、合力Ni以及合力到中性軸的距離yi可表示為：

式中，

根據軸力和彎矩平衡方程，可求解出截面相對受拉區高度及彎矩的表達式為：

由式(1)可得受拉區邊緣拉應變與此處裂縫寬度的關系式為：

式中，wn為受拉區邊緣的裂縫寬度，其最大值取最長纖維長度的一半，即wn≤Lf/2，Lf為最長纖維長度。

根據切口張開寬度與裂縫外緣寬度的幾何關系，如圖5 所示，可得CMOD 的表達式為：

圖5 CMOD 與裂縫外緣寬度的幾何關系Fig.5 Geometrical relationship between CMOD andwn

式中，CMOD 為切口外邊緣的水平張開寬度。

由式(8)～式(11)可確定開裂截面的彎矩與CMOD 之間的關系。另外，需要注意的是在一些切口梁彎曲試驗中量測的并不是切口外邊緣的水平張開寬度CMOD，而是切口頂端的裂縫張開寬度(CTOD)，即本文中的wn，此時只需由式(8)～式(10)來確定彎矩和CTOD 之間的關系。

1.3 基于非線性鉸模型的反演分析流程

由上述截面分析得到的一系列“縫寬→應變→彎矩”關系式，可通過Matlab 或Excel 建立計算流程。如圖6 所示，首先，根據UHPC 所采用的纖維長度確定裂縫寬度wn的最大值；其次，按精度要求選取UHPC 的受拉應力-裂縫寬度曲線的特征點并賦予初始值(σn,wn)；然后，從初始點(σ0,w0)開始通過每次計算可得到彎矩-裂縫寬度曲線上所對應點的坐標(Mn,CMODn)，并將其與實測值進行誤差分析，逐步修正σn；最后，當wn等于纖維長度的二分之一時結束計算，將所有特征點繪成曲線進行輸出。

圖6 基于非線性鉸模型的反演分析流程Fig.6 Implementation procedure of the inverse analysis

2 UHPC 軸拉試驗和切口梁彎曲試驗

2.1 UHPC 材料及試件成型

本文驗證性試驗所采用的UHPC 材料基體配合比見表1，其中膠凝材料采用強度等級為52.5的普通硅酸鹽水泥和比表面積為22 000 m2·kg-1的微硅粉。兩組試驗U-2.2%和U-1.2%所采用微細鋼纖維體積摻量分別為2.2%和1.2%，鋼纖維的性能指標見表2。每組試驗成型3 個100 mm×200 mm 圓柱體軸心抗壓試件、3 根標距段截面為50 mm×100 mm 的帶切口啞鈴形軸拉試件以及3 個尺寸為100 mm×100 mm×400 mm 切口小梁彎曲試件。同一組試件均在室溫下一次成型并覆膜養護24 h 后進行拆模，然后放置在標準養護箱內，達到28d 齡期后取出，采用如如圖7 所示的自動臺式石材切割機對試件進行濕切加工，可使切口的尺寸誤差控制在±1 mm。對于軸拉試件，為了避免加載時出現切口截面以外斷裂，切口的尺寸應滿足切口截面的拉應力達到極限抗拉強度時，無切口截面的拉應力小于初裂強度。考慮到目前應變強化UHPC 極限抗拉強度與初裂強度的比值多在1.1～1.8，保守取切口截面的面積為無切口截面的二分之一，以此確定軸拉試件的切口深度宜為25 mm。對于切口梁試件，參考法國標準NF P18-470[11]的建議，為減小纖維在靠近模板處趨于二維分布對強度的影響，切口深度應大于最長纖維長度的二分之一，同時為方便加工，本文取10 mm。試驗測得的UHPC基本力學性能如表3 所示。

表1 UHPC 基體配合比Table 1 Mix proportions of UHPC matrix

表2 鋼纖維性能參數Table 2 Properties of steel fibers

表3 UHPC 實測基本力學性能Table 3 The basic mechanical properties of UHPC

圖7 試件切口加工Fig.7 The notch processing of specimen

2.2 UHPC 單軸拉伸試驗

單軸拉伸試驗加載設備為300 kN 微機控制電子萬能試驗機。試驗加載速率為0.1 mm/min，當試驗拉力下降至最大力值的20%結束測試。試件變形測量裝置為對稱布置的兩支精度為0.0001 mm的光柵位移計。試驗裝置及試件尺寸如圖8，試件兩側切口深度為25 mm，位移計所測量的標距段長度為150 mm。由于實測變形包含UHPC 基體的彈性變形和裂縫寬度，因此需按式(12)對試驗結果進一步處理才能獲得材料的應力-縫寬曲線。

圖8 UHPC 軸拉試驗裝置及試件 /mmFig.8 Setup of UHPC uniaxial tensile test and specimen

式中：A0、A分別為切口截面和無切口截面的面積；P為所施加的拉力；δ 為實測總變形；l0為軸拉試件標距段長度。

單軸拉伸試驗測得的UHPC 受拉應力-縫寬曲線如圖9 所示。從圖9 中可看出，纖維摻量為2.2%時UHPC 表現出明顯的拉伸應變硬化特征，平均初裂應力和極限抗拉強度分別為7.31 MPa 和8.96 MPa，極限抗拉強度對應的裂縫寬度為0.43 mm。纖維摻量為1.2%時，UHPC 表現出明顯的拉伸應變軟化特征，但平均初裂應力為8.02 MPa，略高于U-2.2%，這主要是由于試驗采用的UHPC 材料在標準養護條件下自由收縮較大(約900 με)，較高的纖維摻量約束了收縮的發展，使得試件在未加載時，基體已處于相對較高的拉應力狀態，從而導致試件的實測初裂強度較低，這與筆者課題組的前期研究一致[17]。

圖9 實測UHPC 軸拉應力-裂縫寬度關系曲線Fig.9 Uniaxial tensile stress-crack width responses of UHPC

U-1.2%的所有試件開裂后都出現軸拉應力突降現象，主要是試驗機剛度不足及纖維與基體的粘結作用不足以承擔開裂前基體所受拉力所致。另外，試件U-1.2%-3 的軸拉應力在開裂后有較大突降，隨后又略微上升，通過對比該試件兩側的位移數據發現，這主要是由于試件在開裂前一直處于較大程度的偏心受拉狀態，導致初裂時裂縫處纖維非均勻受拉，與軸心受拉試件相比，表現出軸力降幅較大，而軸力下降后試件偏心狀態逐漸得到了調整，裂縫處的纖維也趨于均勻受拉，軸力開始上升，兩側的變形也逐漸達到相同水平。U-2.2%各試件軸拉應力-縫寬曲線下降段的離散性高于U-1.2%，可能是由于較高的纖維摻量使得纖維分布不均勻，初裂前出現不同程度的偏心受力，而在開裂后，由于應變硬化特性的存在，其偏心狀態并不像U-1.2%-3 那樣可以得到糾正，而是進一步加劇，加載至下降段時其偏心程度逐漸被擴大，進而導致下降段波動較大。

2.3 UHPC 切口梁彎曲試驗

彎曲試驗加載設備與軸拉試驗相同，試驗加載速率為0.2 mm/min。試驗裝置及試件尺寸如圖10所示，小梁試件底部切口深度為10 mm。切口水平位移CMOD 測量裝置采用精度為0.001 mm 的夾式引伸計，通過兩個刀片固定在小梁底面切口中間位置，CMOD 的起始點應為初裂時刻，當CMOD達到6.5 mm 時終止測試。彎曲試驗結果采用彎矩-CMOD 關系曲線表示，如圖11 所示。2.2%和1.2%兩種纖維摻量的UHPC 都呈現出撓度硬化特性，平均開裂荷載分別為25.31 kN 和29.62 kN，平均極限荷載分別為63.65 kN 和45.48 kN，對應的切口水平位移為1.34 mm 和0.38 mm。試驗結果表明：較高纖維摻量的UHPC 具有較高的韌性、彎曲強度和較強的裂縫控制能力。

圖10 切口梁彎曲試驗裝置及試件 /mmFig.10 Setup of notched bending test and specimen

圖11 切口梁彎曲試驗獲得的荷載-CMOD 關系曲線Fig.11 Load-CMOD responses of notched bending beams

3 模型驗證與參數分析

3.1 模型驗證一

采用本文提出的非線性鉸模型，根據本文切口梁四點彎曲試驗實測的荷載-CMOD 曲線進行反演分析獲得不同纖維摻量下UHPC 的受拉應力-裂縫寬度曲線，如圖12 所示，其中特征點參數的平均值見表4。分析時，UHPC 彈性模量按表3 選用，特征長度S依據Model Code 2010[14]取切口梁高度的一倍進行計算。反演分析結果與實測結果對比表明：計算模型能夠準確預測應變軟化和應變硬化UHPC的受拉初裂應力和峰值應力，但圖12 中U-1.2%和U-2.2%在軟化初始階段的預測平均值比軸拉試驗的實測平均值分別高約15%和11%，這主要是由于此階段軸拉試驗結果的離散性較大，見圖9。同樣，彎曲試驗結果的離散性也決定了模型預測結果的穩定性，如U-1.2%試驗組纖維摻量低、分散均勻，其彎曲和軸拉測試結果的離散性都相對較小，因而使得模型預測結果與實測結果整體吻合較好。因此，模型預測結果的穩定性隨荷載-CMOD 響應的離散性增大而降低。

表4 UHPC 受拉應力-裂縫寬度曲線特征點參數Table 4 Characteristic point parameter of UHPC tensile stress-crack width curves

圖12 預測結果與本文驗證試驗實測結果對比Fig.12 Comparison of the predicted results with experimental results in this paper

3.2 模型驗證二

為進一步驗證分析方法的適用性，本文借鑒SAVINO 等[18]測得的切口梁四點彎曲試驗和軸拉試驗數據，采用本文的分析模型對9 組共27 個試件的彎曲響應進行了高性能纖維混凝土(A)和兩種UHPC(B、C)的受拉性能反演分析。但與本文驗證性試驗不同，其切口梁四點彎曲試驗量測的是切口頂端的張開寬度(CTOD)，即本文中的wn，因此，反演分析應采用彎曲試驗測得荷載-CTOD 曲線。另外，雖然SAVINO 等[18]采用的是無切口、標距段長度80 mm 及截面尺寸為40 mm×30 mm 的軸拉試件，但在軸拉試驗中UHPC 只出現了單縫開裂。因此，仍可根據式(12)將測得的軸拉應力-變形曲線轉換為軸拉應力-縫寬曲線。SAVINO 等[18]采用的切口梁尺寸為600 mm×150 mm×150 mm，跨中切口深度為45 mm。

圖13 為分析預測結果與SAVINO 等[18]實測結果的對比情況。可以看出，三種材料的軸拉應力-縫寬預測曲線與實測曲線的變化趨勢保持一致，但在相同縫寬下，軸拉應力的分析預測值都高于實測值，而且高估的幅度與彎曲響應的離散性有一定相關性。這可能是由于同一種材料的各組試件是在不同日期分批次澆筑的，再加上UHPC對原材料和養護條件要求較高，從而導致彎曲響應和軸拉應力-縫寬曲線離散性較大，最終使得預測結果偏差較大。從圖13 中可看出，隨著B、C、A 的荷載-CTOD 曲線的離散性依次增大，軸拉應力的預測值也逐漸偏離實測值，這與3.1 中的結論一致。因此，對于離散性較大的彎曲響應，在進行受拉性能反演分析時，應考慮對分析預測值進行折減。

圖13 模型分析結果與SAVINO 等[18]試驗實測結果對比Fig.13 Comparison of analytical results with experimental results by SAVINO et al[18]

3.3 參數分析

為簡化分析，本文采用了塑性鉸區域的特征長度S保持不變的假定，但研究表明塑性鉸區域的特征長度隨裂縫高度擴展而不斷變化[15]。各規范和研究給出的特征長度參考值也不盡相同，如法國與瑞士規范建議取梁高的三分之二、Model Code 2010 建議取梁高的一倍，而OLESEN[16]則建議取梁高的二分之一。另外，特征點的數量直接影響分析過程的復雜性和結果的準確性，因此，有必要研究特征長度和特征點數量對本文模型分析結果的影響規律。

圖14 為不同特征長度下的反演分析結果。可以看出，兩種UHPC 反演分析得到的初裂應力與特征長度的相關性較小，而開裂后裂縫寬度在0.5 mm 內的軸拉應力預測值隨特征長度減小而降低。這主要是由于初裂階段裂縫開展高度較小，實際受擾動區域的特征長度較短。當特征長度由90 mm 減小至50 mm 時，纖維摻量為2.2%的應變硬化UHPC 的峰值應力預測值降低了5.5%。因此，非線性鉸模型當采用較大的特征長度時會略微高估UHPC 初裂后的抗拉強度。建議在對應變硬化UHPC 受拉性能分析時，特征長度取試件高度的二分之一。

圖14 不同特征長度下的模型反演分析結果對比Fig.14 Analytical results with various reference lengths

圖15 為模型分析結果受特征點數量的影響規律。圖15 中可得，對于U-1.2%應變軟化UHPC，模型分析結果受特征點數量的影響較小，特征點數量為3 時，即三折線模型，就可滿足精度要求。但對于U-2.2%應變硬化UHPC，當特征點數量由8 分別減少至6 和4 時，模型預測的峰值應力分別提高了2.2%和5.6%，而裂縫寬度4 mm 對應的軸拉應力預測值分別降低了50%和75%。因此，采用本文模型對應變硬化UHPC 受拉性能進行反演分析時，特征點的數量應不少于6 個，即應采用五折線模型。

圖15 特征點的數量對模型反演分析結果的影響Fig.15 Analytical results with various characteristic points

另外，雖然已有研究表明：在加載速率小于1.25 mm/min 時，切口深度對UHPC 彎曲強度的影響可忽略[19]。但由于切口深度的變化會影響特征長度的取值，因此，后續還應研究切口深度對模型預測結果的影響規律。

4 結論

基于切口梁四點彎試驗獲得的荷載-切口水平張開位移(CMOD)響應，本文建立了采用非線性鉸模型進行UHPC 拉伸性能反演分析的過程，并將分析預測結果與軸拉試驗實測的應力-縫寬曲線進行了對比驗證，結論如下：

(1) 在采用適當的模型參數情況下，分析結果與兩種鋼纖維摻量的UHPC 軸拉試驗實測結果整體吻合較好且誤差可控制在5%以內，提出的簡化分析方法能夠準確預測和識別UHPC 的拉伸應變硬化和應變軟化特征。

(2) UHPC 軸拉試驗結果的離散性隨鋼纖維摻量的增加而增大，模型預測結果的穩定性隨彎曲試驗的荷載-CMOD 響應的離散性增大而降低。

(3) 應變軟化UHPC 的受拉性能預測結果受特征長度的影響較小，但應變硬化UHPC 的極限抗拉強度隨特征長度的減小而降低，建議非線性鉸模型的特征長度取試件高度的二分之一。

(4) 特征點數量對應變軟化UHPC 的受拉性能預測結果影響較小，而對于應變硬化UHPC，較少的特征點會導致預測的極限抗拉強度偏高，建議應變軟化和應變硬化UHPC 的受拉應力-縫寬關系分別采用三折線和五折線模型。