函數圖象的“雙對稱”問題教學策略

張 穎

(福建省三明市第二中學,福建 三明 365000)

學習函數圖象的對稱性,對于我們解決函數問題最大的優勢就是知一半而求全部,提高了我們研究函數性質的效率.因此,我們必須精準地把握函數圖象的對稱性,才能“有效”“高效”地解決函數圖象的“雙對稱”問題.

在教學過程中,發現學生主要的學習困難有兩個方面:①對數學符號的理解不夠,不能準確從表達式看出函數圖象的對稱關系;②由對稱性引發的一些潛在結論或不知道,或不理解,或不能靈活運用.因此,本文給出以下教學策略.

1 重視函數圖象對稱性的理解

如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(a-x)=f(a+x)(a∈R)(或f(x)=f(2a-x))則函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱;反之,若函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱,則有f(a-x)=f(a+x)(或f(x)=f(2a-x)).

特別地,當a=0時,函數f(x)是偶函數.

如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(a-x)+f(a+x)=2b(a,b∈R),(或f(x)+f(2a-x)=2b)則函數f(x)的圖象關于點(a,b)對稱;反之,若函數f(x)的圖象關于點(a,b)對稱,則有f(a-x)+f(a+x)=2b(或f(x)+f(2a-x)=2b).

特別地,當a=0,b=0時,函數f(x)是奇函數.

2 多角度判斷函數圖象的對稱性

問題如果函數f(2x+1)是偶函數,則f(x)圖象有何對稱性?

方法二圖象變換.f(2x+1)縱坐標不變,橫坐標變為原來的2倍,再向右移一個單位,所以,f(x)的圖象關于直線x=1對稱.

方法三根據函數圖象對稱性的定義.

令g(x)=f(2x+1),∵g(x)是偶函數,

∴g(-x)=g(x)∴f(-2x+1)=f(2x+1)

∴f(x)的圖象關于直線x=1對稱.

一般地,若f(x)圖象是中心對稱,則f(ax+b)圖象也是中心對稱,反之,也成立.若f(x)圖象是軸對稱,則f(ax+b)圖象也是軸對稱,反之,也成立.

3 從函數圖象的“雙對稱”中挖掘“多對稱”

性質2若定義在R上的函數有兩個對稱中心(a,0),(b,0)(a≠b),則周期T=2|a-b|.

性質3若定義在R上的函數有一條對稱軸x=a,一個對稱中心(b,0)(a≠b),則周期T=4|a-b|.

正、余弦函數圖象關于直線對稱,也關于點對稱.教學中,借助正、余弦函數圖象的特征,幫助學生理解“雙對稱”與周期的關系.函數圖象“雙對稱”,此函數一定是周期函數,那么,“雙對稱”一定可以得到“多對稱”.

幾何直觀上認識,如圖1,已知對稱軸l1,l2,則直線l1關于直線l2的對稱直線l3,也是對稱軸,直線l2關于直線l3的對稱直線l4,也是對稱軸,以此類推,可以得到一系列的對稱軸.如圖2,已知對稱中心A,B,則點A關于點B的對稱點C,也是對稱中心,點B關于點C的對稱點D,也是對稱中心,以此類推,可以得到一系列的對稱中心.如圖3,已知對稱中心A和對稱軸l1,則點A關于直線l1的對稱點B,也是對稱中心,直線l1關于點B的對稱直線l2,也是對稱軸,以此類推,可以得到一系列的對稱軸和一系列的對稱中心.

圖1 正弦函數示意圖

圖2 正弦函數示意圖

圖3 正弦函數示意圖

函數圖象“雙對稱”隱含著周期,所以“雙對稱”本質上是“多對稱”.從已知的“雙對稱”,我們可以通過數學表達式進行代數轉化得到“多對稱”,也可以通過點關于直線對稱、線關于線對稱、線關于點對稱,借助點線之間的位置關系,通過幾何作圖的方法得到“多對稱”.

4 數形結合簡化“雙對稱”問題

例1(多選題)若函數f(x+2)為奇函數,f(x+1)為偶函數,當x∈(0,1]時,f(x)=lnx,則選項正確的有( ).

A.f(e)=1 B.f(x)周期為4

C.f(x)為偶函數 D.當x∈[1,2)時,f(x)=ln(2-x)

解析函數f(x+2)為奇函數,f(x+1)為偶函數,通過平移,得到函數f(x)圖象關于點(2,0)對稱,關于直線x=1對稱.顯然,周期T=4(不一定是最小正周期),選項B正確.

幾何作圖得到(圖4),(2,0)關于直線x=1的對稱點是(0,0),則(0,0)也是對稱中心,那么x=0會不會是對稱軸呢?只有當函數是常函數y=0時,函數既是奇函數也是偶函數,而此題當x∈[1,2)的解析式不是常函數,選項C錯誤.

圖4 點線對稱示意圖

e∈(2,3),若(e,f(e))在點C位置,則容易找到點C關于點A的對稱點D,再通過點D關于直線x=1對稱點M,xM∈(0,1],接著把幾何關系用代數表示出來,即f(e)=-f(4-e)=-f(e-2)=-ln(e-2),選項A錯誤.同樣地,當x∈[1,2)時,通過點關于直線x=1對稱,得到f(x)=f(2-x)=ln(2-x),選項D正確.

D.函數y=f(x)的值域為[-2,2]

圖5 點線對稱示意圖

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

性質4:若f(x)圖象關于直線x=a對稱,則f′(x)的圖象關于(a,0)對稱.

性質5:若f(x)圖象關于(a,0)對稱,則f′(x)的圖象關于直線x=a對稱.

性質6:若f′(x)的圖象關于(a,0)對稱,則f(x)圖象關于直線x=a對稱[2].

性質7:f′(x)的圖象關于直線x=a對稱,則f(x)圖象關于(a,c)對稱.(c為常數)

5 結束語

數學的學習,一定要理解知識的基本結構,從知識的整體性去認知,這樣才能用聯系的觀點建立知識間的內在的邏輯關系,尋求高效的方法解決問題.