基于Super-Twisting 滑模S 面的無人機(jī)路徑跟蹤控制*

張國兵，石上瑤，李佳成，常 哲，陳鵬云

（中北大學(xué)航空宇航學(xué)院，太原 030051）

0 引言

隨著航空技術(shù)的不斷發(fā)展，無人機(jī)各方面的性能得到了顯著提升。其廣泛應(yīng)用在軍事、民用和商業(yè)領(lǐng)域以及偵察監(jiān)視、對敵攻擊、森林消防等方面［1-2］。相比于旋翼類無人機(jī)，固定翼無人機(jī)因速度快、載量大、航程遠(yuǎn)等特點(diǎn)而具有無可比擬的優(yōu)勢。這使得其在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，同時(shí)也對無人機(jī)的控制器設(shè)計(jì)提出了嚴(yán)格的要求。如何設(shè)計(jì)一種精度高、抗干擾性能強(qiáng)的控制器是一個(gè)挑戰(zhàn)。

近年來，有許多學(xué)者就路徑跟蹤方法進(jìn)行了研究。顏?zhàn)跍Y等設(shè)計(jì)矢量場法實(shí)現(xiàn)了固定翼無人機(jī)三維路徑的跟蹤［3］。劉榮華等就存在機(jī)械故障時(shí)固定翼無人機(jī)定高度盤旋跟蹤問題，設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)面自適應(yīng)容錯(cuò)控制方法［4］。趙述龍等針對固定翼無人機(jī)在路徑跟蹤時(shí)容易受非定常風(fēng)干擾的問題，提出了一種積分向量場方法來抵消風(fēng)對其的影響［5］。安帥等針對模型不確定和外界干擾問題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑模以及自抗擾控制器［6］。PATRIKAR 等在風(fēng)干擾存在時(shí)引入飽和理論，來提高固定翼無人機(jī)路徑跟蹤時(shí)速度變化的自適應(yīng)能力［7］。張果等就模型參數(shù)不確定和干擾問題，在收縮理論的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了姿態(tài)同步控制器來提高系統(tǒng)的魯棒性［8］。陶彥隱等設(shè)計(jì)了基于T-S 的滑模內(nèi)層控制和PID 外層控制方法，來提高無人機(jī)軌跡追蹤控制中的精度［9］。這些文獻(xiàn)都對固定翼無人機(jī)的路徑跟蹤問題從不同的角度進(jìn)行了研究，但并未同時(shí)從跟蹤精度、抗干擾性能以及外界風(fēng)對其影響方面考慮。

另外，在小型固定翼無人機(jī)的路徑跟蹤控制中，外界風(fēng)是一個(gè)非常重要而又不可忽略的因素。趙述龍等將無人機(jī)飛行速度的20～50%作為風(fēng)速［10］。BREZOESCU 等將突風(fēng)和側(cè)風(fēng)干擾作為一個(gè)固定值［11］。ZHANG 在無人機(jī)路徑跟蹤中將5 m/s 從西向東的固定風(fēng)作為外界風(fēng)干擾［12］。這些文獻(xiàn)通常將外界風(fēng)干擾設(shè)置為某一確定值，其并不能真實(shí)反映自然界的風(fēng)組成。而魏毅力將自然界的突風(fēng)、隨機(jī)風(fēng)和漸變風(fēng)用相應(yīng)的方程表示，比較真實(shí)地反映了風(fēng)干擾的組成［13］。本文也在該基礎(chǔ)上對風(fēng)干擾的組成作進(jìn)一步的研究，以便能夠更加真實(shí)準(zhǔn)確地反應(yīng)外界風(fēng)干擾對無人機(jī)路徑跟蹤的影響，從而提高無人機(jī)路徑跟蹤的精度。

無人機(jī)路徑跟蹤方法主要包括幾何和控制兩類：幾何方法具有結(jié)構(gòu)簡單、控制方便的特點(diǎn)。控制方法具有可根據(jù)任務(wù)需求設(shè)計(jì)的特點(diǎn)。滑模控制因?yàn)轫憫?yīng)快、對參數(shù)變化不敏感、能抵抗系統(tǒng)不確定性等優(yōu)點(diǎn)在無人機(jī)控制中應(yīng)用廣泛［14］。針對其存在的抖振問題，通過設(shè)計(jì)積分滑模面的方式，使其初始狀態(tài)一開始就在滑模面上來降低抖振產(chǎn)生的影響。另外，Super-Twisting 算法是一種二階滑模控制算法，不光能提高系統(tǒng)的精度，還能抑制抖振［15-17］。S 面控制具有結(jié)構(gòu)簡單、控制性能優(yōu)異、抗干擾能力強(qiáng)的特點(diǎn)，已經(jīng)在海洋航行器上成熟應(yīng)用［18］。

本文針對小型固定翼無人機(jī)路徑跟蹤時(shí)受外界風(fēng)影響大、跟蹤精度不高以及抗干擾性能弱的問題，結(jié)合滑模控制和S 面控制的優(yōu)點(diǎn)設(shè)計(jì)了一種STSM S-Plane 控制算法，并且通過空間特殊曲線仿真驗(yàn)證了其控制性能。結(jié)果表明設(shè)計(jì)的控制器相比于傳統(tǒng)的SM，不光能以很高的精度跟蹤期望路徑，還能抑制干擾。

1 無人機(jī)導(dǎo)航模型

固定翼無人機(jī)跟蹤期望路徑的原理如圖1 所示。圖中L=δ（t）表示固定翼無人機(jī)跟蹤的期望路徑。e 是固定翼無人機(jī)當(dāng)前所在位置p 和對應(yīng)的期望路徑上q 之間的誤差。

圖1 固定翼無人機(jī)路徑跟蹤模型圖Fig.1 Path tracking model diagram of fixed wing UAV

固定翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型如式（1）所示［19］。

式中，F(xiàn) 為固定翼無人機(jī)所受合外力，M 為固定翼無人機(jī)所受合力矩，m 為固定翼無人機(jī)質(zhì)量，g 為重力加速度，ω 為角速度，v 為速度。其中，

固定翼無人機(jī)的導(dǎo)航模型如式（2）所示［3-4］。

式中，V 為固定翼無人機(jī)的飛行速度，ψ 為偏航角，γ為飛行路徑角。p（x，y，z）為固定翼無人機(jī)當(dāng)前所在位置點(diǎn)，q（xd，yd，zd）為固定翼無人機(jī)對應(yīng)期望路徑上的點(diǎn)。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 S 面控制

標(biāo)準(zhǔn)S 面控制的模型如下所示［18］。

式中，e 為輸入信號的誤差，e˙為輸入信號的誤差變化率。k1i，k2i為誤差和誤差變化率的系數(shù)。式（3）從結(jié)構(gòu)上看指數(shù)部分和PD 控制相似。因而，其系數(shù)的調(diào)節(jié)方式可以參照PD 控制來進(jìn)行。

2.2 Super-Twisting 控制

針對式（4）所示一階系統(tǒng)

考慮采取如下的形式來表示Super-Twisting 控制。

式中，x2為控制器的狀態(tài)，k1，k2是對應(yīng)的系數(shù)。Super-Twisting 控制具有很強(qiáng)的魯棒性，還能夠抵抗建模不確定性和外界干擾，同時(shí)還能在有限時(shí)間內(nèi)收斂。因此，一階系統(tǒng)的Super-Twisting 控制可以表示成如下的形式。

2.3 Super-Twisting 滑模控制器設(shè)計(jì)

如圖1 所示，p 是無人機(jī)當(dāng)前所在位置，q 是對應(yīng)時(shí)刻期望路徑上的位置，控制的目的是使得p 和q 之間的位置誤差趨于0 路徑跟蹤時(shí)，無人機(jī)與期望路徑之間的誤差關(guān)系如式（7）所示。

為了方便后續(xù)的計(jì)算，對式（2）作簡單的替換如式（8）所示。

首先對x 方向進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，取滑模函數(shù)為

則滑模函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

由2.2 節(jié)的Super-Twisting 控制可得無人機(jī)在x 方向的控制律為

為了證明所設(shè)計(jì)控制律的穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)為：，則

然后對y 方向進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，取滑模函數(shù)為

由2.2 節(jié)的Super-Twisting 控制可得無人機(jī)在y 方向的控制律為

為了證明所設(shè)計(jì)控制律的穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)為：，則

最后對z 方向進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，取滑模函數(shù)為

由2.2 節(jié)的Super-Twisting 控制可得無人機(jī)在z方向的控制律為

為了證明所設(shè)計(jì)控制律的穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)為：，則

2.4 控制器結(jié)構(gòu)原理

STSM S-Plane 控制器的結(jié)構(gòu)和原理如下頁圖2所示。

圖2 STSM S-Plane 控制器結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of STSM S-Plane controller

圖2 首先將期望路徑上點(diǎn)的坐標(biāo)與輸出路徑上點(diǎn)的坐標(biāo)一起輸入到STSM 控制器中，在STSM控制器作用下得到路徑上點(diǎn)的誤差和誤差導(dǎo)數(shù)，并在式（9）～式（11）控制律的作用下得到u1，u2，u3，通過u1，u2，u3解算出無人機(jī)路徑跟蹤的控制參數(shù)速度V，飛行路徑角γ 和偏航角ψ。其中，偏航角可由式（12）得到［20］。

飛行路徑角可由u2，u3和式（13）得到

飛行速度可由u3和式（14）得到

其中，速度信號直接被輸入到無人機(jī)模型中參與運(yùn)算，而飛行路徑角γ 和偏航角ψ 信號在經(jīng)過S 面控制器的作用才被輸入到無人機(jī)模型中。在內(nèi)環(huán)控制中，飛行路徑角γ、偏航角ψ 的誤差和誤差導(dǎo)數(shù)被輸入到S面控制器中。在S 面控制器的作用下該信號輸入到無人機(jī)模型中，同時(shí)也將該信號反饋到輸入中參與下一步長的計(jì)算。等速度V、飛行路徑角γ 和偏航角ψ 都被輸入到無人機(jī)模型中時(shí)，在無人機(jī)模型的作用下輸出實(shí)際飛行的坐標(biāo)，同時(shí)也將其反饋到外環(huán)的輸入部分，來參與下一步長的控制運(yùn)算。

S 面控制器需要已知輸入信號的誤差和誤差導(dǎo)數(shù)，而通常的求導(dǎo)方法會出現(xiàn)積分爆炸現(xiàn)象，本文運(yùn)用文獻(xiàn)［19］中的二階微分器，來實(shí)現(xiàn)對S 面控制中輸入信號的求導(dǎo)過程。二階微分器的公式如（15）所示。

式中，n（t）是輸入信號，x1是對信號的跟蹤，x2是對信號一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)。

3 仿真及分析

3.1 風(fēng)干擾建模

小型固定翼無人機(jī)飛行時(shí)，外界風(fēng)對其性能有很大影響。風(fēng)力發(fā)電中對風(fēng)的組成有比較深入的研究。魏毅力等認(rèn)為自然界的風(fēng)是由基本風(fēng)、陣風(fēng)、漸變風(fēng)和隨機(jī)風(fēng)組成，這4 類風(fēng)的隨機(jī)組合可表征自然界中大部分風(fēng)類型［13］。但風(fēng)力發(fā)電領(lǐng)域涉及的風(fēng)速一般較低，并不完全適用于固定翼無人機(jī)飛行時(shí)的速度。因此，在參考文獻(xiàn)［13］的基礎(chǔ)上，本文對影響固定翼無人機(jī)性能的外界風(fēng)模型作進(jìn)一步研究，在基本風(fēng)、陣風(fēng)、漸變風(fēng)和隨機(jī)風(fēng)中加入調(diào)節(jié)因子，以便根據(jù)不同的任務(wù)需要調(diào)節(jié)風(fēng)速的大小。

3.1.1 基本風(fēng)

基本風(fēng)描述的是外界風(fēng)的平均變化情況，它也是無人機(jī)飛行的最佳環(huán)境，其模型如式（16）所示。

3.1.2 陣風(fēng)

陣風(fēng)是短時(shí)間內(nèi)風(fēng)向保持不變，風(fēng)速突然增強(qiáng)的風(fēng)，反應(yīng)了風(fēng)的突變性，其模型如式（17）所示。

式中，Vg是陣風(fēng)的風(fēng)速，Vgmax是陣風(fēng)的最大風(fēng)速，t1是陣風(fēng)的起始時(shí)間，tg是陣風(fēng)的持續(xù)時(shí)間段，kg是陣風(fēng)風(fēng)速調(diào)整因子。

3.1.3 漸變風(fēng)

漸變風(fēng)反應(yīng)了風(fēng)的漸變性，其模型如式（18）所示。

式中，Vw是漸變風(fēng)的風(fēng)速，Vwmax是漸變風(fēng)的最大風(fēng)速，t2為漸變風(fēng)的起始時(shí)間，t3為漸變風(fēng)的終止時(shí)間，T 為漸變風(fēng)的保持時(shí)間，kw表示隨機(jī)風(fēng)風(fēng)速調(diào)節(jié)因子。

3.1.4 隨機(jī)風(fēng)

隨機(jī)風(fēng)反應(yīng)了風(fēng)的任意性、不確定性和隨機(jī)性，其模型如式（19）所示。

式中，kn為隨機(jī)風(fēng)風(fēng)速調(diào)節(jié)因子，Vn為隨機(jī)風(fēng)風(fēng)速，Vnmax為隨機(jī)風(fēng)的最大風(fēng)速，Ram（-1，1）為在-1到1 這個(gè)區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)，ω 為風(fēng)速波動(dòng)的平均距離，一般取0.5π～2π。φ 為0～2π 上均勻分布的隨機(jī)量。得到以上4 種風(fēng)模型之后，可以通過任意一種組合形式，來表示小型固定翼無人機(jī)飛行的真實(shí)外界風(fēng)環(huán)境，對提高小型固定翼無人機(jī)的控制性能具有重要的作用。通過Simulink 對隨機(jī)風(fēng)和陣風(fēng)的組合進(jìn)行了仿真。取kg=0.125 m/s，Vgmax=8 m/s，t1=15 m/s，tg=3 m/s。隨機(jī)風(fēng)函數(shù)的模擬比較復(fù)雜，本文通過Simulink 中的Random Number 模塊、Transfer Fcn 模塊和Gain 模塊，來近似估計(jì)自然界的隨機(jī)風(fēng)模型。隨機(jī)風(fēng)和陣風(fēng)組合模型的仿真如圖3 所示。

圖3 隨機(jī)風(fēng)和突風(fēng)仿真曲線Fig.3 Simulation curve of random wind and gust

3.2 仿真條件

通過半實(shí)物仿真系統(tǒng)來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)算法的性能，以及無人機(jī)跟蹤時(shí)的精度和抗干擾性能。該系統(tǒng)由地面站、機(jī)載計(jì)算機(jī)、飛行模擬器3 部分組成。地面站主要是發(fā)送給機(jī)載計(jì)算機(jī)期望信息，機(jī)載計(jì)算機(jī)在接收到信息并在算法控制下解算出指令控制飛行，飛行模擬器接收機(jī)載計(jì)算機(jī)發(fā)出的指令并模擬無人機(jī)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)。所設(shè)計(jì)的STSM S-Plane 控制算法對應(yīng)的參數(shù)系數(shù)為a1=0.05，b1=5，k1x=10，k2x=0.2，a2=10，b2=60，k1v=0.5，k2v=1.1，a3=0.1，b3=70，k1z=0.5，k2z=0.1。以文獻(xiàn)［20］中的滑模控制作為對照實(shí)驗(yàn)，其對應(yīng)的參數(shù)系數(shù)為k1=5.4，k2=24，k3=3，ki=0.9。另外，兩個(gè)S 面控制器中對應(yīng)的誤差和誤差變化率的系數(shù)為k11=4，k11=0.01，k21=10，k22=0.1。

3.3 仿真結(jié)果

空間特殊曲線方程如式（20）所示。

空間特殊曲線可以模擬無人機(jī)的整個(gè)飛行全過程。圖中，①和⑦為無人機(jī)起飛和降落的滑跑階段，②和⑥為無人機(jī)爬升和下降階段，③和⑤為無人機(jī)的巡航階段，④為無人機(jī)特殊飛行階段。從圖4可以看出，在無人機(jī)跟蹤空間特殊曲線時(shí)，STSM S-Plane 控制器能以很高的精度跟蹤期望路徑，而SM 控制器在加入3.1 節(jié)的風(fēng)干擾模型時(shí)抖動(dòng)劇烈。可以看出所設(shè)計(jì)的STSM S-Plane 控制器具有良好的跟蹤精度和抗干擾性能。

圖4 路徑跟蹤曲線Fig.4 Path tracking curve

在仿真第40 s～60 s 加入3.1 節(jié)的隨機(jī)風(fēng)干擾，同時(shí)在第48 s～50 s 加入陣風(fēng)干擾時(shí)，從下頁圖5 的各個(gè)坐標(biāo)軸跟蹤圖以及圖6 的各坐標(biāo)軸跟蹤誤差圖中可以看出，STSM S-Plane 控制器在風(fēng)干擾存在時(shí)波動(dòng)挺小，誤差最大為±0.3 左右。并且能以很高的精度跟蹤期望路徑，而SM 控制器振動(dòng)異常劇烈。因而，STSM S-Plane 控制器相較于SM 控制器而言，在抵抗外界風(fēng)干擾方面具有優(yōu)異的性能。

圖5 各坐標(biāo)軸路徑跟蹤曲線Fig.5 Path tracking curve of each coordinate axis

圖6 各坐標(biāo)軸路徑跟蹤誤差曲線Fig.6 Path tracking error curve of each coordinate axis

圖7 和圖8 是無人機(jī)在跟蹤空間特殊曲線時(shí)，S 面控制對中間控制量飛行路徑角γ 和偏航角ψ 的作用效果圖。可以看出，輸出值除了加干擾的時(shí)間段外，其余時(shí)間都被歸化到［-1，1］范圍內(nèi)。雖然輸出值與輸入值相比有了一定的變化，但從圖6 中可看出無人機(jī)的抗外界風(fēng)干擾性能也顯著提高，當(dāng)加入風(fēng)干擾模型時(shí)，STSM S-Plane 控制器的誤差波動(dòng)最高為0.3，而SM 控制器的誤差最高可達(dá)到3。可以看出S 面控制在抗外界風(fēng)干擾方面的優(yōu)異性能。

圖7 S 面控制中γ 的輸入輸出曲線Fig.7 Input and output curve of γ in S-plane control

圖8 S 面控制中ψ 的輸入輸出曲線Fig.8 Input and output curve of ψ in S-plane control

4 結(jié)論

本文對固定翼無人機(jī)的路徑跟蹤問題進(jìn)行了研究，在內(nèi)外環(huán)模式基礎(chǔ)上提出了一種STSM S-Plane 控制器算法，其具有結(jié)構(gòu)形式簡單，控制性能優(yōu)越，跟蹤性能良好的特點(diǎn)。與傳統(tǒng)的SM 算法作對比借助MATLAB/SIMULINK 從空間特殊曲線證明了其良好的控制性能。結(jié)果顯示該算法具有很強(qiáng)的抗外界風(fēng)干擾的能力和很高的跟蹤精度。