基于三維空間的激光駕束炮射導彈設計及外彈道仿真

李冬青，朱 胤，朱元武，王 倩，黃海英

（北方自動控制技術研究所，太原 030006）

0 引言

激光駕束炮射導彈由于具有作戰靈活，打擊精度高，成本低，可靠性高等眾多優勢［1］，在近年來的一些局部戰爭都發揮著獨特的作用，各個國家都在不斷對其進行改進研制。炮射導彈是陸域戰爭典型的武器裝備，但是其數據都為各國的機密，為了提高局部陸域戰爭打贏實力，改進性能和評估制導精準度及毀傷效果，促進導彈設計國家所需人才培養建設，需要對激光駕束炮射進行整體外形設計并且導彈進行外彈道仿真，炮射導彈三點法導引具有簡單容易實現的特點，但先前的研究者基本沒有研究在三維空間地狀態下對炮射導彈的彈道進行模擬［2-3］，只是在簡單的在二維平面對目標運動進行理想化假設，這嚴重不符合實戰中目標具有不可控制、運動隨機的特點。本文創新性地建立炮射導彈三維空間運動學方程，并運用三點法對具有隨機運動特性的目標進行彈道仿真，可以減少實彈打擊所帶來的不確定性和成本偏高等問題，因此，具有實際作戰意義；本文還創新性地對導彈總體進行完整便捷的設計，并對導彈氣動特性運用便捷精準的方法進行獲取，對初學者進行導彈設計仿真具有很好的指導作用。此外，激光駕束炮射導彈外彈道仿真還能對導彈總體設計提供相關的性能參數，對炮射導彈的不斷研發和改進具有借鑒參考的意義。裝備模擬器是面向戰爭實景的新型戰術仿真系統的重要構成之一，隨著仿真技術在軍事方面的快速發展，通過裝備模擬器構建三維場景來檢驗武器裝備作戰性能，炮射導彈彈道仿真在裝備模擬器中的應用，將會促進人機實時交互軍事訓練模擬系統的不斷發展和完善。

1 炮射導彈外彈道數學模型的建立

1.1 坐標系的建立及轉換

本文研究的是激光駕束炮射導彈，其原理為炮射導彈打擊目標時，射手用瞄準制導儀瞄準、跟蹤目標，炮彈發射后制導系統會發射一道激光束，并按期望沿著激光束中心飛行，直到擊中目標。

雖然炮射導彈的運動規律不會因為坐標系的選取而發生改變，但是在計算時會因為坐標系的選取而導致運動方程的復雜程度不同，導彈的姿態、受力的大小和方向，以及速度的大小和方向都受到坐標系的選取不同而形式不同，為了便于對導彈運動方程分析，建立不同的坐標系很有必要，下面將介紹本文所用的導彈坐標系及其轉換。

1.1.1 基準坐標系Oxyz

基準坐標系Oxyz 與導彈固連，是一個動坐標系，其原點O 為導彈的瞬時質心，為了便于分析，不考慮瞬時質心位置的變化。Ox 軸為水平基準方向，沿目標方向為正，Oz 垂直于Oxy 平面，方向按右手準則確定。

1.1.2 彈道坐標系Ox2y2z2

彈道坐標系的Ox2y2z2與導彈的速度矢量固連，是一個動坐標系。彈道坐標系的原點O 也在導彈的瞬時質心上，Ox2軸沿著導彈的速度矢量方向，沿速度矢量方向為正；Oy2軸在包含Ox2的鉛垂平面上，方向以向上為正；Oz2軸與Ox2y2平面垂直，右手準則確定Oz2的方向。彈道坐標系通常用來確定導彈的偏轉以及導彈質心運動的動力學方程。

1.1.3 基準坐標系與彈道坐標系的轉換

彈道坐標系可視作由基準坐標系以旋轉φv→θ為次序，經過兩次旋轉而來。因此，可以直接得到彈道坐標系與基準坐標系之間的轉換公式，如式（1）所示，其中，φv為彈道偏角，θ 為彈道傾角。

1.2 炮射導彈運動方程組的建立

導彈在飛行時，發動機作為推進劑會消耗燃料，導彈質量受推進劑消耗燃料質量影響，消耗燃料產生的發動機推力P 如式（2）所示［4］。

式中，mc為燃料消耗量的變化率，ue為噴管燃氣排放速度，Se為噴管橫截面積，Pe為噴管燃氣壓強，PH為導彈所在位置的大氣壓強。推力大小具體數值可以在試驗臺上測得，本文查閱相關資料，為了便于分析炮射導彈的外彈道軌跡，將導彈的推力大小及質量變化率較為理想地按式（3）計算：

由于攻角較小，可以忽略偏轉給導彈帶來的影響，因此，炮射導彈質心運動方程可以簡化為式（4）［5］：

1.3 炮射導彈導引模型的建立

三點法屬于遙控制導的一種導引方法，因其原理簡單，容易實現，成為導彈制導的常用導引方法。三點法是指導彈在追尋目標的飛行過程中，從制導站看去，移動制導站時，制導站、導彈和目標始終在一條直線上。本文選取三點法作為炮射導彈的導引規律，并從三維空間出發，建立導引方程［6］，其原理圖如圖2 所示。

圖中，R、Rm分別為制導站到導彈和目標的距離，ε、η 分別為導彈的高低角和偏航角，εm、ηm分別為目標的高低角和偏航角。

由上圖可以得知三點法導引的關系方程為：

根據制導站與導彈之間、制導站與目標之間的相對運動關系，由運動學規律可得到制導站與導彈、制導站與目標的運動學方程組，如式（6）所示：

式中，vm為運動目標的速度，θm為目標的彈道傾角，φvm為目標的彈道偏角。

2 炮射導彈結構設計及參數分析

炮射導彈整體結構的設計對氣動特性分析和導彈外彈道軌跡變化有著重要的影響［7］，因此，對炮射導彈的整體結構參數的設計有著十分的必要性，本文為了保證炮射導彈整體結構參數的合理性，參考了俄羅斯的“蘆笛”號炮射導彈［8］，查閱相關資料可得到“蘆笛”炮射導彈的主要戰術技術性能指標，其具體參數如表1 所示。

表1 “蘆笛”炮射導彈主要戰術性能指標Table 1 Main tactical performance indexes of“Ludi”gun-launched missile

2.1 炮射導彈氣動外形設計

炮射導彈氣動外形設計對導彈是否具有良好的氣動性能以及是否滿足對機動性、穩定性和操縱性的要求十分重要。氣動外形設計主要包括氣動布局的選擇和各部件外形幾何參數的確定。

2.1.1 氣動布局的選擇

導彈氣動布局的選擇需要對彈翼、舵面和發動機等各部件之間的相互位置進行合理的確定安排，在對質心定位的計算中給出了對各部位的位置安排。研究導彈的氣動布局可以聚焦到以下兩個問題：

1）翼面（包括彈翼、舵面等）數目及其在彈身周側的布置方案；

2）翼面之間（如彈翼與舵面之間）沿彈身縱向的方案布置。

本文參考“蘆笛”炮射導彈，結合考慮軸對稱具有簡便計算，每個方向上產生升力都會使導彈舵機系統能夠得到快速的響應，最終確定軸對稱布置方案，尾翼選取×字形彈翼。

2.1.2 各部件幾何參數的確定

各部件幾何參數的選擇和幾何尺寸的確定，對炮射導彈的氣動特性分析都有著重要的影響，因此，需要對彈翼的展弦比λ、根梢比η、前緣后掠角χ這3 個參數分別進行分析。以上3 個參數的具體影響不再詳細展開，具體參數如表2 所示。

表2 炮射導彈各部位幾何參數Table 2 Geometric parameters of various parts of gun-launched missile

對彈翼的展弦比λ、根梢比η、前緣后掠角χ 這3 個參數分析完后，還需要對彈翼的翼型進行選擇，超聲速導彈的常見翼型如圖3 所示，考慮到飛行速度大小和工藝性結構，本文選取的翼型剖面是六邊形。

對于彈身外形的形狀及參數大小，對導彈的氣動特性影響也不可忽略。導彈彈身分為頭部、中段和尾部。有翼導彈的頭部外形通常有錐形、拋物線形、尖拱形和半球形，綜合考慮導彈氣動力及制導要求，本文選取尖拱形作為炮射導彈的頭部外形。導彈的中段外形通常選取圓柱形，能夠在提高空間的同時減小空氣阻力。導彈的尾部一般有平直圓柱形、錐臺型和拋物線形3 種，考慮到空氣阻力較小，加工較簡單，一般導彈都選取錐臺型作為導彈的尾部形狀。

2.2 炮射導彈總體部位安排

2.2.1 炮射導彈總體部位

為了保證炮射導彈能夠從炮射口到精準擊中目標這一過程中，導彈能夠具有良好的穩定性和操縱性，往往需要對炮射導彈進行總體部位安排［9］。

導彈的穩定性是整體設計的重要指標之一，衡量導彈穩定性通常需要考慮靜穩定性指標和動穩定性指標。考慮到導彈靜穩定一定動穩定，但動穩定不一定靜穩定。因此，在本文的研究設計中，保證了導彈具有一定的靜穩定度。

2018年10月11日，雅馬哈株式會社社長中田卓也、全球營業本部本部長山口靜一等一行親臨展會現場，在雅馬哈（中國）公司總經理鶴見照彥、鋼琴營業部部長劉朋、客戶服務部部長新美哲嗣等的陪同下視察了雅馬哈鋼琴展區。

為了確定導彈的壓心和質心確定位置，需要考慮試驗與計算誤差的約束邊界

綜合以上因素可得到

式中，LB為導彈長度。

通過后文的質心定位，可以得到導彈的質心位置為0.362 9 m，壓心位置為0.421 6 m，經過仿真計算論證分析，該導彈的質心位置和壓心位置完全滿足導彈飛行過程中對穩定性和操縱性的要求。

2.2.2 炮射導彈各部位質心定位

本次炮射導彈的質心定位設計是參考俄羅斯的“蘆笛”炮射導彈，各個質量參數也是在多次論證可行后加以確認的，為了確保導彈在飛行過程中滿足導彈對靜穩定度的要求，本文在設計時需要反復調整各個部件的位置，確定各個部件的質心位置，結合相關參考資料，最終設計的炮射導彈各部位質心及相關參數表3 所示。

表3 炮射導彈各部位質心位置及相關參數Table 3 Centroid position and related parameters of each part of gun-launched missile

由理論力學中的力矩平衡原理可知，導彈的質心位置計算公式為：

通過質心計算公式可求出炮射導彈的質心位置：

Tecplot 是一款功能強大的數據分析和可視化處理軟件。它提供了豐富的繪圖格式，包括x-y 曲線圖，多種格式的的2-D 和3-D 面繪圖。為了便于直觀分析，利用Tecplot 軟件建立起導彈的三維模型，如圖4 所示。

3 基于Missile Datcom 的炮射導彈氣動特性分析

3.1 炮射導彈氣動特性方法的選取

為了求出氣動力和氣動力距，一般有數值計算法、風洞實驗法和工程計算法［10］，但是數值計算法不僅計算量大，還對電腦CPU 等硬件的性能設置了門檻，耗用時間過長，不適合在導彈的初步設計過程中使用，而通過風洞試驗法來準確模擬導彈在飛行過程中受到的環境狀況及獲取導彈的氣動力系數比較困難。本文主要選取工程計算法，選取的軟件是Missile Datcom［11-13］。Missile Datcom 是由美國空軍飛行力學實驗室開發的一款氣動力工程計算軟件，采用了部件組合法、數據模塊化和方法模塊化等方法。由于其充分利用了美國空軍幾十年來的風洞試驗數據，因此，它對于一般傳統外形設計的導彈具有較強的適應性和較高精度。隨著技術的發展和試驗數據的積累，該軟件的功能和試驗數據不斷完善，計算結果的精確度也不斷提高，成為美國飛行器總體設計部門必備的程序。

3.2 Missile Datcom 使用流程及結果

Missile Datcom 軟件一般分為無界面版，有界面版1 號和有界面版2 號3 種，本文選取的是2011版的有界面版2 號，具體見圖5，將第3 章中設計的導彈參數依次利用Missile Datcom 軟件進行編輯。

限于文章篇幅，下面直接給出Missile Datcom 軟件部分計算結果，以下各圖均是在馬赫數為1.2 時，各氣動力系數和氣動力矩系數隨攻角變化的情況。

4 炮射導彈外彈道仿真及結果分析

4.1 仿真方法的選擇

MATLAB 軟件具有簡單易行，可視化操作強等眾多優點，因此，本文選取MATLAB 軟件作為仿真軟件。對炮射導彈氣動特性的分析可知，升力系數、阻力系數、偏航力矩系數主要受速度和攻角影響，側向力系數、偏航力矩系數和滾轉力矩系數主要受速度和側滑角影響，因此，可以將Missile Datcom 得到的表格中的數據提取并導入到MATLAB 進行二維差值，從而可以得到其變化規律。對于炮射導彈動力學和三點法構成的微分方程組，由于彈道是連續的，并且彈道解算要求精度高，因此，可采用變步長的四階龍格庫塔法［14］進行求解運算。

4.2 仿真結果及分析

4.2.1 氣動特性的仿真結果及驗證

氣動特性參數通過Missile Datcom 軟件獲取，將獲取的數據制成Excel 表格，使用MATLAB 軟件進行數據的讀取，并通過二維插值仿真得到以下仿真結果。

在本文給定的氣動布局和結構外形設計下，由圖14～圖16 分別可以看出，阻力系數隨著馬赫數的增加先增大后減小，在馬赫數接近于1 時，導彈的局部和頭部形成激波導致阻力系數急劇增大，在攻角比較小時，隨著攻角的增大，阻力系數明顯地也隨著增大；在小攻角情形下，升力系數隨馬赫數的增加先增大后減小，可以看出在馬赫數為1 左右時，升力系數會出現猛跌現象，對于攻角，隨著攻角的增大，升力系數明顯的也隨著增大；小攻角情形下，側向力系數隨著馬赫數的變化不是很明顯，隨著側滑角的增大，側向力系數不斷減小。本文得到的結論與參考的一些文獻資料中的結論一致，說明本文的導彈氣動外形設計合理，通過Missile Datcom得到的氣動數據較為準確，為炮射導彈的導彈仿真確定了準確的仿真數據。

圖1 彈道坐標系與基準坐標系的關系Fig.1 The relationship between ballistic coordinate system and reference coordinate system

圖2 三點法原理圖Fig.2 Schematic diagram of three-point method

圖3 超聲速導彈常見翼型Fig.3 Common airfoils for supersonic missiles

圖4 炮射導彈三維模型Fig.4 Three-dimensional model of gun-launched missile

圖5 Missile Datcom 軟件操作界面Fig.5 Operation interface of Missile Datcom software

圖6 升力系數隨攻角變化Fig.6 The lift coefficient varies with angle of attack

圖7 阻力系數隨攻角變化Fig.7 The drag coefficient varies with angle of attack

圖8 側向力系數隨攻角變化Fig.8 The lateral force coefficient varies with the angle of attack

圖9 俯仰力矩系數隨攻角變化Fig.9 The pitching torque coefficient varies with the angle of attack

圖10 偏航力矩系數隨攻角變化Fig.10 The yaw torque coefficient varies with the angle of attack

圖11 滾轉力矩系數隨攻角變化Fig.11 The rolling torque coefficient varies with the angle of attack

圖12 法向力系數隨攻角變化Fig.12 The normal force coefficient varies with the angle of attack

圖13 軸向力系數隨攻角變化Fig.13 The axial force coefficient varies with the angle of attack

圖14 阻力系數隨攻角及馬赫數變化Fig.14 The drag coefficient varies with angle of attack and Mach number

圖15 升力系數隨攻角及馬赫數變化Fig.15 The lift coefficient varies with angle of attack and Mach number

圖16 側向力系數隨側滑角及馬赫數變化Fig.16 The lateral force coefficient varies with the slip angle and Mach number

4.2.2 炮射導彈彈道的仿真結果及驗證

本文可以實現在較低成本下實時獲取目標的動態三維飛行數據，坦克可以安裝陀螺儀測高低角和方位角的角速度（通過轉動激光制導器獲取），激光測距儀來解算目標實時速度，通過上文建立的炮射導彈運動方程組與導引模型的結合，從而可以達到在三維空間目標任意飛行狀態下依舊可以達到精確制導的效果。

為了便于分析，本文設定的初速度v=400 m/s，為了保證炮射導彈在炮口發射時能準確處于激光束中心附近，在反復實驗仿真下，確定了初始彈道傾角為θ=20π/180［15］，彈道偏角為ψv=0，取坐標初始值x=y=z=0，初始高低角ε=20π/180，初始偏航角η=0，R=0，Rm=7 000，m=17.5，為了方便分析，在三維空間下簡化目標的運動狀態，由上文獲取的目標動態三維飛行數據，其相對制導站的運動方程組為：

結合式（12），通過MATLAB 軟件采用變步長的四階龍格庫塔法進行仿真計算，當R＞Rm時，仿真結束，得到的仿真結果如圖17～圖20 所示。

圖17 速度隨時間變化圖Fig.17 Variation of speed with time

由圖17 可以看出速度在8 s 時達到最大值，同時彈道傾角、攻角、側滑角也在8 s 時發生明顯變化，這是由于推進劑結束，炮射導彈受到的空氣動力發生改變；圖18 表明彈道傾角在速度降低后變化明顯放緩，更為平穩，具有較好的跟隨性；從圖19可以看出攻角和側滑角變化角度幅度變化較小，因此，整個炮射導彈的飛行過程較為穩定；圖20描述的是炮射導彈和目標的運動軌跡圖，兩條軌跡相交于一點，表明炮射導彈精準擊中目標，達到預期效果。

圖18 彈道傾角隨時間變化圖Fig.18 Variation of trajectory inclination with time

圖19 攻角、側滑角隨時間變化圖Fig.19 Variation of attack angle and sideslip angle with time

圖20 炮射導彈和目標運動軌跡圖Fig.20 Trajectory diagram of gun-launched missiles and targets

5 結論

本文完成了炮射導彈的總體設計，并獲取了導彈的氣動特性，在三維空間下建立三點法導引模型，對任意運動目標進行打擊彈道仿真，最終在模擬中實現對目標的精準打擊。仿真的最終目的在于應用，激光駕束炮射導彈外彈道仿真的原理及平臺的搭建，對于其他導彈及相關武器具有通用性，對建立具有人機實時交互軍事訓練模擬系統也有著很重要的意義。未來將建立炮射導彈的動態數據庫，使炮射導彈彈道仿真與裝備模擬器結合，做到虛實相襯、算法調優、效能評估，通過修改炮射導彈的參數，便能實現對各種炮射導彈的半實物仿真。