多元表征：學生數學思維意識有跡生長的路徑尋繹

楊宇超

［摘 要］數學知識的抽象性較強，運用多元表征可以幫助學生降低理解難度。多元表征包括文字表征、數據表征、圖形表征、符號表征等形式。通過將數學概念用不同的形式進行表征，學生可以更深入地認識和理解概念的內涵，從而建立起結構化的知識體系。

［關鍵詞］多元表征；思維意識；數學概念

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）05-0042-04

近年來，多元表征在教育領域越來越受到關注，研究的重點也逐漸從實驗情境中多元外在表征對學習的影響，轉向真實課堂中如何有效運用多元表征進行教學，激發學生的數學思維意識。研究結果顯示，科學地將多元表征運用到小學數學問題解決中，可以幫助學生進行有意義的知識建構。在實際教學中，教師應該靈活運用多元表征優化教學思路，以激發學生主動解決數學問題的能力，從而深化學生對數學知識的理解。

一、意蘊探尋：多元表征的涵義闡釋與現狀分析

（一）多元表征的涵義闡釋

在數學中，多元表征指的是把同一種數學知識通過不同的形式表現出來。筆者認為，可以用外在多元表征結構系統（如圖1）來說明數學概念的發展過程。從教學角度來講，小學數學學習的過程就是基礎概念教學的推進，利用基礎概念來解決生活中的一些問題。問題解決表征大體可以分為四種：語言或文字表征、圖形或圖表表征、數字或符號表征、操作或過程表征。在小學數學問題解決中，運用多元表征可以促進學生對數學問題的正確理解，幫助學生找到解決問題的最佳方法，并促進學生數學思維的發展。

（二）多元表征的現狀分析

目前，多元表征的研究已經取得了一定的成果，但也存在一些不足之處。首先，部分鄉鎮小學對多元表征的關注度明顯不足，運用多元表征進行教學仍處于起步階段；其次，大多數教師已經意識到多元表征的重要性，但在成果轉化方面，他們僅停留在對具體課例的“見招拆招”上，缺乏經驗性策略的總結和一般理論支撐的建構，缺乏深層次的思考；最后，目前的多元表征研究大多側重于多元表征的現狀和簡單應用，對于表征轉換和轉譯策略的研究相對較少，并且缺乏與學生思維意識相結合的研究，對于解決核心問題缺乏深入探討的勇氣。

二、理性厘析：多元表征實踐訴求及價值尋繹

（一）減少認知負荷——多元表征教學的初衷

認知負荷理論是由澳大利亞心理學家約翰·斯威勒提出的，認知負荷可以看作是完成某項任務對認知系統所造成的負荷。在小學學習階段，學生通過單一的語言或文字表征往往難以深入理解抽象概念的內涵。因此，教師需要降低學生的內在和外在負荷，增加有效負荷。多元表征的運用可以將復雜抽象的概念分解，從而降低知識本身的內在負荷。

（二）實現智慧課堂——多元表征教學的意義

數學學習不僅僅是知識的積累，還伴隨著思維與邏輯的發展。因此，學生的數學學習應該超越課本上具體概念與知識的學習，進一步探索在思維的發散和碰撞中萌發的數學智慧。多元表征的運用使數學知識的表征變得更加多樣化，有助于深化學生對核心內容的理解。多元表征能夠使知識學習變得更加緊密和系統化，有助于學生的認知結構和思維意識得到更廣泛的拓展。如此，學生構建新知識將變得更加容易。

（三）解決問題核心——多元表征教學的價值

恰當地呈現、互換和融合不同類型的數學表征，能夠幫助學生發展思維意識，從而有效提升數學核心素養。不同類型的表征在解決相同問題時往往呈現出不同的效果，其中圖形表征更具直觀性，更能幫助學生理解問題的核心。

三、實踐構建：基于多元表征的小學數學課堂運用及轉換策略

（一）意識凝聚：層層珠連，聚焦多元表征建模萌發

1.重視“數形+結合”，促進多元表征的轉換與轉譯

多元表征的核心在于表征之間的轉換或轉譯。在小學階段，數學學習通常通過圖形或實物操作等方法幫助學生理解，構建數學模型，然后使用文字或符號對數學模型進行標注。在這些過程的相互作用下，學生能夠更深入地理解知識的內涵和本質。數和形之間的緊密聯系能夠激活學生的思維，使學生的理解模型化、具體化和清晰化，形成一系列思維碎片。然而，最關鍵的是如何將這些碎片進行整合，重新構建數和形的關系，將數量、結構、內涵等進行融合，形成一個完整的體系。對小學生來說，建立“形”與“數”之間的聯結，以及建立“形”的結構、內涵意義與運算關系之間的聯結并不是一件容易的事情。教師需要思考如何幫助學生建立這些聯結。

2.重視“操作+思考”，促進多元表征學習的精致化

學習是一個需要反復強化的過程，以便形成永久性記憶。同樣，多元表征學習建模過程也是如此，學生需要對多元表征信息進行多次的抽象、概括、轉換、轉譯、加工、拓展等認知操作，才能形成深刻的記憶。在這幾種認知操作中，抽象和概括是學生通過日常學習形成的能力，轉換和轉譯經過教師的技巧傳授，學生通常也能夠掌握。加工和拓展則屬于學生日常積累和知識轉化的過程，是多元表征整合的核心內容，這個過程是必要的，它是學生自我經驗的體現，也是學生對自身知識匹配性的辯證和完善。通過將“操作”與“思考”結合，進行集合、類比、轉換、轉譯、抽象、概括等思維過程，學生能夠在細節化的思考過程中使抽象的內容越來越具體、清晰、豐滿，從而實現有意義的知識建構。

3.重視“關聯+類比”，促進多元表征縱深發展

多元表征與其他學習方式之間最大的區別在于多元表征的學習更加注重關聯性，這更像一個系統的學習，相互獨立又互為補充。多元表征的學習還具有類比化和結構化，其學習過程的多元性與豐富性也是其他形式的學習難以比擬的，各知識點都具有承上啟下的作用，學習新知識的同時也在溫故，溫故能為學習新知識做好鋪墊。在多種表征方式的對應與聯結中，在豐富與拓展多元表征學習中，在不同表征方式的轉換與轉譯中，學生頭腦里的數學概念和數量關系會越來越具體和清晰，學生的理解也會越來越接近數學的本質，最終走向思維深度理解和有意義的建構。

（二）思維扎根：巧妙設計，驅動素養生長內在動力

1.適時呈現，讓知識內核“看得見”

多元表征之所以稱之為多元表征，最顯著的特征就是多元。多元意味著解決問題的方法多，針對不同的問題，可以通過不同的表征與手段進行解決，并引導學生分層次逐步抽象數學學習對象。通過多元化“抽絲剝繭”，揭示知識的本質屬性，實現知識點自然呈現，從而讓知識內核真正“看得見”，使學生更容易理解知識的要點與學習的重點。

以“升和毫升”為例，教師可以先展示一個標量為1升的立方體量杯，通過視覺表征和語言表征等方式幫助學生建立起初步的1升的直觀認知；再適時出示一個長、寬、高均為10厘米的正方體量杯，并通過測量其體積以及用1升水能倒滿幾個500毫升量杯的操作，引導學生逐步發現1升水的體積與長、寬、高均為10厘米的正方體的體積相同，1升等于2個500毫升，即1000毫升。通過視覺表征和準確的語言表征，學生能夠自然地在腦海中形成關于升、毫升及它們之間相互關系的表象。視覺、語言和記憶的相互作用使得學生的思維方法和推導過程十分清晰，從而讓知識內核真正“看得見”。

2.精細關聯，讓思維方法“看得清”

小學數學前后學習的知識通常是存在聯系的，教師在教學中應該靈活運用多元表征，引導學生發現知識點之間的內在聯系，通過各個支線將知識點串聯或轉化合并，讓思維方法“看得清”。這不僅是學生理解的標志，也是學生真正學會學習的標志。

以“認識小數”為例，教師可以先讓學生使用長方形紙來表示十分之四（如圖2-1），從而揭示0.4表示的實際意義；再引導學生探究1元2角是多少元（如圖2-2），將分數與小數聯系起來，借助兩個概念之間的關聯關系來豐富學生的認知。通過有層次的問題設計和多元表征的方式揭示概念的內涵與外延，就能讓學生更好地認識和理解新概念。

3.多元展現，讓思維過程“看得深”

以“相遇求路程的實際問題”的習題為例：小明和小芳同時從家出發走向學校，經過4分鐘兩人在校門口相遇，求他們兩家相距多少米。教師可通過數形結合的方式（如圖3），運用圖形表征、數字表征與過程表征，展現思維過程，助力學生理解。這樣也能通過“70×4+60×4=（70+60）×4”進一步驗證乘法分配律，建立“形”的結構、內涵意義與運算關系之間的聯結。

數學思維是抽象且無形的，但通過多元表征的方法可以將數學思維過程展現出來，將內在的知識外顯化，即將內在的表征轉化為學生數學思維的外化表征，從而幫助學生構建良好的生態學習循環系統。通過恰當的多元表征呈現、互換互譯和內外融合，可以讓學生的思維“看得見”，從而有效提升學生的數學素養，讓思維過程“看得深”。

（三）品格提升：自主深入，推動思維能力提檔升級

1.初窺門徑：基于多元表征提高學生對概念的認識

數學概念的教學既是數學教學的重要環節，也是數學學習的核心，而多元表征教學的根本任務正是利用多種表征形式，準確地揭示概念的內涵和外延。教師利用多元表征讓學生以自我實踐的方式進行理解，通過多種形式讓學生進行探究學習，將枯燥、難以理解的概念變得可視化、實體化、狀態化， 將數學概念轉化為模型語言，為學生思考問題、解決問題提供助力，加深學生對概念的理解，讓概念教學與學生的思維意識從表象走向深度。

以“加法交換律”為例，可以用以下四種方式進行表征（見表1）。首先，通過數據列舉的形式進行表征，展現加法交換律的外在表現形式，讓學生理解交換的外延，并在頭腦中初步形成概念的表象；接著，用圖形表征讓學生更直觀地觀察加法交換律的交換過程，鞏固數據表征的成果，加深學生對知識內涵的理解；然后，利用文字表征進行總結，將科學概念展示給學生，使意義建構得以順利進行；最后，利用符號表征規律，并呈現一般意義上的表達公式。

3.觸類旁通：基于多元表征構建問題分析系統

學生對數學概念和數學算法的內化需要經歷一個自我構建的過程。教師應當善于借助多元表征來激活學生的主動思維意識，通過梳理數學問題中的邏輯和因果關系，有效幫助學生構建問題分析系統，強化學生自主分析問題的能力，幫助他們找到正確的思考思路并有效解決數學問題，從而提升學生的數學核心素養。

例如，教學“乘法分配律”時，教師可先出示算式“（5+4）×3”，引導學生思考與這個算式相等的其他算式，并討論它們為何相等；接著，引導學生發現“（5+4）×3”表示9個3相加，而“5×3+4×3”表示5個3和4個3相加，結果也是9個3相加，所以它們的結果是相等的。通過這樣的語言表征，可能有些學生的思維還不夠清晰，這時可以用圖形表征（如圖5）來引導學生更好地理解數學問題的邏輯和因果關系，激發學生的主動思維，提高學生對數學概念的理解和運用能力。

綜上所述，基于多元表征的小學數學教學符合學生的認知規律，能夠有效降低學生理解和學習數學概念的難度，進而提升學生的數學學習能力。在課堂教學中，教師應注重引導學生經歷圖形表征、符號表征等過程，同時尊重學生的個性化差異，積極做好數學多元表征教學，從學生的角度出發，注意各表征方式彼此關聯、層層遞進的關系。這樣可以使學生的思維意識和能力從表象化逐步轉為抽象化，讓學生數學思維意識的生長有跡可循。這樣的教學方法不僅可以提高課堂教學效果，還可以激發學生數學學習的積極性和主動性，并提升學生的數學核心素養。

［ 參 考 文 獻 ］

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