變、行、計：小學數學估算教學“新視界”

鄧云

［摘 要］估算在學習和實際生活中都具有獨特的價值和現實意義。通過對比新舊兩版課程標準中關于估算內容的變化，明確了估算教學的重點，并針對目前教學中仍存在的一些問題，探索解決估算教學偏差的路徑，以促進學生的估算能力培養和應用意識的發展。

［關鍵詞］估算;估算教學;課程標準

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）05-0019-06

估算是人們在日常生活中廣泛運用的一種高效的粗略計算方法。它基于數感、生活實踐經驗和計算經驗，旨在對一些無法或無須進行精確測量和計算的數量進行粗略估計，并對數量關系做出合理推斷。估算在學習和生活中都有廣泛應用，無論是制訂暑假作業計劃，還是確定修建大橋所需建筑材料的數量，估算都扮演著重要角色。因此，學生估算能力的培養勢在必行。

一、內容定位之“新”：明估算教學之“變”，踩準估算教學著力點

關于估算，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011課程標準》）和《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022課程標準》）都指出，小學數學教學必須結合理論學習和實踐經驗，重視估算在數學教學的重要作用。但估算在《2011課程標準》和《2022課程標準》中所屬的內容板塊和相關要求又有著明顯的變化（見表1）。

從表1可以看出，對于估算的內容，《2022課程標準》除了要求內容在學段上更加細化，新增了具體的學業要求和教學提示，最明顯的一個變化是將估算從“數的運算”板塊劃入了“數量關系”板塊。對估算做出這樣的調整，體現了以下幾點導向。

（一）估算應用的場域之“變”

《2022課程標準》將估算放入了“數量關系”板塊，并強調估算教學需要借助真實問題情境。這意味著估算不僅僅是一種運算方法，涉及估算的題型也從簡單的比較大小擴充到解決綜合的實際問題。這要求學生調動分析問題的能力，利用估算和相應的數量關系解決更復雜的真實情境中的問題。因此，《2022課程標準》突出了估算應用的場域之“變”，即通過緊密聯系真實生活情境，調動學生解決問題的綜合能力。因此，將估算納入數量關系板塊似乎更具有意義。

（二）估算應用的聯結之“變”

【案例1】抓豆子（如圖1）

師：我今天準備了一些豆子，想讓大家來估一估有多少粒。這是一碗蠶豆，請一位小朋友來抓一抓和數一數。

（教師指導學生抓的標準和數的方法，生1抓一把蠶豆并得出準確數據。）

師（出示蠶豆、花生、黃豆）：請比較它們的大小。

師（請生1抓一把花生，如圖2-1所示）：生1抓了多少粒花生？

（學生猜完后，讓生1攤開手，如圖2-2所示。）

師：現在請估一估生1抓了多少粒花生。

生2：十幾粒花生。

師：為什么比生1抓的蠶豆數量多呢？

生3：因為花生比蠶豆小。

師：如果生1抓一把黃豆，你覺得他能抓多少粒？

生4：三十幾粒。

師：為什么比生1抓的花生數量多呢？

生5：因為黃豆比花生要小，每粒黃豆占的空間比每粒花生占的小，所以黃豆數量會比花生多。

師：你們說的都非常棒！你們的感覺準不準呢？抓一把黃豆到底能抓多少粒呢？……

這是一年級數學下冊 “綜合與實踐”的“我們認識的數”的教學片段，可以看出，雖然學生還沒有接觸到估算，但他們在估計一把豆子的數量時已經運用了以往的生活經驗，使用了“豆子數量×1粒豆子的體積=1只手容納豆子的體積”的乘法數量關系，知道“每粒豆子的體積越小，能抓起的豆子數量就越多”。此外，《2022課程標準》給出的例18（如圖3）中使用了估算來解決實際問題，應用了加法模型“分量+分量=總量”。由此可見，《2022課程標準》更加突出了估算與數量關系之間的聯結。估算與數量關系是密不可分的，依托于數量關系，能更好地解釋如何進行估算和計算。因此，將估算納入數量關系板塊更加合情合理。

（三）估算應用的效能之“變”

《2022課程標準》在教學提示中提到了數量關系的教學：在具體情境中，利用加法或乘法表示數量之間的關系，建立加法模型和乘法模型，知道模型中數量的意義。估算的重點是解決實際問題。相比以往將估算放入“數的運算”中，現在的調整更突出了估算應用的效能之“變”，即將估算作為數量關系和數學模型應用的一個生長點，能使數學知識結構更加具有系統性，更能通過估算教學培養學生的模型思想和應用意識。

通過以上對《2022課程標準》中估算教學變化的分析，可以幫助教師踩準估算教學的著力點：在估算教學中，教師應重視引導學生對具體情境進行分析，選擇合適的單位，并運用相應的數量關系進行估算，從而解決實際問題。此外，教師還應培養學生清晰描述估算過程的能力，而不僅僅是簡單地教給他們估算的方法和技巧。

二、匡正誤區之“新”：辨估算教學之“行”，彌補估算教學不足

根據《2022課程標準》，筆者收集了估算教學的一些成功案例，也總結了一些當前存在的教學誤區。希望通過對比這些案例和誤區，能幫助教師在今后的估算教學中避免教學偏差，走上一條正確的通往核心素養培養的估算教學之路。

（一）“行”之范式

【案例2】設計運輸方案（如圖4）

師：像此類設計運輸方案的問題，首先應該考慮什么呢？

生1：要考慮滿足2個條件，一是要使運費最少，二是要盡可能保證每輛車都裝滿不浪費。

師：你考慮得很周全。確實如你所說，同時滿足這2個條件的方案才是最優方案。那么如何使運費最少呢？

生2：哪種車載每噸沙子的運費最少就盡量多用這種車，這樣就最劃算。

師：如何判斷哪種車載每噸沙子的運費最少？

師（出示4種學生的做法，如圖5所示）：比較這幾種做法，你更喜歡哪種？為什么？

生3：我喜歡第2種，因為第2種方法最簡便。

生4：第2種方法不適用于所有的題目。我喜歡第4種，它只需要簡單地估算就能比較出用哪種車最便宜。

生5：我也喜歡第4種，我真佩服這位同學能想出這種好方法。根本不用費腦子算，與10比較一下就能選出運費最低的車子了。

在該教學案例中，教師對于估算教學的引導非常到位，在信息量較多的情況下首先幫助學生分析問題情境，厘清最優設計的思路，并引導學生找出解決問題的關鍵數量關系，然后讓學生自主解決問題。在這個過程中，不同學生展現了不同的思維水平和解題方法：有學生采用了精確計算的方法，他在計算過程中更加注重精確性；有學生展現出了較強的數感，但方法存在一定的漏洞；有學生采用了估算的方法，并巧妙地選取“10”為比較對象，使得解題過程更加簡潔高效。從學生的反饋來看，他們也在這樣的教學中感受到了用估算解決實際問題的“鮮活”和“靈動”。因此，正確、活躍而靈活的估算教學對于學生估算意識的覺醒、思維水平的發展和提升核心素養都具有促進作用。

（二）“行”之偏差

在實際的教與學中，盡管教師非常重視估算教學，并且學生也意識到估算的價值和意義，但學生在估算學習方面的效果卻不佳，經常出現各種問題。

1.無視問題情境，將“大約”視為估算

在平時的作業和練習中，一些學生只要看到問題中有“大約”這個詞，就會條件反射地想到使用估算方法，而不管實際上是否需要估算。另外，他們還傾向于對最終的結果進行四舍五入處理。

如圖6所示的問題實際上并不屬于估算的題目，這里的“大約”僅僅是因為草坪不是規整的平行四邊形，而是近似平行四邊形，所以在算鋪草坪費用時才用到了“大約”，旨在突出數學問題表達的準確性。

但有些學生卻受到思維定式的影響，看到“大約”就要用估算，這是不可取的。教師在估算教學中要時刻引導學生學會辨析問題情境，根據題意靈活運用估算，注意區分需要和不需要用到估算時的兩種“大約”的不同含義。

2.數感量感薄弱，瞎估亂估

良好的數感和量感能幫助學生選擇合適的單位，從而進行準確的估算，順利解決問題。然而，在一些數與量的教學中，如果因為組織教學難度大、教學時長不夠、教具不足等原因，而未給予學生親身感知數與量大小、數量的機會，會導致許多學生在進行估算時容易瞎估亂估，無法順利解決問題。例如，教學“1平方米”時，如果只是讓學生了解1平方米的大小是以1米為邊長的正方形面積的大小，卻未組織學生親自去圍一圍、鋪一鋪，大部分學生對于1平方米的大小的感知仍然是比較匱乏的。因此，當遇到類似“100個學生做廣播操大約需要多少面積的場地？”這樣的問題時，學生就無法準確清晰地感知和估算。長此以往，學生的數感和量感無法建立起來，他們就無法準確選擇合適的單位，只能盲目地進行估算，導致估算教學變得困難重重。

還有一些學生在舉例時可能比較隨意，舉一些不恰當的、不符合實際情況的例子（見案例3），如果教師聽之任之，同樣不利于學生數感、量感的培養和建立。

【案例3】

師（出示圖7）：你認為應該選哪個？為什么？

生1：選D。因為雖然五（1）班的平均體重比五（2）班的重，但也有可能五（1）班劉曉的體重是1 kg，五（2）班李軍的體重是100 kg；或者他們倆的體重都是50 kg；或者劉曉的體重是100 kg，李軍的體重是1 kg。因此，選項A、B、C都不對，只能選D。

師：你們贊同生1的說法嗎？（大部分學生表示贊同，少部分學生發出質疑的聲音）看來有同學對生1的回答存在質疑。

生2：我贊同，但是生1舉的例子不太恰當。因為不可能有同學的體重是1 kg，體重是100 kg的可能性也極小。如果拿體重舉例子的話，25 kg～50 kg是比較合適的。

可以看出，生2的數感、量感和生活經驗非常出色，因此他的回答更加準確和嚴謹。而生1的數感不一定不好，他可能是為了突出問題而選擇了極端的數據。然而，數學作為一門科學性和嚴謹性很強的學科，對于那些需要突出學生數感和量感的問題，教師應該盡可能引導學生貼近實際生活舉例，而不是憑空捏造數據或無根據地進行瞎估亂估，這樣才能在日常的課堂教學中使學生潛移默化地建立準確的數感和量感。

3.僅關注結果，以算代估、先算再估

學生在解決問題時常常出現“假估”的現象，例如以算代估或者先計算出精確值再進行估算。這種解題思路并沒有充分展現出估算的思想、方法和過程。出現這種現象可能有以下幾個原因。首先，在小學數學學習中，學生主要接觸精確計算，思維定式的影響使得學生更傾向于相信精確計算的結果，而對估算持有不確定、不敢用、不信任的態度，因此更傾向于追求精確計算而非估算。其次，學生缺乏對估算意義的理解，不清楚估算的優勢在哪里，缺乏對估算這種思想方法的深刻認識。最后，估算對學生的數感要求較高，導致學生面對估算時會退縮，甚至不再關注。

因此，在進行估算教學時，教師應該關注學生是否真正進行了估算，確認學生是“先估后算”，關注學生估算過程和思考的路徑，這樣學生的估算能力和應用意識才能得到培養。

三、教學策略之“新”：探估算教學之“計”，尋求估算教學多條途徑

（一）豐富活動經驗，培養數感與量感

數感和量感是估算教學的基礎。在估算教學中，教師應該在課堂上組織豐富的觀察比較、動手實踐和操作活動，讓學生親身感受數和量的大小和多少。例如，教學長度單位時，讓學生選取合適的單位后先估算再測量課桌的高度、學校到家的距離等；教學質量單位時，讓學生先估算1千克雞蛋、蘋果等大約有多少個再實際稱量；教學面積單位時，讓學生先制作1平方米大小的圖形，再估算教室、操場等的面積。通過將實際測量的結果與之前的估算結果進行比對，能夠重塑學生對數量大小的感受，進一步形成數感。在這個教學過程中，教師需要引導學生在對單位大小的感受上進行明確估算，而不是無根據地瞎估或亂估。

數感和量感的培養是一個漸進的過程，貫穿整個小學階段，這是一個需要持之以恒的過程。只有通過多樣化的教學方法和實踐活動，才能幫助學生建立起對數和量的敏感性和準確感，從而提升他們的估算能力和應用意識。

（二）總結估算方法，提升估算技能

針對學生容易先算后估或以算代估而導致的“假估”的問題，教師要讓學生熟練掌握各種估算方法或技巧，這樣才能在解決問題時讓估算“真發生”。估算方法的學習分布廣、跨度大，每當教學一種新的估算方法時，教師都要指導學生結合以往的方法做出比較、歸納總結，從而讓學生系統螺旋上升式總結估算方法，靈活掌握估算技能。目前常用的估算方法有以下幾種。

1.近似取整

在計算時進行估算，一定是先估后算，其中常見的一種方式是將數據估算為整十或整百數，然后進行計算。例如，對于“28×7”，一般會將28估算為30后進行計算，得到的乘積近似等于210。類似地，對于“827+199”，簡便計算的操作是“827+200-1”，這個方法中也蘊含著近似取整估算的思想。

2.以小見大

當要估算一個較大的數量時，可以將其先分解成小部分進行估算。例如，要估算一個學校有多少名學生，就可以通過一個班的學生人數來進行估算等。

3.概括規律

整數、小數和分數中有很多規律（見表2），可以幫助學生快速地估算和判斷結果是否正確。

4.估、算結合

筆算、估算都是計算方法，若學生在數學學習中能有機結合使用，無疑會提高解題的效率及準確率。教師在設計計算練習時，一方面，可以讓學生在精算前運用估算對結果進行預測，例如教材中有很多題目設置的是“不計算，比較下面幾組算式得數的大小”；另一方面，計算后還可以要求學生運用估算對結果進行檢驗，例如在學習三位數除以兩位數時，可以通過估計商的位數及大小進一步檢驗得數是否正確。

5.聯系實際

在解決問題時，如果需要使用估算，通常需要考慮實際情況，并從實際出發得出估算結果。例如租船、租車等問題，當需要租船或租車來容納一定數量的人時，即使剩下的人無法坐滿一條船或一輛車，仍然需要租一條船或一輛車。類似地，在買衣服或買票等情況下，也需要考慮到多留出一些錢來應對可能的額外費用或價格波動，以確保足夠的購買力。

（三）感受估算“魅力”，培養估算興趣

在平時的估算教學實踐中，估算意識強、估算方法妙、思維水平高的學生還是有不少的，如案例4。

【案例4】

師（出示圖8）：你選哪個選項？你是怎樣判斷的？

生1：選A。因為209×18=3762，299×98=29302，算式乘積一定在3762～29302之間，所以排除選項C。又因為個位上的8×9=72，乘積的個位數一定是2，所以排除選項B。

生2：因為乘積的個位數一定是2，先把選項B排除，再像生1那樣求出乘積最大值29302，最后的得數一定小于或等于最大值，因此只能選A。

生3：我也是先根據乘積的個位數排除選項B，然后根據“2□9＜300，□8＜100”知道乘積一定小于30000，排除了選項C。只能選A。

師：3位同學分別展示了3種不同的思路與方法。比較這3種方法，你更喜歡哪一種？為什么？

生4：我喜歡生3的方法，因為這個方法不僅好理解，而且算起來比較方便，直接口算就可以了，更簡單一些。我認為做這類選擇題不需要精確計算，先進行估算會更方便一些。

正如上述案例所描述的那樣，教師要善于利用那些估算意識強的學生的精彩發言，抓住這種生成性的教學資源，突出估算的價值與優越性，帶領學生分析其中運用到的估算方法，讓學生真正感受到估算的魅力，使他們變“不愿估算”為“喜歡估算”，從而培養學生的估算意識，提高學生的估算能力。

（四）挖掘估算素材，提高估算意識

學習估算的目的是使其服務于現實生活。在估算教學中，教師可以要求學生在日常生活中有意識地進行一些估算活動，挖掘估算的素材。例如，在逛超市時，可以先估算所購商品的總價格。在估算的過程中，學生可能會發現一些簡便的估算方法。估算完成后，讓學生將估算結果與小票上的實際總價格進行對比。生活中處處都有估算的機會，類似這種將估算活動融入日常生活的做法，有助于培養學生的估算意識，并促使他們在實際情境中運用估算。

學生估算意識的形成和估算能力的提升不是一蹴而就的，需要教師每堂課堅持不懈、持之以恒地努力。只有這樣，學生才能將估算內化為一種自覺意識，才會主動運用各種靈活的估算方法解決學習和生活中的各種問題。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 屠麗華.小學數學“估算”教學的現狀與思考[J].中小學教學研究，2020（4）：25-29.

[2] 先維強.例談小學數學估算教學的誤區與對策：以《數學》四年級上冊《三位數乘兩位數的估算》為例[J].中小學數學（小學版），2021（11）：5-6.

[3] 周潔.讓估算在小學數學應用中"活"起來[J].知識窗，2020（7）：26-27.