化抽象為具體 化無形為有形
——GeoGebra輔助“動態(tài)圓”問題分析

何龍君

(浙江省義烏中學(xué))

一、引言

帶電粒子在磁場中的運動是高中物理教學(xué)的重點和難點,同時也是高考的重要考點。雖然高考中粒子的運動大多是圓周運動,但題型變化多端,非常靈活。尤其是動態(tài)圓問題,過程復(fù)雜,情境抽象。動態(tài)圓包含“平移圓” “放縮圓” “旋轉(zhuǎn)圓”,其中“放縮圓”與“旋轉(zhuǎn)圓”兩者結(jié)合的問題難度較大,再與有界場結(jié)合,部分學(xué)生不能形成有效的解題策略。有界場問題中經(jīng)常會出現(xiàn)“恰好射入/射出”“平行/垂直某邊界”“與水平/豎直成某一角度”等限定詞匯。教師應(yīng)幫助學(xué)生根據(jù)這些限定完成情境再現(xiàn),繪制符合要求的運動軌跡,根據(jù)臨界條件和幾何關(guān)系列式求解。

二、真題賞析

【真題1】(2023·湖南卷)如圖1,真空中有區(qū)域Ⅰ和Ⅱ,區(qū)域Ⅰ中存在勻強電場和勻強磁場,電場方向豎直向下(與紙面平行),磁場方向垂直紙面向里,等腰直角三角形CGF區(qū)域(區(qū)域Ⅱ)內(nèi)存在勻強磁場,磁場方向垂直紙面向外。圖中A、C、O三點在同一直線上,AO與GF垂直,且與電場和磁場方向均垂直。A點處的粒子源持續(xù)將比荷一定但速率不同的粒子射入?yún)^(qū)域Ⅰ中,只有沿直線AC運動的粒子才能進入?yún)^(qū)域Ⅱ。若區(qū)域Ⅰ中電場強度大小為E、磁感應(yīng)強度大小為B1,區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強度大小為B2,則粒子從CF的中點射出,它們在區(qū)域Ⅱ中運動的時間為t0。若改變電場或磁場強弱,能進入?yún)^(qū)域Ⅱ中的粒子在區(qū)域Ⅱ中運動的時間為t,不計粒子的重力及粒子之間的相互作用,下列說法正確的是

( )

圖1

A.若僅將區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強度大小變?yōu)?B1,則t>t0

B.若僅將區(qū)域Ⅰ中電場強度大小變?yōu)?E,則t>t0

【真題2】(2023·浙江卷6月)(節(jié)選)利用磁場實現(xiàn)離子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。如圖2所示,Oxy平面(紙面)的第一象限內(nèi)有足夠長且寬度均為L、邊界均平行x軸的區(qū)域Ⅰ和Ⅱ,其中區(qū)域Ⅰ存在磁感應(yīng)強度大小為B1的勻強磁場,區(qū)域Ⅱ存在磁感應(yīng)強度大小為B2的磁場,方向均垂直紙面向里,區(qū)域Ⅱ的下邊界與x軸重合。位于(0,3L)處的離子源能釋放出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度方向與x軸夾角為60°的正離子束,沿紙面射向磁場區(qū)域。不計離子的重力及離子間的相互作用,并忽略磁場的邊界效應(yīng)。

圖2

(1)求離子不進入?yún)^(qū)域Ⅱ的最大速度v1及其在磁場中的運動時間t;

圖3

由以上分析可知,解決“動態(tài)圓”與有界場結(jié)合的問題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)臨界點,畫出臨界軌跡,因此需在平時的常規(guī)教學(xué)中逐步培養(yǎng)和提升思維能力。利用傳統(tǒng)教學(xué)方式解決此類問題時效率較低,不利于學(xué)生的理解。隨著信息技術(shù)的發(fā)展,GeoGebra越來越受到一線教師的關(guān)注。該軟件能將粒子的運動過程形象化、直觀化,快速創(chuàng)建易于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)情境,降低了學(xué)生分析“動態(tài)圖”問題的難度。筆者將“動態(tài)圖”習(xí)題的解題策略總結(jié)如下:

(1)讀懂題目。明確帶電體初始條件和臨界條件,明確磁場邊界;

(2)描繪軌跡。由“左手定則”確定粒子偏轉(zhuǎn)方向,借助GeoGebra展示粒子運動軌跡;

(3)尋找臨界。利用GeoGebra動態(tài)演示功能,在變化的軌跡中確定臨界軌跡;

(4)列式求解。結(jié)合物理學(xué)規(guī)律和幾何關(guān)系列式求解,分析解的合理性。

三、實例分析

(一)“旋轉(zhuǎn)圓”

( )

圖4

B.擋板左側(cè)能被粒子擊中的豎直長度為a

【讀懂題目】粒子初速度大小相同,在O點向各個方向發(fā)射粒子,屬于“旋轉(zhuǎn)圓”類問題。

【描繪軌跡】由“左手定則”可知粒子逆時針方向運動,根據(jù)粒子運動速度方向的變化,推測粒子大致的運動軌跡,教師利用GeoGebra展示粒子運動軌跡隨入射角方向變化而變化的動態(tài)過程。

【尋找臨界】通過觀察可以發(fā)現(xiàn),隨著逆時針轉(zhuǎn)動入射角方向,粒子先是打在豎直板的右側(cè),如圖5甲所示,隨著逆時針轉(zhuǎn)動入射方向,粒子與擋板的接觸點不斷上移,如圖5乙所示。當(dāng)粒子由從N點右側(cè)經(jīng)過轉(zhuǎn)變成從N點左側(cè)經(jīng)過時,是一種臨界情況,如圖5丙所示,此后粒子打在豎直板左側(cè),且接觸點不斷上移。當(dāng)粒子軌跡與豎直板相切時,是另一種臨界,如圖5丁所示,此后粒子不能打在極板上。

甲

【列式求解】由圖6甲中幾何關(guān)系得

甲

這類問題特點在于粒子速度大小不變,方向任意,通過動畫分析可知,所有軌跡圓效果上相當(dāng)于一個圓繞著O點旋轉(zhuǎn)。教師對題目的講解和學(xué)生觀看GeoGebra的動態(tài)展示,有助于強化知識記憶的效果,深化知識的理解。

(二)“放縮圓”

【例2】如圖7所示,一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場,在ad邊中點O,方向垂直磁場向里射入一速度方向跟ad邊夾角θ=30°、大小為v0的帶正電粒子,已知粒子質(zhì)量為m,電荷量為q,ad邊長為L,ab邊足夠長,粒子重力不計,求:粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍。

圖7

【讀懂題目】粒子初速度方向不變,但大小一直在改變,屬于“放縮圓”類問題。

【描繪軌跡】由“左手定則”可知粒子逆時針方向運動,根據(jù)粒子速度不斷增大,粒子軌跡圓的半徑不斷增大,軌跡圓的圓心一直在過O點速度的垂線上,推測粒子大致的運動軌跡,利用GeoGebra展示粒子運動軌跡隨速度增大而增大的動態(tài)過程,如圖8甲所示。

甲

【尋找臨界】通過觀察可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)粒子速度較小時,粒子從磁場左邊界飛出。當(dāng)粒子速度達到某一臨界值v1時,粒子軌跡剛好與上邊界相切,此時是一種臨界情況,如圖8乙所示。繼續(xù)增大粒子,當(dāng)軌跡與下邊界相切時,是另一種臨界情況,如圖8丙所示,此時速度為v2。

【列式求解】由圖8乙中幾何關(guān)系得

這類問題特點在于粒子速度方向不變,大小任意變化,通過動畫分析可知,所有軌跡圓效果上相當(dāng)于以入射點為切點,畫一系列放大或縮小的圓。由于這一系列圓有共同的切點,此類問題難度不大。

(三)“旋轉(zhuǎn)圓”+“放縮圓”

【例3】如圖9所示,x軸上方存在垂直紙面向外的勻強磁場,坐標(biāo)原點有一正離子源,單位時間在xOy平面內(nèi)發(fā)射n0個速率均為v的離子,分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi)。在x軸上放置長度為L的離子收集板,其右端點距坐標(biāo)原點的距離為2L,當(dāng)磁感應(yīng)強度為B0時,沿y軸正方向入射的離子,恰好打在收集板的右端點。整個裝置處于真空中,不計重力,不考慮離子間的碰撞,忽略離子間相互作用。

圖9

(2)若發(fā)射的離子被收集板全部收集,求θ的最大值;

(3)假設(shè)離子到達x軸時沿x軸均勻分布,當(dāng)θ=37°,磁感應(yīng)強度B0≤B≤3B0的區(qū)間取不同值時,求單位時間內(nèi)收集板收集到的離子數(shù)n與磁感應(yīng)強度B之間的關(guān)系。(不計離子在磁場中運動的時間)。

【讀懂題目】前兩小題粒子初速度大小相同,屬于“旋轉(zhuǎn)圓”類問題,第三小題磁場大小變化,粒子速度方向也可改變,屬于“旋轉(zhuǎn)圓”與“放縮圓”結(jié)合問題。

【描繪軌跡】由“左手定則”可知粒子逆時針方向運動,根據(jù)粒子運動速度方向的變化,推測粒子大致的運動軌跡,利用GeoGebra展示粒子打在最右端時運動軌跡,如圖10甲所示。改變粒子速度方向,展示粒子打在最左端時的運動軌跡,如圖10乙、丙所示。改變磁場大小時,展示粒子運動軌跡,如圖11所示。

甲

甲

【尋找臨界】通過觀察可以發(fā)現(xiàn),隨著粒子入射方向的改變,粒子打在最左端有兩種情況,如圖11乙、丙所示。改變磁場大小時,由圖11甲、乙、丙可知,對于某一確定的磁場,θ=0時,粒子軌跡與板的交點最靠右,θ=37°時,交點最靠左。

由圖10乙、丙幾何關(guān)系得2Rcosθm=L,解得θm=60°

當(dāng)B0≤B≤1.6B0時,n1=n0

當(dāng)2B0

這類實例中,由于粒子速度方向和磁場大小都在變化,是典型的“放縮圓”與“旋轉(zhuǎn)圓”相結(jié)合的問題。如果采用傳統(tǒng)的黑板繪圖與教師講解模式,很難將所有情境都呈現(xiàn)在學(xué)生面前,且繪圖十分耗費時間,教學(xué)效果不佳,教學(xué)效率較低。教師利用GeoGebra展示粒子運動的軌跡變化,由學(xué)生觀察分析臨界位置,建立幾何模型,無形中培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究的素養(yǎng),體現(xiàn)了學(xué)生主體,教師引導(dǎo)的教學(xué)理念。

四、小結(jié)

帶電粒子在電磁場中的運動問題是整個高中階段的重點和難點,情境抽象,過程復(fù)雜,高考時得分率較低。結(jié)合GeoGebra的動態(tài)演示,將抽象的運動軌跡直觀形象地展示給學(xué)生,有利于學(xué)生建模能力的培養(yǎng)。將GeoGebra融入物理習(xí)題教學(xué)不僅有利于物理觀念的形成、更有利于科學(xué)思維能力的發(fā)展、科學(xué)探究能力的提升和科學(xué)態(tài)度與責(zé)任等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。