GeoGebra軟件在高中物理“拋體運動：打水漂”教學中的應用

李立琛 白友鈺 張靜 王忠花 郭杰

摘? ?要：“打水漂”是人類最古老的游戲之一，也常作為高中物理教學中“拋體運動”的實例。“打水漂”涉及牛頓第二定律、液體壓強、拋體運動等知識點，原理較難理解，物理過程較為復雜。采用GeoGebra軟件動態展示并分析“打水漂”的運動過程，可以降低學生在解題過程中的思維障礙，有助于學生建立物理圖像，提高學生的物理核心素養。

關鍵詞：GeoGebra；打水漂；拋體運動

引言

打水漂是人類最古老的游戲之一。只要選擇一塊大小適當的石頭，斜著朝平靜的水面拋去，石頭就會在水面上連續跳躍若干次后才沉入水中。如何能夠讓石頭漂得更遠、在水面彈跳次數更多？美國人拉塞爾·拜爾斯在2007年７月打水漂時，石子竟然在水面跳動51次，小石片在水面大約行進76 ｍ[ 1 ]。法國物理學教授L·Bocquet對“打水漂”這一過程進行了深入研究，將“打水漂”里所蘊含的物理規律展現在其研究論文《The physics of stone skipping》[ 2 ]中。

拋體運動中的“打水漂”問題是高中物理習題教學中的一個重難點。“打水漂”的過程可以近似看作由一段平拋運動，多段勻減速直線運動和多段水平及豎直方向的速度不斷減小的斜拋運動組成，因為涉及多段運動狀態的分析，很多學生在建立物理模型的過程中遇到困難，不能很好地解題。

在傳統教學中，由于“打水漂”的原理涉及大學物理中流體力學的知識，許多教師對于這類問題的原理解釋往往會跳過或者一筆帶過，對于其運動軌跡則采取口述或者粗略板書的方式，這導致學生沒能理解“打水漂”的運動過程、沒有明確的認知。GeoGebra是一款操作簡單、功能強大、免費開源的教學軟件。近年來，GeoGebra軟件在物理教學中起到了積極的作用。文獻[ 3 ]中采用GeoGebra軟件探究了拋體運動中的最值問題，使教師在進行拋體運動教學時，不僅有理論推導，也能給學生帶來感性體驗，提高了學生的觀察能力與分析思考能力。由此可見，GeoGebra能夠幫助學生構建物理模型，搭建思維“支架”。

文章使用GeoGebra軟件追蹤物體做“打水漂”運動過程中軌跡及狀態的變化，使其直觀化、動態化，創設一個有助于學生理解的學習情境，幫助學生更清晰了解該復雜的物理過程。

1? 例題及原理解釋

如圖1所示，小明站在岸邊，右手在離水面高度h0=1.8 m處，將一質量為m=20 g的小石片以水平初速度v0=8 m/s拋出，玩“打水漂”。小石片在水面上滑行時受到水平方向的阻力恒為Ff=0.4 N，在水面上彈跳數次后沿水面的速度減為零，并以a=0.5 m/s2的加速度沿豎直方向沉入水深為h=1 m的河底。假設小石片每次均接觸水面Δt=0.04 s后跳起，跳起時豎直方向上的速度與此時沿水面滑行的速度之比為常數k=0.75，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力。求小石片從拋出到開始下沉的時間t。

在教學過程中，筆者發現許多學生對于小石片會在水面上彈跳這個過程存在疑惑。學生紛紛提出問題：“為什么小石片在做平拋運動到達水面時會斜向上彈起？是因為受到斜向上的力嗎？那這個力又是從哪來的呢？”由此可見，在教學中對于“打水漂”運動的原理解釋十分重要。

原理：當一塊小石片打入水中時，會對接觸面部分的水面進行擠壓，石頭將一部分水向下推開，如圖2所示，α為石塊表面和水面之間的夾角，β為石塊速度ｖ和水面之間的夾角。此時與小石片底部接觸的一部分液體會保持與石片相同的速度，而未與小石片接觸的液體會保持靜止。根據伯努利原理，流速大的地方壓強小，即p0＞p1，這時兩部分液體之間的壓強差會使得小石片存在一個向上的推力Fy。壓強差越大，向上的推力Fy越大。當其推力Fy能夠克服重力時，就會被彈起。石片跳躍多次之后速度會減慢，兩部分壓強差減小，獲得的推力不再能夠抵消重力作用，最后石片沉入水底。

需要注意的是，考慮到中學生尚未學習伯努利原理，故可以應用生活中的例子幫助學生理解，如：當一列列車高速駛來時，列車周圍的空氣被帶動而快速運動起來，壓強減小，如果旅客離列車過近，身體前后就會出現明顯的壓強差，身后較大的壓力就會把旅客推向列車。所以在動車站通常都會有黃色警戒線，避免旅客受到傷害。

上述解析對小石片在水面上運動過程的分析看似簡單，在實際教學過程中，許多學生的思維進展到小石片作平拋運動到水面后就停滯了，它們會做什么運動呢？水平和豎直方向的速度會怎么變化呢？運動的軌跡是怎么樣的呢？這可能也是許多學生心中的疑惑。

為了幫助學生更直觀的了解“打水漂”運動的過程，在GeoGebra軟件中畫出其示意圖。為了幫助學生對比彈跳不同次數時其運動軌跡的不同，將其運動軌跡整合到一個畫面中。

3? 利用GeoGebra軟件解決問題

3.1? GeoGebra軟件參數設置

（1）取值Δt，Ff，v0，m，g，h0，k。取滑動條t1，t2，n，分別為小石片做平拋運動的時間，小石片做斜拋運動的時間以及小石片彈跳的次數，如圖3所示。

（3）以點G為小石片在水面上做斜拋運動時所處的位置，此時小石片在水平方向做初速度為vx=v0-a1Δt（n-1）的勻速運動，豎直方向做初速度為vy=kvx=k［v0-a1Δt（n-1）］，加速度為-g的勻減速直線運動。

故取值vx=v0-a1Δt（n-1），vy=k［v0-a1Δt（n-1）］，

（4）作點D（X（B）+v0，y（B）），E（X（B），y（B）-gt1），F（X（B）+v0，y（B）-gt1）。選擇“向量工具”，作向量CD，CE，CF。作向量DF，EF，右擊設置為虛線。

（6）隱藏不需要的對象，為各個對象設置好標簽。設置點C及點G顯示其軌跡。

3.2? GeoGebra軟件可視化和解決問題

該題目中“打水漂”運動可分為多個過程，首先為一段平拋運動，之后為多段勻減速直線運動及斜拋運動交替進行，最后沉入水底。通過調節滑動條t1，可以得到小石片做平拋運動時的軌跡，當軌跡與x軸相交時，記錄小石片做平拋運動的時間t1，此時G點位置為小石片在水面上滑行了nΔt時間后所處的位置，如圖4所示。小石片作平拋運動時任意一點的運動狀態如圖5所示。

通過調節滑動條t2，可以得到小石片做斜拋運動的軌跡，如圖6所示。當軌跡與x軸相交時，記錄此時的時間t2，記作t2n，之后將t2調零，使n+1，繼續調節滑動條t2，當軌跡與x軸相交時，記錄此時的時間t2，記作t2n，以此類推。小石片作斜拋運動時任意一點的運動狀態如圖7所示。

3.3? 利用GeoGebra軟件拓展分析

4? 結束語

在教學中使用GeoGebra軟件，可以有效地幫助學生建立物理模型，明晰物理過程，將其與日常生活中的物理現象結合，更是能幫助學生將所學習的物理知識應用于實際。經過上述分析，學生對“打水漂”運動過程有了更深的理解。通過此題，教師可以引導學生發現若拋出的初速度越大，“水漂”就能打的越高，打的越遠。同時，教師可以讓學生在課后自己嘗試一下“打水漂”這項運動，使學生發現“打水漂”的距離不僅與石片拋出的初速度有關，還與石片自旋拋出的角速度，石片拋出時的角度等因素有關，這個過程對提高學生的科學素養有重要的作用。

參考文獻：

［1］ 楊宏兵.打水漂的物理學原理及其應用[J].物理教師，2015，36（5）：54-55.

［2］ Bocquet L.The physics of stone skipping[J].American Journal of Physics ，2003，71（2）：150-155.

［3］ 喬永海.用軟件工具探究拋體運動的最值問題[J].物理教學探討，2021，39（2）：46-48.